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Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2013 1 Il problema: un percorso ad ostacoli Spunti per insegnare.

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Presentazione sul tema: "Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2013 1 Il problema: un percorso ad ostacoli Spunti per insegnare."— Transcript della presentazione:

1 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio Il problema: un percorso ad ostacoli Spunti per insegnare ad affrontare e risolvere problemi matematici 12 marzo 2013

2 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio A DOMANDA … RISPONDI 1)Che cosa intendi per grandezze matematiche? 2)Puoi scrivere alcuni esempi di grandezze? 3)Che cosa intendi per grandezze omogenee? 4)Puoi scrivere alcuni esempi di grandezze omogenee? 5)Che cosa significa misurare una grandezza? Sapreste rispondere senza dubbi a queste domande?

3 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio Le grandezze: il punto di vista della matematica (da Nel mondo dei numeri e delle operazioni vol.6 a cura di C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti ed. Erickson da pag.25 a pag. 30) In matematica la teoria delle grandezze ha unimpostazione assiomatica, nella quale il concetto di grandezza è assunto come concetto primitivo, privo di definizione esplicita, caratterizzato da alcuni assiomi. Sia G un insieme i cui elementi sono detti grandezze omogenee. Si assumono come ipotesi a fondamento della teoria i seguenti assiomi: A1) In G è definita una relazione, detta uguaglianza e indicata con il simbolo =, che ha le proprietà - riflessiva: ogni elemento a di G è uguale a se stesso a = a - simmetrica: se a è uguale a b, allora b è uguale ad a a = b b = a - transitiva: se a è uguale a b e b è uguale a c, allora a è uguale a c a = b e b = c a = c

4 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio Le grandezze: il punto di vista della matematica (da Nel mondo dei numeri e delle operazioni vol.6 a cura di C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti ed. Erickson da pag.25 a pag. 30) Luguaglianza a cui si fa riferimento assume un significato diverso in base alla particolare classe di grandezza esaminata e il suo sussistere può essere verificato con tecniche specifiche. Per esempio, se G è linsieme delle lunghezze, per stabilire se due lunghezze sono uguali si opera il trasporto rigido: la lunghezza a di un segmento è uguale alla lunghezza b di un altro segmento se i due segmenti sono sovrapponibili mediante un movimento rigido. Se si tratta del peso, per stabilire leventuale uguaglianza si ricorre al posizionamento dei due corpi di cui si confronta il peso ciascuno su un piatto di una bilancia. Per constatare se due corpi hanno la stessa temperatura si può osservare se due colonnine di mercurio raggiungono la medesima altezza in un tubicino capillare (termoscopio), quando esse sono poste a contatto con ciascuno dei due corpi.

5 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio Le grandezze: il punto di vista della matematica (da Nel mondo dei numeri e delle operazioni vol.6 a cura di C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti ed. Erickson da pag.25 a pag. 30) A2) In G è definita unoperazione, detta addizione ed indicata con +, che associa ad ogni coppia ordinata di elementi a, b di G un terzo elemento c, chiamato somma ed indicato con il simbolo c = a + b Questa operazione deve avere le medesime proprietà delladdizione tra numeri naturali: - proprietà commutativa: a + b = b + a - proprietà associativa: a + (b + c) = (a + b) + c - esistenza dellelemento neutro, detto grandezza nulla e indicato con 0: 0 + a = a + 0 = a

6 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio Le grandezze: il punto di vista della matematica (da Nel mondo dei numeri e delle operazioni vol.6 a cura di C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti ed. Erickson da pag.25 a pag. 30) Anche laddizione assume un significato specifico in relazione allinsieme di grandezze considerato. Nel caso della lunghezza, se a è la lunghezza di un segmento AB e b è la lunghezza del segmento BC, adiacente ad AB, allora c somma di a con b è la lunghezza del segmento AC. Nel caso della temperatura non ha, invece, senso l'operazione di addizione: se si mescola dellacqua a 10°C con dellacqua a 15°C, si ha acqua la cui temperatura non è la somma delle temperature, anzi ha un valore compreso tra 10°C e 15°C. Ne segue che la temperatura non può essere considerata una grandezza, secondo questa impostazione assiomatica.

