La presentazione è in caricamento. Aspetta per favore

La presentazione è in caricamento. Aspetta per favore

Matematicamente indimostrabile Claudio Bernardi Sapienza - Dipartimento di Matematica che cosa fa un matematico? calcoli, per esempio, 95247 3518,(a+b)

Presentazioni simili


Presentazione sul tema: "Matematicamente indimostrabile Claudio Bernardi Sapienza - Dipartimento di Matematica che cosa fa un matematico? calcoli, per esempio, 95247 3518,(a+b)"— Transcript della presentazione:

1 matematicamente indimostrabile Claudio Bernardi Sapienza - Dipartimento di Matematica che cosa fa un matematico? calcoli, per esempio, ,(a+b) 9 a mano sono complicati, ma so farli esecuzione meccanica, senza sorprese (e se poi ho una calcolatrice...) molto più interessante: problemi numeri primi, come 2, 3, 5, 7, 11, 13,...

2 quanti sono i numeri primi? Euclide: «esistono infiniti numeri primi» con un controllo diretto, non posso né verificare, né confutare = non è divisibile per 2, 3, 5, 7, 11, 13 ha un nuovo fattore primo: = 59 × 509 calcoli e problemi situazioni analoghe per uno studente: calcola il valore di …,dimostra che …

3 come si dimostrano le proprietà nellinsieme N dei numeri naturali 0, 1, 2, … (con le consuete operazioni)? riportiamo la proprietà che stiamo esaminando a fatti noti teoria assiomatica accettiamo proprietà di base, assiomi o postulati e, a partire dagli assiomi, dimostriamo i teoremi fra le teorie assiomatiche per i numeri naturali, la più nota è l'aritmetica di Peano (PA)

4 x (0 x) x y [x y x y] x (x + 0 = x) x y [x + y = (x + y)] x (x 0 = 0) x y (x y = x y + x) H(0) x (H(x) H(x)) x H(x) gli assiomi, e di conseguenza anche i teoremi, esprimono fatti veri in N domanda cruciale: gli assiomi permettono di dimostrare tutto quello che è vero? congettura di Goldbach: ogni numero pari maggiore di 2 è somma di due numeri primi (4 = = = 3+19) se è vera, riuscirò a dimostrarla?

5 primo Teorema di Gödel (1931) Esiste almeno una formula G tale la mia teoria (es.: PA) non dimostra G, ma nemmeno ¬G. formula G indecidibile - teoria incompleta due possibilità: -la formula G è vera in N e ¬G è falsa -la formula G è falsa in N e ¬G è vera in ogni caso, esiste una formula che è vera in N ma non è un teorema la teoria non dimostra tutto quello che vorrei; forse, la congettura di Goldbach è vera ma non dimostrabile

6 il primo teorema di Gödel si dimostra costruendo una formula G tale che G ¬ Theor (G) G è una formula che, in un certo senso, dice «non esiste una dimostrazione di G» attenzione: il I teorema di Gödel vale solo se la teoria è coerente (o non contraddittoria) se dagli assiomi della teoria si potesse dedurre una contraddizione, allora ogni formula sarebbe un teorema gli assiomi di PA sono contraddittori??

7 la teoria è non contraddittoria se non cè una dimostrazione di 2+2 = 5 ¬Theor (2+2 = 5) questa formula esprime la coerenza (non contraddittorietà) della teoria secondo Teorema di Gödel nella teoria (in PA) la formula ¬ Theor (2+2 = 5) non si può dimostrare diamo unocchiata a parte della dimostrazione |– Theor (G) Theor (Theor (G)) |– Theor (G) Theor (¬ G) per le proprietà di G |– Theor (G) Theor (¬ G) Theor (G) |– Theor (G) Theor (2+2 = 5)perché ¬ G G equivale a 2+2 = 5 |– ¬ Theor (2+2 = 5) ¬ Theor (G) contronominale |– ¬ Theor (2+2 = 5) Gper le proprietà di G

8 una conseguenza importante non cè (non ci può essere) un procedimento generale di decisione per i problemi matematici (differenza fra calcoli e problemi) nessuno potrà mai realizzare un software che risponda a ogni domanda del tipo «è vera la congettura di Goldbach?»

9 abbiamo una ragionevole fiducia che la teoria PA sia non contraddittoria ci sono dimostrazioni, che non si possono tradurre nella teoria stessa dopo i Teoremi di Gödel, morte della logica? perdita della certezza matematica? NO, anzi


Scaricare ppt "Matematicamente indimostrabile Claudio Bernardi Sapienza - Dipartimento di Matematica che cosa fa un matematico? calcoli, per esempio, 95247 3518,(a+b)"

Presentazioni simili


Annunci Google