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G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Il problema del moto Conoscendo la legge oraria, ossia conoscendo la posizione del punto materiale ad ogni istante.

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Presentazione sul tema: "G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Il problema del moto Conoscendo la legge oraria, ossia conoscendo la posizione del punto materiale ad ogni istante."— Transcript della presentazione:

1 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Il problema del moto Conoscendo la legge oraria, ossia conoscendo la posizione del punto materiale ad ogni istante di tempo: –Con una prima derivazione possiamo determinare la funzione velocità –Con una seconda derivazione possiamo determinare la funzione accelerazione Il problema che ora ci poniamo è il seguente: –Se conosciamo laccelerazione ad ogni istante di tempo nellintervallo di osservazione del moto, conosciamo cioè la funzione a(t), –siamo in grado di determinare la legge oraria? –determinare come varia la posizione in funzione del tempo, la funzione x(t)? Si tratta di risolvere la seguente equazione:

2 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Lequazione differenziale Lequazione precedente è unequazione differenziale –Contiene le derivate –È del secondo ordine (contiene la derivata seconda) Cosa vuol dire risolvere una equazione differenziale come quella precedente? –Occorre ricercare tra tutte le possibili funzioni del tempo, quelle la cui derivata seconda rispetto al tempo coincide con la funzione nota dellaccelerazione a(t).

3 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Soluzioni dellequazione differenziale Supponiamo di aver trovato una soluzione dellequazione differenziale, –di aver trovato cioè una funzione x 1 (t) la cui derivata seconda è proprio uguale alla funzione nota a(t). La funzione x(t)=k 1 +k 2 t+x 1 (t), con k 1 e k 2 due costanti reali qualsiasi, è anchessa soluzione della stessa equazione differenziale.

4 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Soluzione formale dellequazione differenziale Cominciamo con il risolvere unequazione più semplice: –Supporremo si conoscere la funzione velocità v x (t) –e di voler determinare la legge oraria x(t) –Lequazione differenziale in questo caso è del primo ordine. Fissato un generico istante di tempo t* –si calcola lo spostamento subito dal punto materiale tra t=0 e t* Si ripete il calcolo per tutti gli istanti di tempo –si ottiene così la legge oraria

5 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Soluzione formale dellequazione differenziale Se conoscessimo la velocità media tra t=0 e t*, lo spostamento varrebbe: Purtroppo conosciamo la velocità in tutti gli istanti di tempo ma non quella media Possiamo fare delle ipotesi: –La velocità media è uguale a quella a t=0 –a quella a t*/2

6 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Risoluzione formale dellequazione differenziale Possiamo immaginare di suddividere lintervallo tra 0 e t* in n intervalli più piccoli di ampiezza Siano t o = 0 t 1 = t o + t t 2 = t o + 2 t … t i = t o + i t … t n = t o + n t = t* gli istanti intermedi. Lo spostamento in ciascun t

7 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Risoluzione formale dellequazione differenziale Lo spostamento complessivo invece Noi però non conosciamo la velocità media v xm,i in ciascuno degli n intervalli di tempo, –sappiamo solo che essa è compresa tra il valore minimo e quello massimo assunti dalla funzione v x (t) nell'intervallo tra t i-1 e t i Per fare una stima dello spostamento supporremo che la velocità media nelli-esimo intervallo coincida con la velocità allinizio dellintervallo stesso: La stima dello spostamento nel grafico corrisponde allarea totale dei rettangoli di base t e altezza v x (t i-1 ).

8 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Risoluzione formale dellequazione differenziale Lapprossimazione v xm,i =v x (t i-1 ) è tanto migliore quanto più piccola è lampiezza degli intervalli t. –Infatti al diminuire di t diminuisce la differenza tra il valore massimo e quello minimo della velocità in t. Otterremo una stima sempre più precisa dello spostamento man mano che t tende a zero, o, equivalentemente, man mano che n, il numero delle suddivisioni, tende allinfinito.

