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Sistemi P2P Chernoff Bound Siano X 1, X 2, …,X n prove ripetute indipendenti tali che per 1 i n, Pr[X i =1]=p i, Pr[X i =0]=1-p i con 0 < p i < 1. Se allora.

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1 Sistemi P2P Chernoff Bound Siano X 1, X 2, …,X n prove ripetute indipendenti tali che per 1 i n, Pr[X i =1]=p i, Pr[X i =0]=1-p i con 0 < p i < 1. Se allora Inoltre se >2e-1 4,43, allora Ancora esercizi!!!

2 Sistemi P2P Abbiamo una roulette (Americana) (38 settori) proviamo ad effettuare 380 lanci: –Quale è la probabilità di beccare lo 0 almeno 41 volte? –Quanto vale ? (100) (10) (600) (nessuna delle precedenti) –Quanto vale ? (2000)(3)(1)(1000)(nessuna delle precedenti) –Quale formula applicare? –Se invece dello 0 consideriamo 0 e 00 almeno 41 volte, cambia qualcosa? –E se effettuiamo 3800 lanci quale è la probabilità di beccare lo volte? Ancora esercizi!!!

3 Sistemi P2P Dal punto di vista topologico Consideriamo una rete P2P come un grafo G=(V,E), dove V è linsieme dei nodi nel sistema e E rappresenta linsieme delle interconnessioni fra essi: –Minimizzare, per ogni nodo, le informazioni relative agli altri nodi: minimizzare il grado dei nodi; –Minimizzare il numero di messaggi necessari per fare lookup: Minimizzare il diametro; Minimizzare laverage path lenght (APL), vale a dire, la distanza media fra due nodi nel grafo. Condizioni necessarie ma non sufficienti

4 Sistemi P2P Es. Chord Consideriamo un anello con n=2 b nodi; Ogni nodo x ha un etichetta a b bit; I vicini del nodo x sono i nodi (x+2 i ) mod 2 b i = 0,1,…,b-1; jump b=3

5 Sistemi P2P Es. Chord Quanto valgono: –grado? –diametro? –average path lenght? b=3 Il grado è b = log n

6 Sistemi P2P Es. Chord Dati due nodi x e y la loro distanza d(x,y) è uguale al numero di 1 che ci sono nella stringa binaria (y-x) mod 2 b. Infatti i jump necessari per passare dal nodo x al nodo y sono quelli relativi alla posizione degli 1 nella stringa binaria (y-x) mod 2 b b=3

7 Sistemi P2P Es. Chord Calcoliamo la distanza tra il nodo 3 e il nodo 6: –(6-3) mod 8 = 3 = 011 (un jump da 2 e uno da 1). Calcoliamo la distanza tra il nodo 6 e il nodo 3: –(3-6) mod 8 = 5 = 101 (un jump da 4 e uno da 1) b=3 d(x,y) può essere diverso da d(y,x) Chord non è simmetrico Il diametro è b = log n

8 Sistemi P2P grado diametro 1 1 n -1 O(log n) Chord e altri Grafo completo Anello n è il numero dei peer;

9 Sistemi P2P Es. Chord Quanto vale laverage path lenght? b=3 N denota linsieme dei nodi

10 Sistemi P2P Sistemi P2P uniformi Denotiamo con J x,i liesimo jump del nodo x; Un sistema P2P viene detto uniforme, se per ogni coppia di nodi x e y, si ha J x,i = J y,i i =1,2,…,k. Chord è uniforme? APL sistemi uniformi: Si k=grado l=diametro a è un generico nodo N Per semplicità consideriamo un sistema Chord like

11 Sistemi P2P Sistemi P2P uniformi Vantaggi: –Facili da implementare e da analizzare; –Algoritmo di routing semplice (greedy); –Routing locale, la procedura di lookup interessa solo i nodi che si trovano fra sorgente e destinazione; –Non cè congestione sui nodi, vale a dire il traffico generato dai messaggi di lookup è più o meno uguale per tutti i nodi. –Fast bootstrap: Poiché tutti i nodi utilizzano gli stessi jump, è possibile utilizzare la tabella di routing del proprio predecessore per velocizzare notevolmente loperazione di join; Svantaggi: –Sfortunatamente non sono gli algoritmi più efficienti. Lo vediamo fra un pò

