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MATLAB. …oggi… Indipendenza lineare, basi, sottospazi Indipendenza lineare, basi, sottospazi Autovalori, autovettori Autovalori, autovettori Fattorizzazione.

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Presentazione sul tema: "MATLAB. …oggi… Indipendenza lineare, basi, sottospazi Indipendenza lineare, basi, sottospazi Autovalori, autovettori Autovalori, autovettori Fattorizzazione."— Transcript della presentazione:

1 MATLAB

2 …oggi… Indipendenza lineare, basi, sottospazi Indipendenza lineare, basi, sottospazi Autovalori, autovettori Autovalori, autovettori Fattorizzazione QR Fattorizzazione QR Esercizi vari Esercizi vari

3 sono linearmenti indipendenti se m=n e i vettori sono l.i. => formano una base di R n Vettori l.i.

4 Esempio - 1 il rango è 3 => i vettori sono l.i. e formano una base per R 3 v1 = [1 0 2]; v2 = [2 1 1]; v3 = [1 2 0]; A = [v1 v2 v3] rank(A) costruiamo la matrice A (le cui colonne sono le componenti dei vettori)

5 Esempio – 2 (I parte) v1 = [ ]; v2 = [ ]; v3 = [ ]; v4 = [ ]; A = [v1 v2 v3 v4] rank(A) il rango è 3 => i vettori sono l.d.

6 Esempio – 2 (II parte) Per trovare una c.l. nulla a coefficienti nn tutti nulli t.c. Per trovare una c.l. nulla a coefficienti nn tutti nulli t.c. troviamo una soluzione non nulla del sistema omogeneo Ak = 0 troviamo una soluzione non nulla del sistema omogeneo Ak = 0 rref(A)

7 Basi Dopo aver verificato che i vettori sono una base di R3 esprimere come c.l. dei Dopo aver verificato che i vettori sono una base di R 3 esprimere come c.l. dei v1 = [1 1 0]; v2 = [0 1 1]; v3 = [1 0 1]; v = [1 1 1]; A = [v1 v2 v3] rank(A) il rango è 3 => i vettori sono l.i. i coefficienti lineari della combinazione si trovano: k=A\v

8 costruiamo la matrice A le cui colonne sono le componenti dei vettori costruiamo la matrice A le cui colonne sono le componenti dei vettori i vettori sono l.i. rank(A)=m (m<=n) i vettori sono l.i. rank(A)=m (m<=n) se sono l.d. => i coefficienti di una loro combinazione lineare non nulla si trovano risolvendo il sistema Ak=0 se sono l.d. => i coefficienti di una loro combinazione lineare non nulla si trovano risolvendo il sistema Ak=0 Per esprimere un vettore w come c.l. dei vettori della base, si risolve il sistema Ak=w Per esprimere un vettore w come c.l. dei vettori della base, si risolve il sistema Ak=w W = span(v 1,v 2,…,v m ) W = span(v 1,v 2,…,v m ) dim W = rank(A) dim W = rank(A) una base B W del s.s. W è costituita dai vettori l.i. di A una base B W del s.s. W è costituita dai vettori l.i. di A …ricapitolando…

9 Esercizo Scrivere una funzione di n (n>0) che crei la matrice A : Scrivere una funzione di n (n>0) che crei la matrice A : per n=7 sia W=span(c1,c2,c3,c4) per n=7 sia W=span(c1,c2,c3,c4) 1. dim(W)=? scrivere una base di W dire quali dei seguenti vettori appartiene a W ed eventualmente scriverne le coordinate rispetto alla base di W trovata: w1=( ) w2=( )

10 Vettori ortogonali I vettori non nulli si dicono ortogonali se: I vettori non nulli si dicono ortonormali se sono ortogonali e inoltre Se m=n si dice che tali vettori ortonormali formano una base canonica (ortonormale) di R n

11 Matrici ortogonali Una matrice si dice ortogonale se le sue colonne formano vettori fra loro ortonormali Una matrice si dice ortogonale se le sue colonne formano vettori fra loro ortonormali le colonne (le righe) di A formano una b.c. di R n

12 Vettori ortogonali in MATLAB Per verificare, mediante MATLAB, se 2 vettori colonna v 1, v 2 sono ortogonali Se il prodotto del vettore riga v1 col vettore colonna v2 e 0 => i vettori sono ortogonali Per calcolare la norma di un vettore v1*v2==0 norm(v)

13 Autovalori e autovettori Per trovare gli autovalori e autovettori di A ava= eig(A) [V D] = eig(A) ava -> vettore colonna degli autovalori di A D -> matrice diagonale contenente gli autovalori di A V -> matrice le cui colonne sono gli autovettori di A relativi agli autovalori in D

14 Esempio diagonalizzabile => diagonalizzabile => esiste una base di R n formata da autovettori di A esiste una base di R n formata da autovettori di A A simmetrica => A diagonalizzabile A simmetrica => A diagonalizzabile in questo caso eig dà una matrix V ortonormale in questo caso eig dà una matrix V ortonormale [V D] = eig(A) V*V

15 Esercizi Richiamare la matrice A di prima, costruire la matrice A*A Richiamare la matrice A di prima, costruire la matrice A*A 1. dire se è diagonalizzabile 2. trovare la matrix P che la diagonalizza 3. scrivere una base o.n. di R 7 La matrice A è diagonalizzabile? La matrice A è diagonalizzabile?

16 Fattorizzazione QR Una matrice invertibile può essere fattorizzata come A = QR Q è ortogonale (è lortogonalizzazione delle colonne di A ) R è triangolare superiore. Si può usare la stessa fattorizzazione anche per matrici

17 Esempio Trovare la fattorizzazione QR della matrice clear A=[9 6 2 ; ; ]; [Q,R]=qr(A) Q*R=A % test Q*Q % è = I

18 Esercizo Richiamare la matrice A di prima Richiamare la matrice A di prima 1. eseguire la fattorizzazione QR 2. scrivere una base normale per W=span(c1,c2,c3,c4) 3. completare la base o.n. di W a base o.n. di R 7


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