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Geometria Euclidea e Geometria non Euclidea. La storia della geometria Euclidea La nascita della geometria come parte del pensiero scientifico razionale.

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Presentazione sul tema: "Geometria Euclidea e Geometria non Euclidea. La storia della geometria Euclidea La nascita della geometria come parte del pensiero scientifico razionale."— Transcript della presentazione:

1 Geometria Euclidea e Geometria non Euclidea

2 La storia della geometria Euclidea La nascita della geometria come parte del pensiero scientifico razionale avviene nel III secolo a.C. grazie ad Euclide che nei suoi 'Elementi' riassume e sistematizza tutto il sapere scientifico dell'epoca, dandogli una struttura logica fondata su enti primitivi e proprietà fondamentali, dette postulati.Euclidepostulati

3 I concetti fondamentali TERMINI PRIMITIVI ASSIOMI NUOVI ENTI NUOVE PROPRIETA (TEOREMI) Da cui si deducono Mediante definizioni Mediante dimostrazioni

4 Termini o enti primitivi Punto, retta e piano. Qualunque altro oggetto geometrico può essere definito a partire da questi Assiomi o postulati Proprietà che supponiamo essere vere e che pertanto non dimostriamo

5 - Su di un piano esistono infiniti punti ed infinite rette - La retta passante per due punti distinti di un piano giace completamente sul piano - Tre punti distinti che non appartengono ad una medesima retta determinano un piano ed uno solo che li contiene

6 I 5 POSTULATI DI EUCLIDE: I) si possa tracciare una retta da un punto qualsiasi ad ogni altro punto; II) si possa prolungare indefinitamente una linea retta ; III) si possa descrivere un cerchio con un centro qualsiasi e un raggio qualsiasi; IV) tutti gli angoli retti siano uguali fra di loro; V)se una retta che interseca due altre rette forma dalla stessa parte angoli inferiori a due angoli retti, le due rette, se estese indefinitamente, si incontrano da quella parte dove gli angoli sono inferiori a due rette.

7 Per il quinto, detto postulato delle parallele, che in forma più semplice equivale a dire che:" Per un punto è possibile tracciare una sola retta parallela ad una retta data" Lo stesso Euclide dubitò della validità di esso: infatti lo utilizzò nella dimostrazione del teorema della somma degli angoli interni di un triangolo ed evitò il più possibile di richiamarlo in altre dimostrazioni. Per molto tempo i matematici furono convinti che il quinto postulato di Euclide non fosse indipendente dagli altri e fosse perciò dimostrabile come teorema: ci furono tanti tentativi di dimostrarlo e di sostituirlo con nuovi postulati ma tutte le sostituzioni si rivelarono equivalenti ad esso. Ma alcuni matematici arrivarono persino alla negazione di tale postulato, dando vita alle GEOMETRIE NON EUCLIDEE.

8 Una geometria non euclidea è:una geometria costruita negando o non accettando alcuni postulati euclidei. (Viene detta anche metageometria).. La Geometria non Euclidea Il quinto postulato di Euclide, delle parallele è quello che nel corso dei secoli ha suscitato il maggior interesse. La caratteristica che contraddistingue i postulati e gli assiomi della geometria di Euclide, secondo le idee del tempo, è l'essere asserzioni la cui verità è garantita dall'evidenza (l'opera di Euclide è stata riorganizzata in senso moderno da Hilbert, che l'ha spogliata, ad esempio, del carattere osservativo da cui partiva la giustificazione nell'uso dei postulati e degli assiomi euclidei).Hilbert

9 Tentativi di dimostrazione del quinto postulato Nei secoli, i tentativi di dimostrare il postulato sono numerosi: Proclo nel suo Commento al Primo Libro degli Elementi di Euclide ci riferisce delle "dimostrazioni" di Posidonio e Tolomeo, proponendone poi una sua. Altri tentativi furono compiuti dai matematici arabi, tra cui Nasir al-Din al-Tusi che mette in relazione il quinto postulato con la somma degli angoli interni di un triangolo e Omar Khayyam che nei suoi Commenti sui difficili postulati del libro di Euclide dimostrò accidentalmente alcune proprietà delle figure nelle geometrie non euclidee. In ognuno di questi tentativi di dimostrazione, e nei successivi, viene implicitamente dato per vero un assioma equivalente a quello delle parallele, rendendo vana la dimostrazione. Anche modificando la definizione di rette parallele non si approda a nulla: Euclide le definisce "due rette che non s'incontrano mai". Per Posidonio, secondo Proclo, esse sono "due rette equidistanti, ossia in cui i punti della seconda siano tutti alla stessa distanza dai corrispettivi della prima". Quest'ultima affermazione non dimostra nulla: non è detto che il luogo dei punti equidistanti da una retta sia una retta. Accettarlo in via di principio equivale ad assumere come valido il quinto postulato, e ci si ritrova da capo.

10 La Geometria ellittica o riemanniana si ottiene depennando il V postulato e ponendo al suo posto il postulato: Non esiste alcuna retta s passante per il punto P e parallela ad una retta r prefissata. Essa sarà non contradditoria, ossia non porterà mai ad affermare un asserto e contemporaneamente il suo opposto, se è possibile trovare un modello che soddisfi sia ai primi quattro postulati scritti da Euclide che al postulato. La Geometria Ellittica

11 Gli enti primitivi della Geometria di Riemann sono: Il piano Esso è costituito da una qualunque superficie sferica Il punto Esso è costituito da una qualunque coppia di punti diametralmente opposti sulla superficie sferica Il retta Essa è costituita da una qualsiasi circonferenza massima

12 Modello di Riemann Nel modello di Riemann come enti primitivi consideriamo il piano costituito da tutti i punti P di una qualunque superficie sferica; P, il punto costituito da una coppia di punti simmetrici della sfera rispetto al centro appartenenti alla superficie sferica, la retta R che è la circonferenza di raggio massimo. In queste condizioni data la retta R ed un punto P esterno ad essa non si può trovare nessuna retta R passante per P e parallela ad R.

13 La Geometria iperbolica o di Bolyai- Lobacevskij cancella il V postulato e pone al suo posto il postulato Esistono almeno due rette s e s passanti per il punto P e parallele ad una retta prefissata r. Essa sarà non contradditoria se è possibile individuare un modello che soddisfi sia ai primi quattro postulati scritti da Euclide che al postulato. Geometria iperbolica

14 Gli enti primitivi della Geometria di Bolyai- Lobacevskij sono: Il piano Esso è costituito dalla superficie di una qualunque sella Il punto Esso è costituito da un qualsiasi punto interno alla superficie curva Il retta Essa è costituita da una qualunque geodetica

15 Il triangolo curvilineo ABC su un pezzo di pseudosfera è il corrispondente di un triangolo rettilineo del piano euclideo, perché è composto da linee geodetiche. La somma degli angoli interni di questo triangolo è minore di 180° e dipende dalla grandezza del triangolo.

16 Modello di Klein Sia C un cerchio privato della circonferenza, i punti sono i punti di tale cerchio, mentre le rette siano le corde della stesso cerchio. Considerando la retta AB, un punto M fuori da essa, esistono infinite rette passanti per M che non intersecano AB, che sono rappresentate da tutte le corde per M e per C dellarco AP e BQ. B Q A C M P

17 FINE


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