12 Sistemi P2P Es. Chord Quanto vale laverage path lenght? Scegliamo come nodo sorgente il nodo a=00…0; La distanza fra a e il generico nodo x è uguale al numero di bit a 1 nella codifica binaria di x; b=3 a 00…0 00…1 … 11…0 11…1

13 Sistemi P2P Altre DHT?

14 Sistemi P2P DHT Routing (Tapestry) Realizzazione dinamica dellalgoritmo di Plaxton et al.(che non si adattava a sistemi dinamici); Supponendo che le chiave è costituita da un intero positivo lalgoritmo di routing corregge a ogni passo un singolo digit alla volta; Per fare ciò un nodo deve avere informazioni sui nodi responsabili dei prefissi della sua chiave; (O(log N) nodi) Il numero di messaggi necessari per fare lookup è O(log N); Lalgoritmo in pratica simula un Ipercubo;

15 Sistemi P2P DHT Routing (Tapestry) Tabella di routing (base k=4, digit d=4) Consideriamo il nodo x con id (x 1, x 2, x 3, x 4 ): (1+x 1, *, *, *) (x 1, 1+x 2, *, *) (x 1, x 2,1+x 3, *) (x 1, x 2, x 3, 1+x 4 ) (2+x 1, *, *, *) (x 1, 2+x 2, *, *) (x 1, x 2, 2+x 3, *) (x 1, x 2, x 3, 2+x 4 ) (3+x 1, *, *, *) (x 1, 3+x 2, *, *) (x 1, x 2, 3+x 3, *) (x 1, x 2, x 3, 3+x 4 ) (in totale sono k-1 d nodi -- n=d k -> d=log k n) Es. tabella di routing (1323 base 4) (2, 1, 3, 0) (1, 0, 2, 3) (1, 3, 3, 2) (1, 3, 2, 0) (3, 1, 2, 2) (1, 1, 1, 3) (1, 3, 0, 1) (1, 3, 2, 1) (0, 3, 2, 1) (1, 2, 1, 2) (1, 3, 1, 1) (1, 3, 2, 2)

16 Sistemi P2P DHT Routing (Tapestry) Es. tabella di routing (1323 base 4) (2, 1, 3, 0) (1, 0, 2, 3) (1, 3, 3, 2) (1, 3, 2, 0) (3, 1, 2, 2) (1, 1, 1, 3) (1, 3, 0, 1) (1, 3, 2, 1) (0, 3, 2, 1) (1, 2, 1, 2) (1, 3, 1, 1) (1, 3, 2, 2) Supponiamo che il nodo 1323 deve risolvere la query per il nodo 1333 … siccome i primi due digit coincidono (si utlizza la terza colonna) … la query viene inoltrata al nodo 1332… che avrà un link al nodo 1333 (nella sua quarta colonna). Grado (k-1) log k n Diametro log k n (2, 2, 2,1) (1, 0, 3, 3) (1, 3, 0, 2) (1, 3, 3, 0) (3, 2, 3, 0) (1, 1, 3, 3) (1, 3, 1, 1) (1, 3, 3, 1) (0, 2, 2, 3) (1, 2, 0, 2) (1, 3, 2, 1) (1, 3, 3, 3)

17 Sistemi P2P DHT: Routing (CAN) I nodi sono mappati su un toro d-dimensionale; A ogni nodo è associato un sottoinsieme di questo spazio d-dimensionale; Ogni nodo mantiene la lista dei nodi responsabili dei sottospazi che confinano con il proprio sottospazio; Grado: Ogni nodo ha O(d) vicini (due per ogni dimensione); Il routing avviene in passi, in media; Da notare che se usiamo d = log N dimensioni abbiamo O(log N) vicini e il routing ha costo:

