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Apprendimento Automatico Reti Neurali Apprendimento supervisionato Stefano Cagnoni.

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Presentazione sul tema: "Apprendimento Automatico Reti Neurali Apprendimento supervisionato Stefano Cagnoni."— Transcript della presentazione:

1 Apprendimento Automatico Reti Neurali Apprendimento supervisionato Stefano Cagnoni

2 Reti Neurali Artificiali Ad ogni connessione è associato un peso, utilizzato nel sommatore che costituisce il primo stadio del neurone che riceve dati attraverso la connessione. Il comportamento di una rete neurale è quindi determinato: dal numero dei neuroni dalla topologia dai valori dei pesi associati alle connessioni

3 Rete Neurale Artificiale: classificazione Sulla base del flusso dei segnali Reti feedforward: connessioni possibili solo in avanti Reti ricorrenti: connessioni possibili anche da strati più vicini alle uscite (allindietro) Sulla base dellorganizzazione delle connessioni Reti totalmente connesse : ogni neurone è connesso con ogni altro Reti parzialmente connesse : ogni neurone è connesso ad un particolare sottoinsieme di neuroni reti singolo strato : le unità di ingresso sono connesse direttamente a quelle di uscita reti multistrato : organizzate in gruppi topologicamente equivalenti (strati)

4 Rete Neurale Artificiale: computabilità Teorema di Kolmogorov: Qualsiasi funzione continua y=f(x):R n ->R m può essere computata da una opportuna rete ricorrente a 3 strati avente n unità nello strato di ingresso, 2n+1 nello strato nascosto ed m nello strato di uscita e totalmente connessa fra gli strati Problemi : Teorema che dimostra la sola esistenza della soluzione Le unità considerate nel teorema hanno caratteristiche diverse dai neuroni artificiali utilizzati nelle reti neurali Altri teoremi di esistenza (sulle reti neurali multistrato): Una rete neurale con uno strato nascosto avente un numero sufficiente di unità può approssimare qualsiasi funzione continua

5 Problemi risolubili con diverse topologie

6 Reti Neurali Artificiali Proprietà: Capacità di apprendere da esempi Capacità di generalizzare (risposte simili in corrispondenza di esempi simili a quelli su cui sono state addestrate) Capacità di astrarre (risposte corrette in corrispondenza di esempi diversi da quelli su cui sono state addestrate) Insensibilità al rumore (capacità di generalizzare anche in presenza di dati alterati o incerti) Decadimento graduale delle prestazioni (il comportamento si altera gradualmente se si eliminano connessioni o si alterano i pesi)

7 Training Lapprendimento (da esempi) da parte di una rete neurale si configura come un processo iterativo di ottimizzazione: i pesi della rete vengono modificati sulla base delle prestazioni della rete su un insieme di esempi si minimizza una funzione obiettivo che rappresenta di quanto il comportamento della rete si discosta da quello desiderato Linsieme degli esempi su cui la rete viene addestrata è detto training set Le prestazioni della rete devono essere verificate su un insieme di dati (test set) che non appartengono al training set

8 Training Lapprendimento può essere di 2 tipi: con supervisione (supervised learning) senza supervisione(unsupervised learning) Con supervisione: esempi divisi in due componenti: pattern di ingresso teaching input, che specifica loutput che si desidera ottenere in corrispondenza di tale pattern I pesi sono adattati in modo da minimizzare le differenze fra il comportamento della rete e quello desiderato.

9 Training Senza supervisione: esempi costituiti da soli dati di ingresso. pesi adattati in modo tale che la rete si auto-organizzi in modo da riflettere alcune caratteristiche e regolarità del training set si parla anche di regularity discovery o feature detection

10 Training

11 Addestramento con supervisione: Legge di Hebb Prima proposta di modello di apprendimento Modello di tipo correlazionale nato per giustificare lapprendimento nelle reti neuronali biologiche se due unità sono attive nello stesso istante il peso della relativa connessione deve essere incrementato w ij = o i o j Learning Rate Problemi: -non sempre conduce a risultati corretti -continuando a mostrare gli stessi esempi i pesi crescono indefinitamente (non è plausibile biologicamente e porta a fenomeni di saturazione)