7 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio Le grandezze: il punto di vista della matematica (da Nel mondo dei numeri e delle operazioni vol.6 a cura di C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti ed. Erickson da pag.25 a pag. 30) Laddizione introdotta per via assiomatica permette di definire nellinsieme G una relazione: una grandezza a è non minore di una grandezza b, in simboli a b se esiste in G una grandezza c tale che sia a = b + c Dalla definizione si dimostra facilmente che la relazione è - riflessiva: ogni grandezza è non minore di se stessa a - antisimmetrica: se a è non minore di b e b è non minore di a, allora a è uguale a b a b e b a a = b - transitiva: se a è non minore di b e b è non minore di c, allora a è non minore di c a b e b c a c. La relazione è, dunque, una relazione dordine largo;

8 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio Le grandezze: il punto di vista della matematica (da Nel mondo dei numeri e delle operazioni vol.6 a cura di C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti ed. Erickson da pag.25 a pag. 30) Si dimostra, inoltre, che la grandezza nulla, elemento neutro della addizione, è unica. Ne consegue che è anche possibile definire la sottrazione tra grandezze: se la grandezza a è non minore della grandezza b (a b) si chiama differenza di a con b la grandezza c indicata con c = a b tale che a = b + c.

9 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio Le grandezze: il punto di vista della matematica (da Nel mondo dei numeri e delle operazioni vol.6 a cura di C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti ed. Erickson da pag.25 a pag. 30) Sempre a partire dalladdizione è possibile definire il multiplo di un dato elemento dell'insieme G secondo un numero naturale n; considerata una grandezza a e un numero naturale n, il multiplo di a secondo n viene indicato con na In generale, se n 2 la grandezza multiplo di a secondo n è la somma di a con se stessa n volte na = a + a a. n volte Si dimostra che qualunque siano la grandezza a e il numero naturale n, il multiplo di a secondo n è non minore di a na a. Questa proprietà non è valida se si considera lampiezza degli angoli, per cui lampiezza di un angolo non può essere denominata grandezza nel senso del termine dato da questa impostazione assiomatica (si veda Nel mondo della geometria volume 2 da pag. 103 a pag.113).

10 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio Le grandezze: il punto di vista della matematica (da Nel mondo dei numeri e delle operazioni vol.6 a cura di C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti ed. Erickson da pag.25 a pag. 30) Un assioma importante è quello che garantisce la possibilità di suddividere in un numero qualsiasi di parti uguali una grandezza: A 4) Data una grandezza a 0 e un numero naturale n 0, esiste una ed una sola grandezza b tale che a sia multipla di b secondo n, ossia a = nb. La grandezza b dellassioma viene detta sottomultiplo di a secondo n e viene indicata anche con b = a =. Lassioma afferma lesistenza di sottomultipli di una grandezza piccoli a piacere.

11 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio Le grandezze: il punto di vista della matematica (da Nel mondo dei numeri e delle operazioni vol.6 a cura di C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti ed. Erickson da pag.25 a pag. 30) GRANDEZZE COMMENSURABILI GRANDEZZE INCOMMNESURABILI Consideriamo un insieme G di grandezze; diciamo che due grandezze a e b sono fra loro -commensurabili quando hanno un sottomultiplo comune, cioè quando esiste una grandezza c tale che a = nc e b = mc - incommensurabili se non hanno un sottomultiplo comune. La scoperta delle grandezze incommensurabili viene attribuita storicamente alla scuola Pitagorica: con il teorema di Pitagora si dimostra, infatti, che la lunghezza del lato di un quadrato e la lunghezza della relativa diagonale non hanno un sottomultiplo comune. Un altro esempio di coppia di grandezze incommensurabili è data dalla lunghezza della circonferenza e di quella del relativo diametro.

