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LIMITI:DEFINIZIONI E TEOREMI DEFINIZIONE DI LIMITE.

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Presentazione sul tema: "LIMITI:DEFINIZIONI E TEOREMI DEFINIZIONE DI LIMITE."— Transcript della presentazione:

1 LIMITI:DEFINIZIONI E TEOREMI DEFINIZIONE DI LIMITE

2 LIMITI:DEFINIZIONI E TEOREMI Funzione: Dominio: x0

3 LIMITI:DEFINIZIONI E TEOREMI Poiché 0 non fa parte del dominio non ha senso chiedersi quanto vale f(0) Ha però senso la domanda: A quale valore si approssima f(x) quando x si approssima a zero?

4 LIMITI:DEFINIZIONI E TEOREMI Possiamo arrivarci per tentativi xf(x) 12 0,12, ,012, ,0012, ,00012, ,000012,718268

5 LIMITI:DEFINIZIONI E TEOREMI Si può dimostrare che la successione dei valori di f(x) si avvicina indefinitamente ad un numero irrazionale detto NUMERO DI NEPERO e=2,

6 LIMITI:DEFINIZIONI E TEOREMI In questo caso non si scrive f(0)=e ma:

7 LIMITI:DEFINIZIONI E TEOREMI LIMITE FINITO PER X TENDENTE A UN VALORE FINITO Data una funzione f:D->R, Xo punto di accumulazione del dominio D, si dice che la funzione f tende al limite L per x tendente a Xo Se per ogni ε>0 esiste un intorno I di Xo tale che, per ogni x appartenente a I, salvo al più Xo stesso, risulta:

8 LIMITI:DEFINIZIONI E TEOREMI Come si verifica il limite Se si conosce il valore L del limite e si vuole dimostrarne la correttezza: Si imposta la disequazione: La si risolve Si constata che linsieme delle soluzioni è un intorno di Xo, ovvero è un intervallo aperto che contiene Xo (in effetti, basta che linsieme delle soluzioni contenga un tale intorno; se cè altro poco importa)

9 LIMITI:DEFINIZIONI E TEOREMI Come si verifica il limite La disequazione base: Equivale al sistema

10 LIMITI:DEFINIZIONI E TEOREMI LIMITE FINITO PER X TENDENTE ALLINFINITO Data una funzione f:D->R, D superiormente illimitato, si dice che la funzione f tende al limite L per x tendente a più infinito Se per ogni ε>0 esiste un numero N>0 tale che, per ogni x maggiore di N, risulta:

11 LIMITI:DEFINIZIONI E TEOREMI Hai capito la definizione? Prova a completare… Data una funzione f:D->R, D superiormente illimitato, si dice che la funzione f tende al limite L per x tendente a meno infinito Se ……

12 LIMITI:DEFINIZIONI E TEOREMI LIMITE INFINITO PER X TENDENTE A UN VALORE FINITO Data una funzione f:D->R, Xo punto di accumulazione di D, si dice che la funzione f tende a più infinito per x tendente a Xo Se per ogni M>0 esiste un intorno di Xo, I, tale che per ogni x appartenente ad I, salvo al più Xo stesso:

13 LIMITI:DEFINIZIONI E TEOREMI Prova a completare….. Data una funzione f:D->R, D superiormente illimitato, si dice che la funzione f tende a meno infinito per x tendente a Xo Se…

14 LIMITI:DEFINIZIONI E TEOREMI LIMITE INFINITO PER X TENDENTE ALLINFINITO Data una funzione f:D->R, D superiormente illimitato, si dice che la funzione f tende a più infinito per x tendente a più infinito Se per ogni M>0 esiste un numero N>0 tale che, per ogni x maggiore di N:

15 LIMITI:DEFINIZIONI E TEOREMI Scambiando + con – si possono daree altre tre definizioni analoghe: prova a scriverle…

16 LIMITI:DEFINIZIONI E TEOREMI UNA DEFINIZIONE ALTERNATIVA DI LIMITE La disequazione che compare nella definizione di limite finito-finito: Equivale a: Infatti, basta portare L a destra e usare la proprietà transitiva

