Elementi di crittografia

Presentazione sul tema: "Elementi di crittografia"— Transcript della presentazione:

1 Elementi di crittografia
Pierluigi Ridolfi Università di Roma La Sapienza 1 marzo 2000 ERREsoft

2 Piano della lezione Inquadramento. Storia.
Crittografia tradizionale: codifica simmetrica a una chiave. Tecniche moderne: codifica asimmetrica a due chiavi. Riservatezza, autenticità, integrità. Sicurezza informatica. ERREsoft

3 Inquadramento della crittografia
“Scrittura nascosta”. Fa parte della classe di sistemi per trasmettere messaggi “riservati”:  Sistemi per codici es.: 15 = comprare, 16 = vendere  Sistemi per frasi es.: “I lunghi singhiozzi dei violini d’autunno” sbarco in Normandia  Scritture “simpatiche” ERREsoft

4 La scìtala spartana (1) Plutarco nella Vite parallele scrive che gli efori (i magistrati di Sparta) inviarono a Lisandro una scìtala con l'ordine di tornare in patria. E spiega: "La scitala consiste in questo. Gli efori, all'atto di spedire all'estero un generale, prendono due pezzi di legno rotondi e perfettamente uguali, sia in lunghezza sia in larghezza, di dimensioni cioè corrispondenti. Di questi pezzi di legno, che si chiamano scitale, uno lo conservano loro, l'altro lo consegnano al partente. In seguito, allorché vogliono comunicare qualche cosa di grande importanza e che nessuno altro deve sapere, tagliano un rotolo di papiro lungo e stretto come una cinghia e l'avvolgono attorno alla scitala in loro possesso, coprendone tutt'intorno la superficie del legno col papiro, senza lasciare il minimo interstizio. ERREsoft

5 La scìtala spartana (2) Compiuta questa operazione, scrivono sul papiro così come si trova disteso sulla scitala ciò che vogliono, e una volta scritto, tolgono il papiro e glielo mandano senza il bastone. Il generale, quando lo riceve, non può leggere le lettere di seguito, poiché non hanno alcun legame tra loro e rimangono sconnesse, finché anch'egli non prende la sua scitala e vi avvolge in giro la striscia di papiro. Così la spirale torna a disporsi nel medesimo ordine in cui fu scritta, e le lettere si allineano via via, di modo che l'occhio può seguire la lettura attorno al bastone e ritrovare il senso compiuto del messaggio. La striscia di papiro è chiamata scitala al pari del legno". ERREsoft

6 Schema della scìtala Un messaggio scritto longitudinalmente diventa illeggibile sulla cinghia svolta ERREsoft

7 Il metodo di Cesare Svetonio nella Vita del Divo Giulio:
"… se vi era qualche questione riservata egli usava scrivere in cifra, e questa cifra consisteva in una disposizione apparentemente caotica delle lettere, sicché era impossibile ricostruire la parola originale. Chi voglia scoprirne il senso e decifrarla sappia che bisogna sostituire a ogni lettera la terza che segue nell'alfabeto; vale a dire dove è scritto A bisogna leggere D e così di seguito." ERREsoft

8 Concetti fondamentali
Mittente e destinatari Alfabeto Messaggio Metodi di codifica e decodifica ERREsoft

9 Alfabeto Varietà di caratteri Esempio: le 10 cifre da 0 a 9
le 26 lettere minuscole le 26 lettere maiuscole le 6 vocali minuscole accentate: à è é ì ò ù i 17 caratteri speciali . , : ; ’ ” ! ? ( ) + - = < > * / lo spazio ERREsoft

10 Messaggio Sequenza di caratteri Lunghezza qualunque
In genere è un testo, composto da più righe Ogni riga viene spezzata in messaggi elementari m, ognuno di lunghezza fissa ERREsoft

11 Metodi “storici” di crittografia
Metodo della traslazione  Giulio Cesare Metodo della corrispondenza diretta  Mercanti fiorentini  Rapporti riservati nell’età moderna Metodo della corrispondenza indiretta  Rapporti riservati nell’età contemporanea ERREsoft

12 Metodo della traslazione
chiave = 2 CADE  ECFG ERREsoft

13 Corrispondenza diretta
CADE  RCUG ERREsoft

14 Corrispondenza indiretta
Chiave = ABRACADABRA Messaggio = BACCA Codifica = I S NRR ERREsoft

15 Sistemi binari di crittografia
Somma Trasformazione indiretta Moltiplicazione Potenza ERREsoft

16 Somma Il messaggio elementare m sia di 64 bit.
Si sceglie come “chiave” una costante k  64 bit. Al valore numerico del messaggio si somma la chiave. m’ = m + k Il metodo concettualmente è simile a quello di traslazione. ERREsoft

17 Trasformazione indiretta (1)
Chiave Matrice indice Messaggio Codifica ERREsoft

18 Trasformazione indiretta (2)
Chiave Matrice indice Messaggio Codifica ERREsoft

19 DES: Data Encryption Standard
Sistema di codifica basato su una chiave di 56 bit e una complessa sequenza di trasformazioni indirette. Approvato dal National Bureau of Standard nel ‘77. Triplo DES: variante basata su una triplice applicazione del DES. ERREsoft

20 Prodotto Si sceglie come “chiave” una costante di 8 bit.
Il valore numerico di ogni campo (di 64 bit) viene moltiplicato per la costante. La lunghezza del campo risultante sarà di 72 bit. ERREsoft

21 Potenza Si sceglie come “chiave” una costante di 8 bit.
Il valore numerico di ogni campo (di 64 bit) viene elevato alla potenza espressa dalla costante. La lunghezza del campo risultante sarà di 512 bit. ERREsoft