12 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio Lord Kelvin (Sir William Thomson, 1824 – 1907) Quando voi potete misurare ed esprimere in numeri ciò di cui state parlando, solo allora sapete effettivamente qualcosa; ma quando non vi è possibile esprimere numericamente loggetto della vostra indagine, insoddisfacente ne è la vostra conoscenza e scarso il vostro progresso dal punto di vista scientifico. La misura

13 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio La misura quantifica, attraverso convenzioni fissate dalluomo, qualità degli enti e degli oggetti dette grandezze, non ne scopre nulla di intrinseco […] ma inventa un numero che quella grandezza descrive entro certi limiti e sotto certe condizioni (Cunietti)

14 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio Grandezze e misura: quadro teorico (da Nel mondo dei numeri e delle operazioni vol.6 a cura di C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti ed. Erickson da pag.25 a pag. 30) La misura è intrinsecamente connessa con la vita quotidiana si quantifica il tempo e il suo scorrere il valore delle cose il peso, la quantità di spazio… il quoziente di intelligenza laffinità tra le persone, …

15 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio Grandezze e misura: quadro teorico (da Nel mondo dei numeri e delle operazioni vol.6 a cura di C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti ed. Erickson da pag.25 a pag. 30) … La misurazione, intesa come processo con cui si determina una misura, è fondamentale tanto che Lord Kelvin afferma che quando voi potete misurare ed esprimere in numeri ciò di cui state parlando, solo allora sapete effettivamente qualcosa; ma quando non vi è possibile esprimere numericamente loggetto della vostra indagine, insoddisfacente ne è la vostra conoscenza e scarso il vostro progresso dal punto di vista scientifico

16 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio Grandezze e misura: quadro teorico (da Nel mondo dei numeri e delle operazioni vol.6 a cura di C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti ed. Erickson da pag.25 a pag. 30) Ma frequenza duso non è sinonimo di facilità Infatti è necessario individuare ciò che può essere misurato. definire il significato del termine misura OSSIA circoscrivere lambito di stretta pertinenza della misura Sempre più la misura la fa da padrona in molti campi, anche non appartenenti alle scienze sperimentali.

17 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio Grandezze e misura: quadro teorico (da Nel mondo dei numeri e delle operazioni vol.6 a cura di C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti ed. Erickson da pag.25 a pag. 30) Cunietti (1990/1991: 45) rileva che la misura riguarda sì la realtà fisica, concreta, ma contemporaneamente il modello mentale che questa realtà vuole rappresentare […] Perciò la misura partecipa di vari ambiti: quello concreto della realtà, quello astratto e mentale […] dellinterpretazione della conoscenza di questa realtà, quello nuovamente concreto, ma di derivazione totalmente umana, della tecnica. La definizione di misura comporta, quindi, la precisazione del punto di vista da cui viene formulata. Quello che si può affermare in generale è che la misura quantifica, attraverso convenzioni fissate dalluomo, qualità degli enti e degli oggetti denominate grandezze, non ne scopre nulla di intrinseco […] ma inventa un numero che quella grandezza descrive entro certi limiti e sotto certe condizioni Il concetto di misura rimanda, quindi, al concetto di grandezza.

18 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio Indagine sulle conoscenze pregresse Le esperienze sulla misura sono frequenti nella quotidianità degli alunni, così come luso di parole relative a grandezze e unità di misura. Per la progettazione di un itinerario didattico che assuma le conoscenze pregresse come oggetto di approfondimento, revisione, formalizzazione, precisazione, si ritiene quanto mai opportuno effettuare unindagine su tali conoscenze. con bambini di 7-8 anni prima di avviare il percorso sulla premitura (da Nel mondo della geometria vol. 5 a cura di C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti Erickson) da pag. 55 a pag.

19 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio Che cosè, secondo voi, la misura? È una cosa che serve per misurare le case, le strade, la pressione delle gomme, la pressione della nonna. Si misura il pane con la bilancia. 1.a) Che cosa si misura del pane? Quanto è pesante. Si misura la febbre. Anche laria se è calda o fredda. Si misura il tempo: i minuti, i secondi, le ore.