12 Addestramento con supervisione: Legge di Hebb Se si considera una rete singolo strato con attivazioni lineari e ingressi reali lapprendimento hebbiano funziona solo se i vettori di ingresso formano un insieme ortogonale. Quindi, se lo spazio di ingresso ha dimensione N, si possono apprendere al max N associazioni esatte In ogni caso la legge è importante in quanto: troviamo traccia dei suoi principi anche in regole di apprendimento più potenti è un utile termine di paragone nello studio delle regole di apprendimento

13 Addestramento con supervisione: Percettroni Prima realizzazione di rete neurale artificiale (Rosenblatt, fine anni 50) Studiato inizialmente per problemi di riconoscimento forme da stimoli di tipo visivo Strato di ingresso (retina) cui sono collegate unità che realizzano una funzione f binaria dellingresso (stimolo visivo) collegati poi ad un neurone con attivazione a soglia. o f1f1 f2f2 fnfn w1w1 w2w2 wnwn

14 Addestramento con supervisione: Percettroni Possono realizzare funzioni estremamente complicate (ad es. distinzione fra figure concave e convesse) Per il percettrone esiste una legge di apprendimento: 1.si presenta un pattern di ingresso e si calcola luscita 2.se il pattern è stato classificato in modo corretto, ripeti 1. con un nuovo pattern 3.se luscita è alta e il teaching input è 0, decrementa di uno i pesi delle linee per cui i i =1 e incrementa la soglia di uno 4. se luscita è bassa e il teaching input è 1 fa linverso (incrementa i pesi e decrementa la soglia) 5.si ripetono i passi precedenti finché i pesi non convergono.

15 Addestramento con supervisione: Percettroni Formalmente: o p = 1 se net = i w i i pi > 0 altrimenti p w i = (t p - o p ) i pi p (o p - t p ) In base a un teorema (Rosenblatt) converge alla soluzione in un numero finito di passi, se la soluzione esiste Purtroppo, non sempre esiste (es. XOR, se le uscite della funzione non sono linearmente separabili)

16 Addestramento con supervisione: discesa lungo il gradiente Si inizializzano i pesi Ad ogni iterazione Per ogni esempio nel training set: si calcola luscita prodotta dalla attuale configurazione della rete si calcola lerrore si modificano i pesi spostandoli lungo la direzione del gradiente della funzione errore calcolato rispetto ai pesi fino al raggiungimento di un limite inferiore prestabilito per lerrore o di un certo numero prestabilito di iterazioni

17 Addestramento con supervisione: Regola Delta (o di Widrow e Hoff) Data una rete monostrato con attivazioni lineari, un training set P=n.esempi T = { (x p, t p ) : p = 1, …., P } P=n.esempi e una funzione errore quadratico sul pattern p-mo j =1,N () 2 / 2 E p j =1,N (t pj -o pj ) 2 / 2 N=n.unità di uscita, o pj,t pj = output/teaching input per lunità j e una funzione errore globale p = 1,P E = p = 1,P E p E = E(W), W = matrice dei pesi w ij associati alle connessioni ij (dallunità i verso lunità j) Se vogliamo minimizzare E possiamo utilizzare una discesa lungo il gradiente, che converge al minimo locale di E più vicino al punto di partenza (inizializzazione dei pesi)

18 Addestramento con supervisione: Regola Delta Il gradiente di E ha componenti p E/ w ij = p E p / w ij Per la regola di derivazione delle funzioni composte E p / w ij = E p / o pj · o pj / w ij Dalla definizione di errore E p / o pj = (t pj - o pj ) = pj (errore commesso dallunità j sul pattern p) i Per la linearità delle unità (o pj = i w ij o pi ) o pj / w ij = o pi da cui E p / w ij = - pj o pi (o pi =i pi =i pj ) p e quindi E/ w ij = - p pj o pi

19 Addestramento con supervisione: Regola Delta Discesa lungo il gradiente: p p p w ij = E/ w ij = p E p / w ij = p pj o pi = p p w ij Quindi, se è sufficientemente piccolo, possiamo modificare i pesi dopo la presentazione di un singolo pattern secondo la regola p w ij = pj o pi NB Sono tutte quantità facilmente calcolabili

