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La filosofia interroga la matematica V. Michele Abrusci (filosofia, Roma Tre) & Mario Girardi (matematica, Roma Tre), Liceo Classico Socrate, Roma 23 febbraio.

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1 La filosofia interroga la matematica V. Michele Abrusci (filosofia, Roma Tre) & Mario Girardi (matematica, Roma Tre), Liceo Classico Socrate, Roma 23 febbraio 2012

2 Dalla matematica alla filosofia Alcuni contributi importanti offerti dalla matematica al pensiero filosofico. Fra di essi: –La dimostrazione di una proposizione universale mediante un oggetto generico (matematica greca, prima di Platone) –Lelaborazione del metodo assiomatico (Euclide) e del metodo assiomatico formale (geometria ed algebra del secolo XIX) –I diversi programmi di fondazione della matematica, proposti da eminenti matematici, fra la fine del XIX secolo e linizio del XX secolo.

3 Dimostrare le proposizioni universali, 1 Proposizioni universali: ogni A è B –Esempio: ogni triangolo ha la somma degli angoli interni pari a 180° Dimostrare una proposizione universale: –verificare ogni singolo caso? Impossibile quando i casi sono tanti (un numero elevato, o infiniti) –E allora? –Scoperta nella matematica greca: verificare un solo caso, prendendo in considerazione un oggetto e trattandolo come generico

4 Dimostrare le proposizioni universali, 2 Dimostrare ogni A è B –Si prende un oggetto che è A (ad esempio, un triangolo) –Si dimostra che quelloggetto è B (ad esempio che la somma degli angoli interni è 180°), –Usando nella dimostrazione solo quelle proprietà di quelloggetto che discendono dal suo essere A e non le sue particolari proprietà (nellesempio, solo le proprietà di essere triangolo) Una maniera geniale di dimostrazione, un patrimonio della nostra civiltà Alla base delle idee platoniche?

5 Metodo assiomatico, Euclide, 1 Metodo di organizzazione delle conoscenze, metodo di organizzazione di una disciplina, individuato nella matematica greca –(ad esempio, la geometria, Euclide) In una disciplina ci sono –I concetti che devono essere capiti, spiegati, definiti (ad esempio, punto, triangolo, ecc.) –Le proposizioni riconosciute come vere e che parlano dei concetti della disciplina, i cosiddetti teoremi (ad esempio, I teoremi della geomeria)

6 Metodo assiomatico, Euclide, 2 Metodo assiomatico: –Trovare il più piccolo numero di concetti della disciplina dai quali tutti gli altri concetti possano essere definiti mediante definizioni logiche; tali concetti sono chiamati concetti primitivi –Trovare il più piccolo numero di teoremi della disciplina dai quali tutti gli altri teoremi possono essere dimostrati mediante dimostrazioni logiche; tali teoremi sono chiamati postulati o assiomi Esempio: la geometria euclidea, e poi la fisica di Newton, o lEtica di Spinoza.

7 Metodo assiomnatico, Euclide, 3 In una disciplina organizzata secondo il metodo assiomatico: –Concetti: La comprensione dei concetti primitivi è data dalla intuizione delloggetto della disciplina (nella geometria, lintuizione dello spazio); le definizioni logiche trasmettono questa comprensione a tutti gli altri concetti –Teoremi: La verità degli assiomi o postulati è stabilita sulla base dellintuizione delloggetto della disciplina; le dinostrazioni logiche trasmettono questa verità a tutti gli altri teoremi.

8 Metodo assiomatico: la crisi del secolo XIX Nella geometria: –Si scopre lutilità e la sensatezza delle geometrie non euclidee (nelle quali viene negato il quinto postulato di Euclide) ad opera di Gauss, Lobačevskij, Riemann). –Ma così si hanno, in geometria, diversi sistemi di assiomi, incompatibili tra loro! –Lintuizione geometrica può assicurare solo uno di quei sistemi di assiomi; e gli altri su cosa si basano? Nellalgebra: – Analoga crisi proviene dallemergere dellalgebra astratta nel secolo XIX Liberalizzare il metodo assiomatico …

9 Metodo assiomatico formale, Hilbert La condizione di accettabilità di un sistema di assiomi – che sia utile in matematica – non è data dallintuizione, bensì dallaccertamento che gli assiomi siano non- contraddittori (da essi non deve derivare alcuna contraddizione). Il significato dei concetti primitivi è dato dagli assiomi stessi: i punti, le rette e I piani sono le cose che si comportano come è stabilito dagli assiomi della geometria. Esempi: –gli assiomi delle diverse geometrie (vedi Hilbert 1899), –gli assiomi dellaritmetica di Peano, –gli assiomi delle strutture algebriche (gruppi, anelli, ecc.)

10 Programmi per la Fondazione della Matematica, 1 Hilbert: –fondare la matematica è dimostrare la sua non- contradditorietà (dopo averla presentata in sistemi assiomatici), usando solo metodi della matematica più intuitiva (matematica finitaria). Frege e Russell: (logicismo) –fondare la matematica è mostrare che essa è tutta ricostruibile allinterno della logica. Brouwer: (costruttivismo) –fondare la matematica consiste nel sottoporre ad un esame tutte le sue teorie, conservando ciò che può essere ottenuto sulla base di costruzioni effettive, e eliminando tutto il resto.

11 Fondazione della Matematica, 2 Tutti questi programmi fondazionali –hanno contribuito a comprendere molta parte della attività matematica; –Hanno contribuito allavanzamento della matematica (ad esempio, il programma di Hilbert e quello di Brouwer hanno contribuito a gettare le basi dellinformatica) Ma tutti questi programmi fondazionali sono falliti –Per la scoperta della impossibilità del programma di Hilbert (teorema di Goedel, 1931) –Per la scoperta di antinomie nel programma del logicismo –Per limpossibilità di basare su costruzioni effettive buona parte delle teorie matematiche che sono peraltro indispensabili nella conoscenza scientifica Riflettere su cosa vuol dire fondazione della matematica … una fondazione che non sia un riduzionismo, non sia troppo semplicistica, tenga conto (renda conto) di tutta la matematica Interagire con i matematici, interrogare i matematici

12 La filosofia interroga la matematica Domanda 1 Quali sono le principali branche della matematica?

13 La filosofia interroga la matematica Domanda 2 Qual è il rapporto tra la conoscenza della realtà e la conoscenza matematica? La matematica viene dalla realtà? La matematica si riferisce alla realtà?

14 La filosofia interroga la matematica Domanda 3 Qual è il rapporto tra la matematica e le altre scienze, oggi?

15 La filosofia interroga la matematica Domanda 4 In che cosa consiste il lavoro del matematico?


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