20 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio Il mio papà ha misurato il tavolo per comprarne uno più grande. 1.b) Come ha fatto il papà? Ha preso il metro e ha cominciato dove comincia il tavolo ed è andato fino alla fine, ha detto alla mamma 120, ne vuole comprare uno più grande. 1.c) A che cosa serve la misura che ha preso? La dice al venditore, lui gliene dà uno più lungo. 1. Che cosè, secondo voi, la misura?

21 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio La mia mamma mi misura quanto sono lunga per farmi un vestito. Anche la bilancia della dottoressa misura quanto sei alto e anche quanto pesi. A casa mia si misurano i mobili per vedere se ci stanno nella casa nuova. Cè anche la misura dei vestiti e delle scarpe per sapere quale comprare giusta per la tua misura. Io ho la media. 1. Che cosè, secondo voi, la misura?

22 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio Avete detto molte cose che si possono misurare: la lunghezza di una persona per fare un vestito, la febbre, il caldo e il freddo, queste cose si misurano tutte adoperando lo stesso strumento? Non si può misurare tutto allo stesso modo; bisogna usare cose diverse che vanno bene. 2.a) Come si fa a sapere se vanno bene? Si sa: per la febbre cè il termometro, per i vestiti cè il metro, per il pane cè la bilancia. Quando giochi a bocce misuri per vedere chi è più vicino e chi è più lontano dal boccino. Cè unasta apposta con su i numeri: chi fa il numero più piccolo è il più vicino. Io quando gioco misuro con i piedi e conto i passi: se uno è tre e laltro è quattro, ha vinto il tre perché è più vicino. Il metro si usa per misurare quanto è lungo qualcosa. Si può misurare con le mani, con un bastoncino, con la matita.

23 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio Perché si adoperano cose diverse? Si adoperano cose diverse perché i viventi si pesano sulla bilancia, come dalla dottoressa, per il tavolo che non è vivente si adopera il metro. Non è vero, perché mia mamma misura quanto sono cresciuto e adopera il metro. Prima fa un segno sulla mattonella dove arrivo e poi misura.

24 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio Perché si misura? Perché il tavolo è largo tre metri e se non lo misuri non sai la vera misura. Se non misuri il latte dei bambini gliene dai troppo e stanno male. Per sapere quanto è la lunghezza o il peso di una cosa. La misura ti fa sapere qualche cosa di più di una cosa che prima non sapevi.

25 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio misura campioni, strumenti arbitrari campioni, strumenti convenzionali di grandezze estensive: lunghezza, massa pressione, …… di grandezze intensive: taglia, scarpe, temperature, … similitudine tra grandezza e unità di misura necessità di scegliere in base alloggetto/proprietà da misurare di proprietà di oggetti: tavolo, strade, mobili per confronto diretto indirettamente con lettura dalla scala di uno strumento espressa da un numero Matrice cognitiva

26 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio Sottolinea le proprietà che possono essere misurate, cioè che sono grandezze (da Matematix geometria primo anno pag.66 Ed. Ghisetti e Corvi a)La bellezza di un tramonto. b)La lunghezza di una strada. c)La facilità di un esercizio di matematica. d)Lestensione di un campo da rugby. e)La bontà di un dolce. f)Lo spessore di un foglio di quaderno.

27 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio Stabilisci quali affermazioni sono vere e quali sono false (da Matematix geometria primo anno pag.66 Ed. Ghisetti e Corvi a)Tutte le grandezze possono essere misurate. b)Laroma di un fungo è una grandezza c)Laltezza di un grattacielo e la lunghezza di un piede sono grandezze omogenee. d)Il tempo dedicato allo studio e letà di una persona sono grandezze eterogenee. e)Per misurare una grandezza si deve fissare ununità di misura omogenea con la grandezza data. VF

28 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio Le grandezze: il punto di vista della matematica (da Nel mondo dei numeri e delle operazioni vol.6 a cura di C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti ed. Erickson da pag.25 a pag. 30) ESEMPI DI GRANDEZZE AREA LUNGHEZZA VOLUME MASSA INTERVALLI DI TEMPO


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