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CONTINUIT À DELLE FUNZIONI. FUNZIONI CONTINUE DEFINIZIONE: Una funzione di equazione y = f(x), definita in un intorno di x 0, si dice continua nel punto.

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1 CONTINUIT À DELLE FUNZIONI

2 FUNZIONI CONTINUE DEFINIZIONE: Una funzione di equazione y = f(x), definita in un intorno di x 0, si dice continua nel punto x 0 quando esiste il limite della funzione per x che tende ad x 0 e questo limite è uguale al valore della funzione in quel punto, cioè quando: lim f(x) = f(x 0 ) x x 0 Ricordando la definizione di limite possiamo dire che la funzione f(x) è continua nel punto x =x 0 quando, considerato un numero positivo arbitrariamente piccolo, è possibile trovare un intorno di x 0 per tutti i punti del quale, compreso x 0, si abbia: f(x) – f(x 0 ) < ovvero f(x 0 ) - < f(x) < f(x 0 ) +

3 FUNZIONI CONTINUE Pertanto dalla definizione si deduce che una funzione f(x) è continua in un punto x 0 quando sono verificate le seguenti condizioni: esiste il valore della funzione nel punto x 0 ; esiste ed è finito il limite della unzione per x x 0 ; il limite della funzione per x x 0 coincide con il valore della funzione nel punto x 0. NOTA Una funzione si dice continua a sinistra in x 0 se lim f(x) = f(x 0 ) x x 0 - Una funzione si dice continua a destra in x 0 se lim f(x) = f(x 0 ) x x 0 + DEFINIZIONE: Una funzione f(x) è continua in un intervallo I se è continua in tutti i punti dellintervallo.

4 FUNZIONI CONTINUE X R y = k y = x y = con n dispari y = y = a x (a > 0) y = a x y = senx y = cosx y = arctgx y = arcctgx

5 FUNZIONI CONTINUE La funzione: y = con n pari è continua per x 0 y = y = log a x (a > 0, a 1) è continua per x > 0 y = log a x y = tgx è continua per x /2 + k y = tgx y = cotgx è continua per x k y = cotgx DEFINIZIONE: Abbiamo visto che una funzione y = f(x) è continua in un punto x = x 0 se sono verificate contemporaneamente tre condizioni. Quando anche solo una delle tre condizioni non è verificata, allora in tale punto la funzione è discontinua e x = x 0 viene detto punto di discontinuità per la funzione (o punto singolare).

6 y = a x, a > 1 y = a x, 0 < a < 1 y = xy = k k y = con n = 3

7 y = senx y = cosx y = arctgx y = arccotgx

8 con n = 2 con a > 1 con 0 < a < 1

9 FUNZIONI DISCONTINUE IN UN PUNTO DISCONTINUIT À DI PRIMA SPECIE Si dice che nel punto x = x 0 la funzione y = f(x) presenta una discontinuità di prima specie quando esistono finiti i limiti dalla destra e dalla sinistra per x x 0 della funzione, ma sono DIVERSI tra loro (a prescindere dalleventuale valore della f(x) in x = x 0 ), cioè lim f(x) x x 0 - x x 0 + Si dice che nel punto x = x 0 la funzione presenta un salto. ESEMPIO 1

10 FUNZIONI DISCONTINUE IN UN PUNTO DISCONTINUIT À DI SECONDA SPECIE Si dice che nel punto x = x 0 la funzione y = f(x) presenta una discontinuità di seconda specie quando non esiste o non esiste finito, uno almeno dei due limiti dalla destra o dalla sinistra di x 0. ESEMPIO 2ESEMPIO 2

11 FUNZIONI DISCONTINUE IN UN PUNTO DISCONTINUIT À DI TERZA SPECIE Si dice che nel punto x = x 0 la funzione y = f(x) presenta una discontinuità di terza specie (o discontinuità eliminabile) quando esiste ed è finito il limite per x x 0 di f(x), ma f(x 0 ) non esiste o è diverso dal valore del limite. ESEMPIO 3

12 FUNZIONI DISCONTINUE IN UN PUNTO ESEMPIO 1 f(x) = x/ x funzione definita per x 0. f(0) non esiste, pertanto la funzione non è continua nel punto 0. lim f(x) = lim x/(- x) = - 1 x 0 - x 0 - lim f(x) = lim x/x = 1 x 0 + x 0 + I limiti sono diversi quindi si tratta di una discontinuità di prima specie.

13 FUNZIONI DISCONTINUE IN UN PUNTO ESEMPIO 2 f(x) = sen(1/x) funzione definita per x 0. lim sen(1/x) non esiste x 0 - lim sen(1/x) non esiste x 0 + I limiti non esistono quindi si tratta di una discontinuità di seconda specie. OSSERVAZIONE: i limiti non esistono perché quando x tende a zero lespressione 1/x tende allinfinito e il valore del seno continua ad oscillare fra – 1 e 1 senza ammettere limite.

14 FUNZIONI DISCONTINUE IN UN PUNTO ESEMPIO 3 f(x) = senx/x Per x = 0 la funzione non esiste, ma lim senx/x = lim senx/x = 1 x 0 + x 0 - pertanto è una discontinuità di terza specie. Si tratta quindi di una discontinuità eliminabile. Per eliminare tale discontinuità occorre definire la funzione in maniera diversa, ad esempio ponendo: senx/x per x 0 f * (x) = 1 per x = 0 La funzione f * (x) è continua in R.

15 TEOREMI SULLE FUNZIONI CONTINUE TEOREMA Se la funzione y = f(x) è continua nellintervallo chiuso e limitato a; b e negli estremi di tale intervallo assume valori di segno opposto, allora esiste almeno un punto x 0, interno ad a; b, in cui è f(x 0 ) = 0. TEOREMA Se la funzione y = f(x) è continua nellintervallo chiuso e limitato a; b, allora essa assume, in tale intervallo, un valore minimo e un valore massimo. TEOREMA Se la funzione y = f(x) è continua nellintervallo chiuso e limitato a; b, allora essa assume, in tale intervallo, tutti i valori compresi tra il minimo e il massimo.


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