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Interpolazione polinomiale a tratti Gabriella Puppo.

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Presentazione sul tema: "Interpolazione polinomiale a tratti Gabriella Puppo."— Transcript della presentazione:

1 Interpolazione polinomiale a tratti Gabriella Puppo

2 Interpolazione polinomiale a tratti Interpolazione polinomiale a tratti funzione interp1 Calcolo dellerrore Interpolazione di funzioni non regolari Esercizi

3 Interpolazione polinomiale a tratti Costruire una griglia X su [a,b] Valutare f sulla griglia X Calcolare i punti XX sui quali si vuole conoscere il valore dellinterpolante Chiamare la function di interpolazione polinomiale a tratti Per costruire linterpolante polinomiale a tratti di una funzione f(x) su un intervallo [a,b], devo fare i seguenti passi:

4 Function interp1.m La routine di interpolazione polinomiale a tratti di Matlab si chiama interp1. La sua sintassi è la seguente: yy = interp1( X, FX, XX, TIPO), dove X è la griglia di interpolazione; FX sono i valori da interpolare; XX sono i punti sui quali si vuole calcolare linterpolante TIPO è il tipo di interpolazione richiesta: - nearest : interpolazione con polinomio costante a tratti - linear : (default) polinomio lineare a tratti - cubic : polinomio cubico a tratti (con derivate continue) - spline : interpolazione con spline cubica

5 Esempio Consideriamo la funzione f(x) = exp(x) * cos(4x) su [0,3]. Calcoliamo linterpolante polinomiale a tratti I(x) su una griglia uniforme di 11 punti. Disegniamo un grafico di f(x) e di I(x). Per esempio, per il polinomio costante a tratti: >> f=inline('exp(x).*cos(4*x)'); >> x=0:3/10:3; >> fx=f(x); >> xx=0:0.01:3; >> fxx=f(xx); >> i0=interp1(x,fx,xx,'nearest'); >> plot(xx,fxx); hold on, plot(xx,i0,'g') >> plot(x,fx,'r*')

6 Polinomio costante a tratti, N=10.

7 Polinomio lineare a tratti, N = 10;

8 Interpolazione spline, N = 10.

9 Errore Per studiare landamento dellerrore per linterpolazione polinomiale a tratti di una funzione f, devo: Costruire una griglia di interpolazione uniforme X, con intervalli di ampiezza h; Calcolare linterpolante I h polinomiale a tratti basato sulla griglia X; Valutare linterpolante I h (x) appena trovato su una griglia XX, molto più fitta di X; Calcolare lerrore: ||f(XX) - I h (XX)|| ; Ripetere la procedura dimezzando ogni volta h e stampare i risultati Cercare di ricostruire landamento dellerrore in funzione di h.

10 function err=andamento(f,ab,s) % ERR=ANDAMENTO(F,AB,S) Calcola l'errore dovuto all'interpolazione % polinomiale a tratti per la funzione F sull'intervallo % [A,B]=AB, per l'interpolazione di tipo S % S è una stringa e può assumere i valori: 'nearest', 'linear' % 'spline' o 'cubic' % La function parte da una griglia con 5 intervalli, % e calcola l'errore in norma inf, dimezzando l'ampiezza % degli intervalli n=5; a=ab(1); b=ab(2); dx=(b-a)/200; xx=a:dx:b; fxx=feval(f,xx); h=(b-a)/n; for k=1:7 x=a:h:b; fx=feval(f,x); pi=interp1(x,fx,xx,s); err(k) = norm(pi-fxx,inf); h=h/2; end

11 Funzione f(x) = exp(x)*cos( 4x), su [0,3]: >> err=andamento(f,[0,3],'nearest') err = >> err=andamento(f,[0,3],'linear') err = >> format short e >> err=andamento(f,[0,3],'spline') err = Columns 1 through e e e e e-005 Columns 6 through e e-008

12 Posso verificare che landamento dellerrore è del tipo: e(h) = C h Per far questo, passo ai logaritmi: ln(e) = c + ln(h) Ottengo un problema ai minimi quadrati, nel quale è il coefficiente della retta incognita: [, c] = polyfit( ln(h), ln(e), 1) Calcolo landamento dellerrore Adattando questa idea alloutput della function andamento.m, ottengo il programma seguente:

13 function [p,res]=min_quad(err) % [P,RES]=MIN_QUAD(ERR) calcola la pendenza (P) e il residuo % (RES) nella retta di regressione lineare per il problema % log(ERR) = C + P*log(H) % Parte con un valore iniziale H=1 (il valore iniziale non e' importante): h(1)=1; k=length(err); for i = 2:k h(i) = h(i-1)/2; end x=log(h); fx=log(err); a=polyfit(x,fx,1); % Interpola con un polinomio di grado 1 p=a(1); retta=polyval(a,x); % Calcola i valori della retta di regressione in x res=norm(fx-retta); function min_quad

14 >> err=andamento(f,[0,3],'spline'); >> [p,res]=min_quad(err) p = res = >> err=andamento(f,[0,3],'linear'); >> [p,res]=min_quad(err) p = res = Per linterpolante lineare a tratti, trovo: Funzione f(x) = exp(x)*cos(4x): mentre, per linterpolante spline trovo:

15 Esercizio Valutare landamento dellerrore rispetto ad H per linterpolazione polinomiale a tratti sullintervallo [0,3][, nel caso delle funzioni: 1) f(x) = abs(x - 1.1) 2) f(x) = 0, se x >= sqrt(2); f(x) = 1, se x < sqrt(2) (Questa function è disponibile nellarchivio come function step(x)) Che risultati si osservano rispetto alla funzione f(x)=exp(x)*cos(4x)?

16 Interpolazione spline di una funzione a gradino Come posso migliorare linterpolazione?

17 Interpolazione nel senso dei minimi quadrati con un polinomio di grado 10: Devo usare un interpolante diverso su ogni intervallo di regolarità di f(x).

18 Esercizio Considerare la funzione f(x) = x^2 * sin(3x) su [0,3] Definire su [0,3] una griglia equispaziata X di 21 punti. Interpolare la funzione data nel senso dei minimi quadrati sulla griglia assegnata con polinomi di grado 5, 10, 15, 20. Calcolare ogni volta la norma 2 del residuo (f(X) - P(X)). Discutere i risultati ottenuti Suggerimento: La ||f(X)-P(X)|| = 0 solo nel caso di interpolazione polinomiale esatta: negli altri casi sui punti della griglia X di interpolazione, il polinomio e la funzione assumono valori diversi

19 Esercizio Considerare la funzione f(x) = x^2 * sin(3x) su [0,3] Definire su [0,3] una griglia equispaziata X di 11 punti. Interpolare la funzione data nel senso dei minimi quadrati sulla griglia assegnata con un polinomio di grado 4. Verificare che si trova lo stesso polinomio impostando il sistema lineare con il metodo delle equazioni normali Suggerimento: Per il metodo delle equazioni normali, calcolo esplicitamente la matrice V di interpolazione 11 per 5 data da V(i,j) = x(i)^(5-j), con i = 1…11, j=1,…5, dove ho usato lo stesso ordinamento di Matlab per le colonne di V, poi risolvo VVp=Vf(X)


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