17 LIMITI:DEFINIZIONI E TEOREMI UNA DEFINIZIONE ALTERNATIVA DI LIMITE Ma questa disequazione: Equivale ad affermare che il valore di f(x) cade nellintervallo (L-ε,L+ε), che è un intorno di L, anzi è un arbitrario intorno di L, visto che ε è arbitrario. Questo ci permette di dare una nuova definizione di limite

18 LIMITI:DEFINIZIONI E TEOREMI LIMITE FINITO PER X TENDENTE A UN VALORE FINITO Data una funzione f:D->R, Xo punto di accumulazione del dominio D, si dice che la funzione f tende al limite L per x tendente a Xo Se per ogni intorno H di L esiste un intorno I di Xo tale che, per ogni x appartenente a I, salvo al più Xo stesso, f(x) appartiene a L

19 LIMITI:DEFINIZIONI E TEOREMI INTORNI DI PIU E MENO INFINITO La condizione x>M può anche essere detta così: X appartiene allintervallo (M,+) Questo intervallo si dice INTORNO DI PIU INFINITO La condizione X<-M può anche essere detta così: X appartiene allintervallo (-,-M) Questo intervallo si dice INTORNO DI MENO INFINITO

20 LIMITI:DEFINIZIONI E TEOREMI DEFINIZIONE DI LIMITE Con queste convenzioni, la definizione data prima non comprende solo il caso finito-finito, ma tutti i casi. Si unificano in questo modo le quattro definizioni di limite, anche se per praticità di calcolo di solito si tengono distinte

21 LIMITI:DEFINIZIONI E TEOREMI LIMITE DESTRO (FINITO-FINITO) Data una funzione f:D->R, Xo punto di accumulazione del dominio D, si dice che la funzione f tende al limite L per x tendente a Xo da destra Se per ogni ε>0 esiste un intorno destro I di Xo tale che, per ogni x appartenente a I, salvo al più Xo stesso, risulta:

22 LIMITI:DEFINIZIONI E TEOREMI LIMITE SINISTRO (FINITO-FINITO) Data una funzione f:D->R, Xo punto di accumulazione del dominio D, si dice che la funzione f tende al limite L per x tendente a Xo da sinistra Se per ogni ε>0 esiste un intorno sinistro I di Xo tale che, per ogni x appartenente a I, salvo al più Xo stesso, risulta:

23 LIMITI:DEFINIZIONI E TEOREMI LIMITE SINISTRO E DESTRO (INFINITO-FINITO) Prova a scrivere la definizione di limite infinito destro e sinistro

24 LIMITI:DEFINIZIONI E TEOREMI TEOREMI SUI LIMITI

25 LIMITI:DEFINIZIONI E TEOREMI TEOREMA DELLUNICITA DEL LIMITE: IL LIMITE, SE ESISTE, E UNICO Ovvero: data una funzione f:D->R, un punto Xo e un numero L, se: Allora non esiste un altro numero L diverso da L tale che:

26 LIMITI:DEFINIZIONI E TEOREMI DIMOSTRAZIONE PER ASSURDO: Supponiamo per assurdo che esistano due limiti distinti L ed L: allora, in base alla definizione, per ogni ε>0 dovrebbe esistere un intorno di Xo tale che per ogni x appartenente allintorno dovrebbero valere entrambe le disuguaglianze: COSE?

27 LIMITI:DEFINIZIONI E TEOREMI Queste disequazioni sono equivalenti ai due sistemi: Inoltre, poiché ε è arbitrario, lo possiamo scegliere minore della semidifferenza tra L ed L (supponendo L maggiore di L)

28 LIMITI:DEFINIZIONI E TEOREMI Isoliamo le due disequazioni che ci interessano E cambiamo di segno alla seconda

29 LIMITI:DEFINIZIONI E TEOREMI Sommiamo membro a membro + Ottenendo: ovvero:…………………………………….

30 LIMITI:DEFINIZIONI E TEOREMI Mettiamo ora insieme quanto ottenuto con quanto era stato posto allinizio: Posizione iniziale Risultato ottenuto Queste due formule sono CONTRADDITTORIE

31 LIMITI:DEFINIZIONI E TEOREMI Quindi, poiché aver negato la tesi del teorema (cioè aver supposto che possano esistere due limiti distinti per una stessa funzione e per uno stesso valore di X, Xo) porta a una contraddizione, allora la tesi è vera.

