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Capitolo 6 Alberi di ricerca Algoritmi e Strutture Dati.

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Presentazione sul tema: "Capitolo 6 Alberi di ricerca Algoritmi e Strutture Dati."— Transcript della presentazione:

1 Capitolo 6 Alberi di ricerca Algoritmi e Strutture Dati

2 Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl 2 Dizionari Gli alberi di ricerca sono usati per realizzare in modo efficiente il tipo di dato dizionario

3 Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl 3 Alberi binari di ricerca (BST = binary search tree)

4 Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl 4 Definizione Albero binario che soddisfa le seguenti proprietà –ogni nodo v contiene un elemento elem(v) cui è associata una chiave chiave(v) presa da un dominio totalmente ordinato –le chiavi nel sottoalbero sinistro di v sono chiave(v) –le chiavi nel sottoalbero destro di v sono chiave(v)

5 Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl 5 Albero binario di ricerca Esempi Albero binario non di ricerca

6 Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl Ordinamento crescente minimo massimo Ordinamento decrescente …ancora un esempio…

7 Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl 7 Visita simmetrica di un BST Che succede se eseguo una visita in ordine simmetrico di un BST? Visita in ordine simmetrico – dato un nodo x, elenco prima il sotto-albero sinistro di x (in ordine simmetrico), poi il nodo x, poi il sotto-albero destro (in ordine simmetrico) visito i nodi dellABR in ordine crescente rispetto alla chiave!

8 Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl 8 Verifica di correttezza – Supponiamo,per semplicità, che lalbero sia completo. Indichiamo con h laltezza dellalbero. Vogliamo mostrare che la visita in ordine simmetrico restituisce la sequenza ordinata Per induzione sullaltezza dellABR: h=1 r uv NIL chiave(u) chiave(r) chiave(v)

9 Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl 9 Verifica correttezza (continua …) h = generico (ipotizzo che la procedura sia corretta per h-1) r Albero di altezza h-1. Tutti i suoi elementi sono minori o uguali della radice Albero di altezza h-1. Tutti i suoi elementi sono maggiori o uguali della radice

10 Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl 10 search(chiave k) -> elem Traccia un cammino nellalbero partendo dalla radice: su ogni nodo, usa la proprietà di ricerca per decidere se proseguire nel sottoalbero sinistro o destro

11 Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl search(7) 30

12 Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl 12 insert(elem e, chiave k) 1.Crea un nuovo nodo u con elem=e e chiave=k 2.Cerca la chiave k nellalbero, identificando così il nodo v che diventerà padre di u 3.Appendi u come figlio sinistro/destro di v in modo che sia mantenuta la proprietà di ricerca

13 Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl insert(e,8) Se seguo questo schema lelemento e viene posizionato nella posizione giusta. Infatti, per costruzione, ogni antenato di e si ritrova e nel giusto sottoalbero. 8

14 Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl 14 Ricerca del massimo Nota: è possibile definire una procedura min (nodo u) in maniera del tutto analoga

15 Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl min (r) max (u)

16 Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl 16 il predecessore di un nodo u in un BST è il nodo v nellalbero avente massima chiave chiave(u) il successore di un nodo u in un BST è il nodo v nellalbero avente minima chiave chiave(u) Come trovo il predecessore/successore di un nodo in un BST? predecessore e successore

17 Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl 17 Ricerca del predecessore

18 Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl 18 Nota: la ricerca del successore di un nodo è simmetrica Cerco il min del sottoalbero destro Cerco lantenato più prossimo di v il cui figlio sinistro è la radice del sottoalbero che contiene v suc (u) suc (v)

19 Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl 19 delete(elem e) Sia u il nodo contenente lelemento e da cancellare: 1) u è una foglia: rimuovila 2) u ha un solo figlio:

20 Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl 20 delete(elem e) 3) u ha due figli: sostituiscilo con il predecessore (o successore) (v) e rimuovi fisicamente il predecessore (o successore) (che ha un solo figlio)

21 Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl successore di u u v 4 delete (u)

22 Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl 22 Tutte le operazioni hanno costo O(h) dove h è laltezza dellalbero O(n) nel caso peggiore (alberi molto sbilanciati e profondi) Costo delle operazioni

23 Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl …un albero binario di ricerca bilanciato… h=O(log n)

24 Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl Ma anche questo è un BST Notare: T search (n) = O(h) in entrambi i casi Però: BST completo h = (log(n)) BST linearizzato h = (n) 2

25 Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl 25 Alberi AVL (Adelson-Velskii e Landis)

26 Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl 26 Definizioni Alberi AVL = alberi binari di ricerca bilanciati in altezza Un albero si dice bilanciato in altezza se ogni nodo v ha fattore di bilanciamento in valore assoluto 1 Fattore di bilanciamento (v) di un nodo v = altezza del sottoalbero sinistro di v - altezza del sottoalbero destro di v Generlemente (v) mantenuto come informazione addizionale nel record relativo a v