9 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Risoluzione formale dellequazione differenziale Diremo quindi che lo spostamento tra t=0 e t* del punto materiale è uguale a: Questo limite si chiama integrale della funzione v x (t) tra t=0 e t, e si indica: Si tratta di un integrale definito, in quanto sono specificati gli estremi di integrazione (t=0 e t*)

10 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Risoluzione formale dellequazione differenziale Lintegrale definito corrisponde allarea sotto la curva tra t=0 e t*. –Attenzione larea deve essere presa con il segno Positiva nei tratti in cui la funzione è positiva Negativa nei tratti in cui la funzione è negativa Calcolando lintegrale per ogni istante t* si ottiene la legge oraria

11 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 La velocità media Siamo ora in grado di valutare la velocità media nellintervallo tra t=0s e t*. Applicando la definizione: Larea del rettangolo di base t e altezza v m ha un area uguale a quella delimitata dal grafico della curva, lasse delle ascisse e gli estremi dellintervallo t=0s e t* Da cui si ottiene:

12 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Lintegrale definito Elementi dellintegrale definito t t+dt f(t) Il significato

13 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Come si risolve lintegrale definito Lintegrale è loperazione inversa della derivata Per calcolare l'integrale definito della funzione f(t), –occorre ricercare una qualsiasi funzione della variabile di integrazione, F(t) tale che la sua derivata, fatta rispetto alla variabile di integrazione, sia proprio uguale alla funzione integranda: La funzione F(t) si chiama primitiva della funzione f(t) Il valore dellintegrale si ottiene calcolando la differenza tra i valori assunti dalla funzione nellestremo superiore e nellestremo inferiore. In simboli:

14 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Esempio Dalla definizione di velocità sappiamo che: v(t) è la velocità allistante t dt è un intervallo di tempo infinitesimo che comincia allistante t dx è lo spostamento infinitesimo subito dal punto nellintervallo infinitesimo dt questa uguaglianza vale in tutti gli infiniti intervalli infinitesimi in cui ho suddiviso lintervallo di osservazione del moto Luguaglianza continuerà a valere se sommo, membro a membro, su tutti gli infiniti intervalli di tempo: 5=3+2 7=5+2 Totale 12=12 Valutiamo variabile di integrazione x funzione integranda f(x)=1 primitiva F(x)=x usualmente t i =0s x(0s)=x o

15 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Proprietà degli integrali Lintegrale altro non è che una somma, con lunica particolarità che è fatta su infiniti termini. Siccome in una somma il risultato non cambia cambiando lordine con cui vengono sommati i vari termini, allora ne deduciamo che –lintegrale di una somma di funzioni è uguale alla somma degli integrali Inoltre, così come in una somma, se tutti i termini hanno un fattore comune, questo può essere messo in evidenza, così nellintegrale, eventuali costanti che moltiplicano i vari elementi infinitesimi da sommare, possono essere portate fuori del segni di integrale.

16 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Moto uniforme Valutiamo ora il secondo membro: –È necessario specificare la funzione v x (t). –Supponiamo che v x (t) sia costante, moto uniforme, e pari a v xo variabile di integrazione t funzione integranda f(t)=v xo primitiva F(t)= v xo t Si ricava Questa relazione è valida comunque noi scegliamo listante t f in cui vogliamo smettere losservazione del moto. Si può sopprimere lindice f Si ottiene così la legge oraria del moto uniforme:

17 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Considerazioni La legge oraria trovata è soluzione dellequazione differenziale: è come ce laspettavamo, la posizione varia linearmente con il tempo : 0,00 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00 1,20 0,005,0010,0015,00 t (s) x (m) xoxo tan =v xo Osserviamo che per qualunque valore di x o, la funzione precedente è soluzione dellequazione differenziale. –Ci sono infinito alla uno soluzioni delleq. diff. –Infatti lequazione differenziale è del primo ordine. Lequazione differenziale non determina la costante x o, essa viene determinata dalle condizioni iniziali (nel nostro caso x o è proprio la posizione iniziale, a t=0s). Lanalisi ci dice che esiste una ed una sola soluzione dellequazione differenziale che soddisfa anche le condizioni iniziali –Il numero delle condizioni iniziali pari al grado delleq. diff.