32 LIMITI:DEFINIZIONI E TEOREMI HAI CAPITO LA DIMOSTRAZIONE? PROVA A RIFARLA SUPPONENDO CHE L SIA MAGGIORE DI L, E CHE QUINDI ε SIA MINORE DI (L-L)/2…

33 LIMITI:DEFINIZIONI E TEOREMI TEOREMA DELLA PERMANENZA DEL SEGNO UNA FUNZIONE HA LO STESSO SEGNO DEL SUO LIMITE Ovvero: se L è il limite di f(x) per x tendente a Xo allora: se L è positivo allora esiste un intorno di Xo in cui la funzione è positiva se esiste un intorno di Xo in cui la funzione è positiva allora L è positivo o nullo

34 LIMITI:DEFINIZIONI E TEOREMI DIMOSTRAZIONE DELLA PRIMA PARTE In base alla definizione di limite per ogni ε>0 esiste un intorno di Xo in cui vale che: Inoltre, poiché ε è arbitrario, e poiché L è comunque positivo per ipotesi, possiamo sceglierlo minore di L

35 LIMITI:DEFINIZIONI E TEOREMI Isoliamo la disequazione che ci interessa e scriviamola così: Inoltre, scriviamo quanto avevamo posto, cioè: Così:

36 LIMITI:DEFINIZIONI E TEOREMI Confrontiamo le due disuguaglianze: per la proprietà transitiva possiamo dire che: E questo vale per ogni x appartenente allintorno dato, che era la tesi del teorema, prima parte

37 LIMITI:DEFINIZIONI E TEOREMI DIMOSTRAZIONE DELLA SECONDA PARTE Adesso, per ipotesi, abbiamo che in un intorno di Xo: Scegliamo dalle due solite disequazioni date dalla definizione di limite quella che ci interessa ora

38 LIMITI:DEFINIZIONI E TEOREMI Confrontiamo queste due, opportunamente scritte: Otteniamo, per la proprietà transitiva: Ovvero:

39 LIMITI:DEFINIZIONI E TEOREMI Ma se L è maggiore di qualsiasi numero negativo (infatti ε rappresenta un qualsiasi numero positivo, perciò il suo opposto è un qualsiasi numero negativo) Allora non può che essere un numero positivo o nullo, che era la tesi

40 LIMITI:DEFINIZIONI E TEOREMI TEOREMA DELLA PERMANENZA DEL SEGNO HAI CAPITO LA DIMOSTRAZIONE? ALLORA PROVA A DIMOSTRARE QUESTO se L è il limite di f(x) per x tendente a Xo allora: se L è NEGATIVO allora esiste un intorno di Xo in cui la funzione è negativa se esiste un intorno di Xo in cui la funzione è megativa allora L è NEGATIVO o nullo

41 LIMITI:DEFINIZIONI E TEOREMI TEOREMA DEL CONFRONTO UNA FUNZIONE COMPRESA TRA DUE FUNZIONI CHE CONVERGONO ALLO STESSO LIMITE CONVERGE ANCHESSA ALLO STESSO LIMITE

42 LIMITI:DEFINIZIONI E TEOREMI TEOREMA DEL CONFRONTO Ovvero: date le tre funzioni f,g,h:D->R, se: esiste un intorno di Xo in cui risulta: e se: allora:

43 LIMITI:DEFINIZIONI E TEOREMI DIMOSTRAZIONE Per definizione, come negli altri casi, risulta: Da ognuna prendiamo quella che ci interessa e la riscriviamo modificata:

44 LIMITI:DEFINIZIONI E TEOREMI Prendiamo anche lipotesi del teorema ed estraiamone le due disuguaglianze che ci interessano:

45 LIMITI:DEFINIZIONI E TEOREMI Confrontiamole con le precedenti: Per la proprietà transitiva:

46 LIMITI:DEFINIZIONI E TEOREMI Combinandole in un unico sistema: Che è appunto ciò che richiede la definizione di limite: quindi anche f(x) ha come limite L

47 DIMOSTRAZIONE PER ASSURDO E una dimostrazione in cui si suppone che la tesi sia falsa e, in base a questo, si mostra che lipotesi viene contraddetta: ma siccome lipotesi è vera, la tesi non può essere falsa e quindi deve essere vera (principio del TERZO ESCLUSO) Simbolicamente, anziché dimostrare A => B Si dimostra il suo equivalente logico Non B => non A TORNA


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