20 Regola delta per reti multistrato (feedforward): regola di derivazione a catena x/ z i = x/ z i + j>i x/ z j * z j / z i Un esempio: z 2 = 4 * z 1 z 3 = 3 * z * z 2 z 3 / z 1 = 3, ma in realtà z 3 dipende da z 1 anche tramite z2 z 3 / z 1 = 23 che dà la vera dipendenza, propagata attraverso le variabili intermedie, di z 3 da z 1

21 Addestramento con supervisione: Regola Delta Generalizzata (Backpropagation) La regola delta è applicabile solo ad un caso particolare di reti (singolo strato con funzione di attivazione lineare) E possibile generalizzare la regola delta per configurazioni multi-strato della rete e per funzioni di attivazione non lineari. Le reti devono essere di tipo feedforward (è possibile definire un ordine topologico dei neuroni e quindi temporale nellattivazione dei neuroni) Le funzioni di attivazione f j (net j ) dei neuroni devono essere continue, derivabili e non decrescenti i net pj = i w ij o pi per una rete multistrato (i=neuroni che inviano loutput in input a j)

22 Addestramento con supervisione: Regola Delta Generalizzata (Backpropagation) Anche in questo caso si usa la discesa lungo il gradiente p w ij = E p / w ij Per la proprietà di derivazione delle funzioni composte E p / w ij = E p / net pj · net pj / w ij k net pj / w ij = / w ij ( k w kj o pk ) = o pi Definiamo: pj = - E p / net pj ottenendo così: E p / w ij = pj o pi (analogo della regola delta) Resta da calcolare pj (stessa definizione data per la regola delta. Infatti per le reti lineari o pj =net pj )

23 Addestramento con supervisione: Regola Delta Generalizzata (Backpropagation) pj = - E p / net pj = - E p / o pj · o pj / net pj Ma o pj = f j (net pj ) e o pj / net pj = do pj /dnet pj = f j (net pj ) Se lunità j-ma è una unità di uscita E p / o pj = - (t pj - o pj ) Quindi per tali unità pj = - (t pj - o pj ) f j (net pj )

24 Addestramento con supervisione: Regola Delta Generalizzata (Backpropagation) Se invece lunità j-ma è una unità nascosta k E p / o pj = k E p / net pk · net pk / o pj = k>j k i = k E p / net pk · / o pj i w ik o pi = k k = k E p / net pk · w jk = k pk w jk Quindi, per le unità nascoste, si avrà k pj = f j (net pj ) · k pk w jk k>j Quindi per le unità nascoste lerrore pj è calcolato ricorsivamente a partire dalle unità di uscita (error backpropagation)

25 Addestramento con supervisione: Regola Delta Generalizzata (Backpropagation) Riassumendo: 1. Si inizializzano i pesi 2. Si presenta il pattern p mo si calcolano le uscite o pj corrispondenti si calcola lerrore per le unità di uscita da cui si ricava pj = - (t pj - o pj ) f j (net pj ) (per le unità di uscita) Per le unità nascoste si applica ricorsivamente k pj = f j (net pj ) · k pk w jk a partire dallo strato nascosto più vicino alluscita 3. Si apportano le modifiche ai pesi p w ij = pj o pj 4. Si ripetono i punti 2. e 3. fino a convergenza

26 Addestramento con supervisione: Regola Delta Generalizzata (Backpropagation) Rigorosamente si dovrebbe applicare la variazione dopo avere esaminato tutti i pattern (addestramento batch), ma se è piccolo si ottiene lo stesso risultato modificandoli dopo ogni pattern (addestramento online). Se si inizializzano i pesi a 0 problemi di convergenza, quindi di solito si usano valori piccoli > 0 ( ) Per scendere davvero lungo il gradiente dovrebbe essere infinitesimo, ma più piccolo è più lenta è la convergenza. Tuttavia, se è troppo grande potremmo sorvolare un minimo. Si può usare un learning rate adattativo. La discesa lungo il gradiente è poco efficiente.


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