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Si dice che per x tendente a x 0 la funzione tende al limite finito l e si scrive : Se per Definizione (rigorosa) di limite.

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Presentazione sul tema: "Si dice che per x tendente a x 0 la funzione tende al limite finito l e si scrive : Se per Definizione (rigorosa) di limite."— Transcript della presentazione:

1 Si dice che per x tendente a x 0 la funzione tende al limite finito l e si scrive : Se per Definizione (rigorosa) di limite

2 Si dice che per x tendente a x 0 la funzione tende al limite finito l (converge) e si scrive : Se per Se x 0 è arbitrariamente grande + +

3 Asintoto orizzontale In questo caso la retta orizzontale di equazione y=l si dice asintoto orizzontale per la funzione f(x) per x + Definizione (rigorosa) di limite

4 Si dice che per x tendente a - la funzione tende al limite finito l (converge) e si scrive : Se per Se x 0 è arbitrariamente grande e negativo

5 Asintoto orizzontale In questo caso la retta orizzontale di equazione y=l si dice asintoto orizzontale per la funzione f(x) per x - Definizione (rigorosa) di limite

6 Si dice che per x tendente a la funzione tende al limite finito l e si scrive : Se per Se x 0 è arbitrariamente grande o positivo o negativo Equivale a x>K se x>0 e x<-K se x<0

7 Asintoto orizzontale In questo caso la retta orizzontale di equazione y=l si dice asintoto orizzontale per la funzione f(x) per x Definizione (rigorosa) di limite

8 Se l è arbitrariamente grande e positivo Si dice che per x tendente a x 0 la funzione (diverge positivamente) tende a + e si scrive : Se per f(x)>M

9 Asintoto verticale (p.154)

10 Se l è arbitrariamente grande e negativo Si dice che per x tendente a x 0 la funzione tende a - (diverge negativamente) e si scrive : Se per f(x)< - M

11 Asintoto verticale (p.154)

12 Se l è arbitrariamente grande Si dice che per x tendente a x 0 la funzione tende a (diverge) e si scrive : Se per |f(x)|>M

13 Asintoto verticale (p.154)

14 Se x 0 e l sono arbitrariamente grande Si dice che per x tendente a la funzione tende a e si scrive : Se per |f(x)|>M

15 Limite sinistro, destro (p.151) Il limite sinistro si ottiene considerando lavvicinamento solo da sinistra. Per ricordarlo si scrive (

16 Limite sinistro, destro (p.151) Il limite destro si ottiene considerando lavvicinamento solo da destra. Per ricordarlo si scrive )

17 Teorema: se il limite esiste, allora esistono anche il limite sinistro, il limite destro e coincidono. Conseguenze: Il limite non esiste se: il limite sinistro non esiste il limite destro non esiste esistono entrambe, ma hanno valori diversi.

18 Asintoti obliqui Un asintoto obliquo è una retta non orizzontale e non verticale cui la funzione si avvicina indefinitivamente per x che tende o a + o a – o in entrambe i casi

19 Asintoti obliqui Lasintoto obliquo ha equazione y=mx+n La funzione f(x) ha un asintoto obliquo se risulta: Possiamo trovare m ed n nel modo seguente

20 Asintoti obliqui Dal limite Dividendo per x abbiamo Portando n a destra abbiamo N.B. il discorso vale anche per x-

21 Proprietà dei limiti (p.155) Teorema della permanenza del segno In forma diretta Se per x tendente a x 0 la funzione tende ad un limite finito l diverso da zero, allora esiste un intorno di x 0 nel quale la f(x) ha lo stesso segno di l l x0x0

22 Proprietà dei limiti (p.155) Teorema della permanenza del segno In forma inversa: Se in tutti i punti vicini ad x 0 la funzione è strettamente positiva allora il limite è non negativo (esempio: parabola) x0x0

23 Proprietà dei limiti (p.155) Teorema carabinieri Se due funzioni f(x) e g(x) per x tendente a x 0 ammettono lo stesso limite l e se in un intorno di x 0 si ha f(x) h(x) g(x) allora anche h(x) converge a l in x 0 x0

24 Proprietà dei limiti (p.155) Il limite di somma, differenza, prodotto, quoziente di due funzioni È dato da somma, differenza, prodotto, quoziente dei limiti (eccetto il caso in cui il limite della funzione al denominatore è nullo)

25 Teorema del confronto f(x) g(x), x in un intorno di x0 Sia f:AR e g:B R, sia x0 punto di accumulazione per A. Se esiste un intorno di x0 nel quale le funzioni sono entrambe definite tale che ed esistono i limiti Allora L M

26 Attenzione: nel teorema si chiede che esistano entrambi i limiti. Lesistenza del limite deve quindi essere nota a priori. Osservazione: ci sono due casi in cui lesistenza del limite segue dal teorema precedente: Se L=+ allora g ha limite ed esso è + Se M=- allora g ha limite ed esso è -

27 Metodi per il calcolo dei limiti

28 Funzioni continue

29 Definizione Una funzione f:AR, con A R si dice continua in x 0 punto di accumulazione di A se esiste Se x 0 è un punto isolato (e quindi non è di accumulazione) allora, per convenzione, la funzione è continua. allora la funzione si dice continua da destra allora la funzione si dice continua da sinistra Se vale soltanto

30 Le seguenti funzioni sono continue (p.136) Bisogna dimostrare che è verificata la definizione di funzione continua f(x)=k f(x)=2x-3 (p.135) f(x)=mx+n (tutte le rette) f(x)=x^2 Le potenze I polinomi Le funzioni razionali fratte con leccezione dei punti in cui il denominatore si annulla

31 Teorema di Weierstrass Se f(x) è continua un [a,b] allora è sempre dotata di minimo e di massimo ed assume tutti i valori compresi tra il minimo ed il massimo Osservazione: [a,b] è un intervallo chiuso e limitato. Tali intervalli prendono il nome di compatti.


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