22 Sistemi di codifica simmetrici
I sistemi sono sempre reversibili. La chiave per la codifica è la stessa utilizzata per la decodifica. In genere la chiave è diversa per ogni coppia di persone: pertanto n persone danno luogo a n•(n-1):2 chiavi diverse. Difficoltà di gestione. ERREsoft

23 Sistemi di codifica asimmetrici
La chiave per la codifica è diversa da quella utilizzata per la decodifica. Ogni persona ha una coppia di chiavi: una, indicata da h, viene resa nota (chiave pubblica); l’altra, indicata da j, viene tenuta segreta (chiave privata). Semplicità di gestione. ERREsoft

24 Processo “ideale” m’ = T (h,m) Codifica Decodifica m = T (j, m’)
Il mittente, utilizzando un certo algoritmo T, codifica m con la chiave pubblica h del destinatario ottenendo m’ che spedisce. m’ = T (h,m) Decodifica Il destinatario riceve m’ e lo decodifica con lo stesso algoritmo T ma con la propria chiave privata j, riottenendo m. m = T (j, m’) ERREsoft

25 Osservazioni T, h e j devono essere scelti in modo tale che l’algoritmo funzioni. h e j potrebbero essere assegnati una volta per tutte da un Ente centrale, in esclusiva per ogni persona che ne fa richiesta. Deve essere praticamente impossibile ricavare j da h. ERREsoft

26 Sistema RSA Rivest, Shamir, Adleman. MIT, 1977.
Algoritmo basato sul Teorema di Fermat-Eulero. ERREsoft

27 Teorema di Fermat Se a e n sono due numeri primi, con a < n, il resto della divisione tra la potenza an e l’esponente n è sempre uguale alla base a. Esempi a = 2 n = 5 an = 32 32 : 5 = 6 con resto 2 a = 3 n = 7 an = 2187 2187 : 7 = 312 con resto 3 ERREsoft

28 Teorema di Eulero E’ una rielaborazione del Teorema di Fermat nel caso che n non sia un numero primo ma il prodotto di più numeri primi. ERREsoft

29 Principio di funzionamento del Sistema RSA (1)
n sia il prodotto dei due numeri primi p e q a ogni persona viene assegnata come chiave pubblica h un numero a caso la corrispondente chiave privata j viene calcolata in modo che (h·j) : (p-1)·(q-1) abbia per resto 1 ERREsoft

30 Principio di funzionamento del Sistema RSA (2)
Se: m’ = resto della divisione di mh per n m’’ = resto della divisione di m’j per n Si dimostra che: m’’ = m Conseguenze: m’ = messaggio cifrato m’’ = messaggio decifrato ERREsoft

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Esempio h = 11, p = 3, q = 5 n = 15 (p-1)(q-1) = 8  j = 3 verifica: (h • j):8  resto = 1 m = h m’  m = = 2048  : 15  resto = 8 = m’ j m’’  m’ = = 512  : 15  resto = 2 = m ERREsoft

32 Principio di invulnerabilità
E’ noto n, che si sa essere il prodotto dei due primi p e q, ma non sono noti né p né q, né è possibile ricavarli da n (si tratta di scomporre in fattori un numero grandissimo, operando per tentativi ). Non è pertanto possibile calcolare (p-1)•(q-1). Dunque, noto h, non è possibile calcolare j. ERREsoft

33 Il principio delle due chiavi
j è la chiave privata, nota solo all’interessato. h è la chiave pubblica, che tutti possono conoscere. Non è praticamente possibile nota j ricavare h e viceversa. ERREsoft

34 I tre pilastri della crittografia
Riservatezza:  certezza che il testo può essere letto solo dal destinatario. Autenticità:  certezza del mittente. Integrità:  certezza del messaggio. ERREsoft

35 Riservatezza A è il mittente. B è il destinatario.
A codifica m con la chiave pubblica di B  m’. B decodifica m’ con la propria chiave privata  m. ERREsoft

36 Garanzia della riservatezza
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37 Autenticità A è il mittente. B è il destinatario.
A codifica m con la propria chiave privata. B decodifica m’ con la chiave pubblica di A  m. ERREsoft

38 Garanzia dell’autenticità
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39 Riservatezza e autenticità
A è il mittente. B è il destinatario. A codifica m prima con la propria chiave privata, poi con la chiave pubblica di B  m’. B decodifica m’ prima con la chiave pubblica di A, poi con la propria chiave privata  m. Sistema della doppia codifica ERREsoft

40 Schema del processo di riservatezza e autenticità
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41 Integrità Il processo di autenticità non garantisce l’integrità del messaggio trasmesso. Concetto di “impronta” (“hash”): campo di lunghezza fissa ricavato dal messaggio secondo una precisa formula (“funzione di hashing”). E’ praticamente impossibile dall’impronta risalire al messaggio che l’ha generata. ERREsoft

42 Concetto di impronta ERREsoft

43 Processo di garanzia dell’integrità
Il mittente prepara il messaggio e ne calcola l’impronta. Messaggio e impronta vengono codificati separatamente ma viaggiano insieme. Il destinatario decodifica messaggio e impronta; ricava dal messaggio una nuova impronta; confronta le due impronte. Se le due impronte coincidono il messaggio non è stato alterato. ERREsoft

44 Garanzia dell’integrità
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45 Sicurezza informatica
Basata sull’algoritmo di generazione delle chiavi. Lunghezza di n = p · q = 1024 bit. Di conseguenza p e q sono numeri con circa 150 cifre. Noto n, p e q si possono ottenere solo per tentativi, e ciò risulta impossibile in tempi utili. Se non si conoscono p e q, non si può ricostruire j (chiave privata ): il sistema pertanto è invulnerabile. Naturalmente il proprietario deve tenere j ben custodita. ERREsoft