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1/32 Componenti fortemente connesse. 2/32 Componenti fortemente connesse Una componente fortemente connessa (CFC) di un grafo orientato G=(V,E) è un insieme.

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1 1/32 Componenti fortemente connesse

2 2/32 Componenti fortemente connesse Una componente fortemente connessa (CFC) di un grafo orientato G=(V,E) è un insieme massimale di vertici U  V tale che per ogni coppia di vertici u e v in U si ha che ciascuno dei due vertici è raggiungibile dall’altro.

3 3/32 Componenti fortemente connesse

4 4/32 Componenti fortemente connesse

5 5/32 Grafo trasposto Il grafo G T =(V,E T ) è il trasposto di G=(V,E) se E T = {(u,v):(v,u)  E} (rovescia il senso di percorrenza degli archi di G). G e G T hanno le stesse componenti fortemente connesse.

6 6/32 Componenti fortemente connesse Strongly-Connected-Components(G) 1.chiama DFS(G) per calcolare f[u] per ogni vertice u 2.calcola G T 3.chiama DFS(G T ), ma nel ciclo principale di DFS considera i vertici in ordine decrescente di f[u] 4.return i vertici di ogni albero nella foresta DFS prodotta al passo 3 come una diversa componente fortemente connessa L’algoritmo seguente trova in tempo lineare ( O(V+E)) le componenti fortemente connesse di un grafo orientato G=(V,E).

7 7/32 Componenti fortemente connesse 13/14 3/4 1/1011/16 2/712/15 8/9 5/6 Grafo G iniziale

8 8/32 Componenti fortemente connesse 13/14 3/4 1/1011/16 2/712/15 8/9 5/6 Grafo G T

9 9/32 Componenti fortemente connesse 13/14 3/4 1/1011/16 2/712/15 8/9 5/6

10 10/32 Componenti fortemente connesse 13/14 3/4 1/1011/16 2/712/15 8/9 5/6

11 11/32 Componenti fortemente connesse Lemma Se due vertici sono nella stessa CFC, allora nessun cammino fra loro esce da questa CFC. Teorema In una qualunque visita in profondità, tutti i vertici in una stessa CFC sono posti nello stesso albero DFS.

12 12/32 Avi Un avo  (u) di un vertice u è il vertice (unico) w raggiungibile da u che massimizza f[w] (w è l’ultimo nodo raggiungibile da u nell’ordinamento della DFS). Teorema In un grafo orientato G = (V,E) l’avo  (u) di un qualunque vertice u  V in una qualunque visita in profondità di G è un antenato di u.

13 13/32 Componenti fortemente connesse Corollario In ogni visita in profondità di un grafo orientato G = (V,E), per ogni vertice u  V i vertici u e  (u) appartengono alla stessa CFC. Teorema In un grafo orientato G = (V,E), due vertici u,v  V appartengono alla stessa CFC se e solo se essi hanno lo stesso avo in una visita in profondità di G.

14 14/32 Correttezza Teorema Strongly-Connected-Components(G) calcola correttamente le CFC di un grafo orientato G. Dim. Per induzione. Tesi: se tutti gli alberi prodotti prima dell’n-esimo nella DFS sono CFC, allora lo è anche l’n-esimo. Banalmente vero per n=0. Per il caso induttivo, cont...

15 15/32 Considera un albero DFS, T con radice r prodotto dalla ricerca per profondità su G T, sia C(r) l’insieme dei vertici con avo r. Tesi: un vertice u è presente in T, sse u è in C(r). Chiaramente, ogni vertice in C(r) è anche in T. Se f[  (w)]>f[r], allora w non può essere in C(r): –Quando r viene selezionato, w è già stato inserito nell’albero con radice  (w). Se f[  (w)]

16 16/32 Problema: dato un grafo orientato …

17 17/32 … trovare le sue CFC

18 18/32 Inizio Prima DFS

19 19/32 Inizio

20 20/32 Inizio

21 21/32

22 22/ Identificazione tempi di fine visita

23 23/ Transposizione del grafo

24 24/ Seconda DFS

25 25/ Seconda DFS

26 26/ Seconda DFS

27 27/ Seconda DFS

28 28/ Seconda DFS

29 29/ Seconda DFS

30 30/ Seconda DFS

31 31/ Seconda DFS

32 32/ Seconda DFS


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