18 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Moto uniformemente accelerato Consideriamo ora il caso in cui laccelerazione sia costante ( a xo ). Cominciamo col determinare la velocità in funzione del tempo Si tratta di risolvere la seguente equazione differenziale: Nello studio del moto uniforme noi abbiamo risolto la seguente equazione Che ha esattamente la stessa struttura di quella che vogliamo risolvere ora: Anche la soluzione avrà la stessa struttura della soluzione trovata in precedenza

19 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Legge oraria del moto uniformemente accelerato Abbiamo trovato come varia nel tempo la velocità nel caso in cui laccelerazione è costante: Per arrivare alla legge oraria dobbiamo risolvere la seguente eq. diff. Sappiamo che la soluzione di tale eq. diff. è data da:

20 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 La legge oraria del moto uniformemente accelerato Come già osservato in precedenza, la legge oraria precedente, per qualunque valore delle costanti x o e v xo è soluzione delleq. diff. –Lequazione differenziale non determina tali costanti: Esse vanno determinate utilizzando le condizioni iniziali: –La posizione x o allistante iniziale t=0 –La velocità v ox allistante iniziale t=0 Lanalisi ci dice che esiste una ed una sola soluzione delleq. diff. che soddisfa anche al problema delle condizioni inziali. Le due equazioni in testa alla pagina vanno interpretate come lintegrale generale dellequazione differenziale del moto uniformemente accelerato e vanno poi adattate al problema specifico inserendo le corrette condizioni iniziali. È la soluzione della eq. diff.

21 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Grafico orario del moto uniformemente accelerato Il grafico orario del moto uniformemente accelerato è un arco di parabola. x o è la posizione allistante t=0s (lintercetta con lasse delle ordinate). v xo è la velocità iniziale, ossia la pendenza del grafico allistante iniziale. Landamento della velocità in funzione del tempo è lineare. xoxo

22 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Moto uniforme ed uniformemente accelerato Il moto uniformemente accelerato, contiene, come caso particolare il moto uniforme, quando cioè laccelerazione a xo è uguale a zero.

23 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Moto di caduta dei gravi Galilei ha determinato che –in vicinanza della superficie terrestre, –in assenza di aria Tutti i corpi cadono verso il basso con accelerazione g –g non dipende dalla natura dei corpi (ferro, alluminio, legno, etc) –g, allinterno di un volume limitato (il laboratorio), non dipende dalla posizione del corpo. –g, è quindi anche indipendente dal tempo (costante). –Se il volume non è limitato g dipende dalla quota g dipende dalla latitudine, è più grande ai poli, ed è più piccola allequatore Alle nostre latitudini g vale circa g=9.81 m/s 2

24 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Moto di caduta dei gravi Il moto di caduta dei gravi si studia considerando un sistema di riferimento con lasse y orientato verso lalto. La componente lungo lasse y dellaccelerazione di gravità è negativa (-g=-9.81m/s 2 ). Le leggi del moto di caduta dei gravi sono: Le costanti y o e v yo vanno determinate sulla base delle condizioni iniziali g=9.81 m/s 2

25 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Appli cazio ne Nel momento in cui il semaforo volge al verde, unauto parte con accelerazione costante a=2.2 m/s 2. Nello stesso istante un autocarro che sopravviene alla velocità costante di 9.5 m/s sorpassa lauto. a) A quale distanza oltre al semaforo lauto risorpasserà il camion? b) Quale sarà la velocità dellauto in quel momento? a) A quale distanza oltre al semaforo lauto risorpasserà il camion? Iniziamo a contare il tempo a partire dal momento in cui il semaforo diventa verde (t=0s). Introduciamo un asse di riferimento lungo la strada rettilinea. Fissiamo lorigine nel punto in cui è ferma lautomobile in attesa del verde. Orientiamo lasse nel verso del moto del camion e dellautomobile. Con queste scelte le condizioni iniziali sono: Auto x Ao =0 m v Aox =0 m/s a Aox =2.2 m/s 2 Camion x Co =0 m v Cox =9.5 m/s a Cox =0 m/s 2 Le rispettive leggi orarie diventano: O x A C

26 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Appli cazio ne Ci sarà il risorpasso dellauto quando le posizioni dellauto e del camion saranno nuovamente uguali. Calcoliamo listante di tempo quando questa situazione si verifica: t 1 corrisponde allistante in cui il camion sorpassa lauto ferma, anche in quel caso infatti le posizioni dei due veicoli coincidevano. Listante del risorpasso sarà t 2. La velocità dellauto in quellistante sarà:

27 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Appli cazio ne La posizione in cui avviene il risorpasso, la possiamo calcolare con una delle due leggi orarie: La velocità dellauto in quellistante sarà:


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