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Corso di Laurea in Ingegneria dei Modelli e dei Sistemi Il problema della foresta di Steiner STUDENTE RELATORE Marco Senatore Gianpaolo Oriolo Università

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Presentazione sul tema: "Corso di Laurea in Ingegneria dei Modelli e dei Sistemi Il problema della foresta di Steiner STUDENTE RELATORE Marco Senatore Gianpaolo Oriolo Università"— Transcript della presentazione:

1 Corso di Laurea in Ingegneria dei Modelli e dei Sistemi Il problema della foresta di Steiner STUDENTE RELATORE Marco Senatore Gianpaolo Oriolo Università degli Studi di Roma Tor Vergata

2 Generalizzazione del problema dellalbero di Steiner Foresta di Steiner. Formulazione del problema in PLI. Rilassamento PL e duale. Algoritmo. Esempi. Analisi dellalgoritmo. SOMMARIO

3 PROBLEMA: Dati: un grafo non direzionato G = (V, E); una funzione costo a valori positivi c sugli archi ; una collezione di sottoinsiemi disgiunti di V: R 1, ,R k. OSS: se k=1 albero di Steiner. LA FORESTA DI STEINER Trovare: Tale che: un sottografo F nel quale ogni coppia di vertici appartenenti allo stesso insieme R i è connessa; la somma dei costi degli archi di F sia minima.

4 V R1R1 R2R2 R3R3

5 LA FORESTA DI STEINER Definiamo la funzione r: Trovare F che contenga un path da u a v per ogni coppia (u,v) con r(u,v)=1 La soluzione sarà una foresta (ovvero ununione di alberi disgiunti)

6 Introducendo f : 2 V {0,1} e associando una variabile binaria x e ad ogni arco e, possiamo formulare il problema nel seguente modo: FORMULAZIONE PLI

7 Il rilassamento lineare del problema è: Il duale è: Def : un arco è detto TIGHT se il vincolo duale ad esso corrispondente è soddisfatto all uguaglianza RILASSAMENTO E DUALE

8 Def : si dice grado dellinsieme S il numero di archi selezionati che appartengono al taglio (S,S). CONDIZIONE PRIMALE : Ogni arco selezionato deve essere tight CONDIZIONE DUALE RILASSATA : Algoritmo 2-approssimato

9 Def : un insieme S si dice insoddisfatto se: f (S)=1; Prop. : un insieme S è attivo sse è una componente connessa della soluzione corrente e f (S)=1. Data una soluzione primale x : Def : un insieme S si dice attivo se: è insoddisfatto; S S tale che S è insoddisfatto, ovvero S è minimale

10 Lalgoritmo, iterativamente, migliora lammissibilità del primale e lottimalità del duale fino ad ottenere una soluzione primale ammissibile. 1. Poniamo 2. Aumentiamo in modo uniforme le y s relative agli insiemi attivi; OSS: se la soluzione primale corrente è inammissibile un insieme attivo. 3. Quando un arco e diventa tight viene selezionato e le y S del vincolo duale corrispondente ad e vengono congelate; 4. Ripetere fino al raggiungimento di una soluzione ammissibile F; 5. (Pruning step) e F tale che F\{e} è ancora ammissibile, rimuovo e da F. F = {e F tale che F\{e} è inammissibile} x non ammissibile, y ammissibile.

11 uv s t b a V={a,b,s,t,u,v} R 1 ={s,t} R 2 ={u,v} r(s,t)=1 r(u,v)=1 OPT= ESEMPIO 1

12 ITERAZIONE 1: Set attivi :{s}, {t}, {u}, {v} y S aumentate di 6 (u,a) tight, quindi lo prendo ITERAZIONE 2: Set attivi :{s}, {t}, {u,a}, {v} y S aumentate di 0 (v,b) tight, quindi lo prendo ITERAZIONE 3: Set attivi :{s}, {t}, {u,a}, {v,b} y S aumentate di 2 (u,s) tight, quindi lo prendo ITERAZIONE 4: Set attivi :{t}, {u,s,a}, {v,b} y S aumentate di 1 (b,t) tight, quindi lo prendo ITERAZIONE 5: Set attivi :{u,s,a}, {v,b,t} y S aumentate di 1 (u,v) tight, quindi lo prendo 3 9 uv st a b ESEMPIO 1

13 Abbiamo una soluzione ammissibile del primale COSTO=54 Pruning step u s v t ab ESEMPIO 1

14 terminali 5 nodi di Steiner Lalgoritmo aggiunge tutti gli archi di costo 1 prima dellarco di costo 3 Costo(F) > 2OPT Importanza del pruning step! ESEMPIO 2

15 Lemma : Si consideri uniterazione dellalgoritmo, e sia C una componente connessa della soluzione corrente. Def : Con deg F (S) denotiamo il numero di archi di F che attraversano il taglio (S,S). Dim : Supponiamo deg F (C)=1. ! e F che attraversa il taglio (C,C). Poichè e non è ridondante, cè una coppia di vertici (u,v) tale che r(u,v)=1 ed e giace sullunico path u-v in F. Questo path attraversa il taglio una sola volta, quindi un vertice sta in C e laltro in C. Allora, poichè r(u,v)=1, deduciamo che f(C)=1, il che porta allassurdo.. I VERTICI DI STEINER SELEZIONATI DALLA SOLUZIONE HANNO GRADO ALMENO 2 F' ed y sono una coppia primale/duale ammissibile

16 Lemma: Dim: Equivale a dire che, fissata una iterazione k, il numero medio di archi della soluzione FINALE F' che attraversano gli S attivi nell'iterazione k è al più 2.

17 H H Considero H=(V,F) e le componenti attive di F alliterazione k; I nodi s corrispondenti alle componenti attive S, sono detti attivi, ed hanno grado pari proprio a deg F (S); gli altri sono detti inattivi; Contraggo le componenti attive in un singolo nodo ed ottengo H, elimando gli archi introdotti fino alliterazione k; H è un albero, quindi il grado medio dei suoi nodi è 2; Per il lemma precedente i nodi inattivi hanno grado almeno 2; I nodi attivi hanno grado medio 2.

18 Abbiamo dato una formulazione primale/duale del problema; Abbiamo fornito un algoritmo che ci restituisce una coppia di soluzioni primale/duale ammissibili; Abbiamo dimostrato che la soluzione del primale vale al più 2 volte la soluzione del duale; Questo ci ha permesso di dimostrare che lalgoritmo è 2- approssimato.

19 Def : Si dice taglio (S,S) di un grafo G=(V,E) una bipartizione dei suoi nodi in due insiemi non vuoti S ed S Def : Con δ(S) indicheremo linsieme di archi di G che attraversano il taglio (S,S) S S V R1R1 R2R2 R3R3 f(S)=1 f(S)=0

20 Primale:Duale: Il valore di una qualsiasi soluzione duale ammissibile è un lower bound al valore di una qualsiasi soluzione primale ammissibile Teo 1: Se x ed y sono soluzioni ammissibili rispettivamente del primale e del duale, allora c T x b T y

21 Condizione primale: Condizione duale: Condizione duale α-approssimata: Teo 2: Se x ed y sono soluzioni ammissibili rispettivamente del primale e del duale, che soddisfano la condizione primale e la condizione duale α-approssimata, allora x è una soluzione α-approssimata del primale Dim : Ma per il Teo 1 y T b è dellottimo del primale, c T x *

22 x PLI x RL yDyD


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