27 Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl …qualche esempio… è il seguente albero AVL? Sì: tutti i nodi hanno fattore di bilanciamento = 0

28 Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl …qualche esempio… è il seguente albero AVL? NO! Non vale la proprietà sui fattori di bilanciamento! Convenzione: altezza di un albero vuoto= -1

29 Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl …qualche esempio… è il seguente albero AVL? Sì: proprietà sui fattori di bilanciamento rispettata

30 Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl 30 Altezza di alberi AVL Idea della dimostrazione: considerare, tra tutti gli AVL di altezza h, quelli con il minimo numero di nodi n h (alberi di Fibonacci) Si può dimostrare che un albero AVL con n nodi ha altezza O(log n) Intuizione: se gli alberi di Fibonacci hanno altezza O(log n), allora gli alberi AVL hanno altezza O(log n)

31 Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl 31 …Alberi di Fibonacci per piccoli valori di altezza… T i : albero di Fibonacci di altezza i (albero AVL di altezza i con il minimo numero di nodi) T0T0 T1T1 T2T2 T3T3 T4T4 Nota che: se a T i tolgo un nodo, o diventa sbilanciato, o cambia la sua altezza intravedete uno schema per generare li-esimo albero di Fibonacci a partire dai precedenti? Inoltre: ogni nodo ha fattore di bilanciamento pari (in valore assoluto) a 1

32 Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl 32 T0T0 T1T1 T2T2 T3T3 T4T4 Lo schema Lemma Sia n h il numero di nodi di T h. Risulta n h =1+n h-1 +n h-2 =F h+3 -1 dim per induzione su h

33 Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl 33 Corollario Un albero AVL con n nodi ha altezza h=O(log n) dim n h =F h+3 -1 = ( h ) corollario segue da n n h Ricorda che vale: F k = ( k ) =1.618… sezione aurea h= (log n h )

34 Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl Posso usare un albero AVL per implementare un dizionario? come implemento Insert(14)? …e delete(25)?

35 Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl 35 Implementazione delle operazioni Loperazione search procede come in un BST Ma inserimenti e cancellazioni potrebbero sbilanciare lalbero Manteniamo il bilanciamento tramite opportune rotazioni

36 Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl 36 Rotazione di base Mantiene la proprietà di ricerca Richiede tempo O(1)

37 Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl 37 Ribilanciamento tramite rotazioni Le rotazioni sono effettuate su nodi sbilanciati Sia v un nodo con fattore di bilanciamento (v) ± 2 Esiste un sottoalbero T di v che lo sbilancia A seconda della posizione di T si hanno 4 casi: I quattro casi sono simmetrici a coppie (v)=+2 (v)=-2

38 Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl 38 Rotazione SS (v)=+2 e altezza di T 1 è h+1 Applicare una rotazione semplice verso destra su v Due sottocasi: (i) altezza di T 2 è h, allora altezza albero coinvolto nella rotazione passa da h+3 a h+2 (ii) altezza di T 2 è h+1 Aggiungendo una foglia a un albero bilanciato si può verificare solo caso (i) 0/-1

39 Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl 39 Rotazione SD (v)=+2 e altezza di T 1 = h Allora sottoalbero destro di z ha altezza h+1 e (z)=-1 Applicare due rotazioni semplici: una verso sinistra sul figlio del nodo critico (nodo z), laltra verso destra sul nodo critico (nodo v) Laltezza dellalbero coinvolto nella rotazione passa da h+3 a h+2 Nota che ci sono due sottocasi: altezza di T 2 è h o h-1 h+1

40 Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl …i due sottocasi del caso SD…

41 Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl 41 insert(elem e, chiave k) 1.Crea un nuovo nodo u con elem=e e chiave=k 2.Inserisci u come in un BST 3.Ricalcola i fattori di bilanciamento dei nodi nel cammino dalla radice a u: sia v il più profondo nodo con fattore di bilanciamento pari a ±2 (nodo critico) 4.Esegui una rotazione opportuna su v Oss.: una sola rotazione è sufficiente, poiché laltezza dellalbero coinvolto diminuisce di 1

42 Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl insert (10,e) caso SD

43 Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl insert (10,e)

44 Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl insert (10,e)

45 Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl 45 delete(elem e) 1.Cancella il nodo come in un BST 2.Ricalcola i fattori di bilanciamento dei nodi nel cammino dalla radice al padre del nodo eliminato fisicamente (che potrebbe essere il predecessore del nodo contenente e) 3.Ripercorrendo il cammino dal basso verso lalto, esegui lopportuna rotazione semplice o doppia sui nodi sbilanciati Oss.: potrebbero essere necessarie O(log n) rotazioni

46 Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl delete (18) successore di caso SD

47 Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl delete (18)

48 Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl delete (18)

49 Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl 49 Cancellazione con rotazioni a cascata

50 Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl 50 Classe AlberoAVL

51 Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl 51 Tutte le operazioni hanno costo O(log n) poché laltezza dellalbero è O(log n) e ciascuna rotazione richiede solo tempo costante Costo delle operazioni


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