18 Sistemi P2P DHT: Routing (CAN) Join Al nuovo nodo viene assegnato un punto (random) nello spazio d dimensionale. La zona viene divisa in due : Una parte viene gestita dal nuovo nodo La rimanente dal vecchio gestore. Leave La zona gestita dal nodo che lascia la rete viene passata a un suo vicino e se è possibile le zone vengono raggruppate di nuovo problema: frammentazione delle zone

19 Sistemi P2P DallIpercubo alla Butterfly Ipercubo Un nodo u è connesso con tutti i nodi che differiscono di un solo bit da u Nodi = N=2 r Archi = r 2 r-1 Bisezione = N/2 Diametro = log N Butterfly (r dimensioni) 2 r righe e r+1 colonne Nodo u =(w,i) w (r bit) =riga, i = colonna (da 0 a r) u=(w,i) e u=(w,i) sono connessi se –i=i+1 –w=w oppure w e w differiscono esattamente nelliesimo bit Nodi = (r+1)2 r nodi Archi = r2 r+1 Bisezione O(N/log N) Diametro O(log N) r=3

20 Sistemi P2P Butterfly (FFT) Network

21 Sistemi P2P Butterflies

22 Sistemi P2P Decomposing a Butterfly

23 Sistemi P2P Decomposing a Butterfly

24 Sistemi P2P Decomposing a Butterfly

25 Sistemi P2P Decomposing a Butterfly

26 Sistemi P2P Decomposing a Butterfly II

27 Sistemi P2P Decomposing a Butterfly II

28 Sistemi P2P Decomposing a Butterfly II

29 Sistemi P2P Decomposing a Butterfly II

30 Sistemi P2P Decomposing a Butterfly II

31 Sistemi P2P Decomposing a Butterfly II

32 Sistemi P2P Decomposing a Butterfly II

33 Sistemi P2P Routing on a Butterfly

34 Sistemi P2P DHT: Routing (Viceroy)

35 Sistemi P2P DHT: Routing (Viceroy) I nodi sono mappati su una butterfly e contemporaneamente su un array circolare; Ogni nodo ha un identificatore addizionale chiamato livello (scegliendo a caso nellintervallo 1 e log n dove n è una stima di n); Tre tipi di link: General link: predecessore e successore sullarray circolare (2 link); Level ring: connette i nodi di uno stesso livello (2 link); Butterfly link: realizza la butterfly (2 link); Ogni nodo ha O(1) vicini; Il routing avviene in O(log N) passi in media e O(log 2 N) passi WHP;

36 Sistemi P2P Fault tolerance and degree Il grado di una rete P2P soggetta a fallimenti deve essere almeno Ω(log n). Infatti, Ω(log n) risulta essere il minimo valore che permette alla rete di rimanere connessa anche nelle condizioni più proibitive; Sketch: –Supponiamo che tutti i nodi della rete possono fallire con probabilità ½; –Ovviamente un nodo rimane disconnesso se tutti i suoi vicini si disconnettono contemporaneamente; –Vogliamo che la probabilità che un nodo non si disconnetta sia 1- 1/n; –Pr[un nodo non si disconnette]=1-(1/2) k 1-1/n 1/n (1/2) k 2 k n k log n In realtà la prova è un po più complicata, ma questa rende bene lidea k=grado l=diametro

37 Sistemi P2P P2P: grado e diametro Abbiamo visto che il grado di una rete P2P soggetta a fallimenti deve essere almeno Ω(log n). Esistono in letteratura molti protocolli che hanno grado e diametro pari a O(log n). E possibile fare di meglio? –Fissiamo il grado pari O(log n), qual è il minimo diametro che riusciamo ad ottenere? –Fissiamo il grado pari O(log n), qual è il minimo APL che riusciamo ad ottenere? Stiamo cercando dei Lower Bound Chord, tapestry, pasty …

38 Sistemi P2P P2P: Lower Bound Teorema Dato un grafo G=(V,E) con |V| = n e grado k = O(log n), allora il diametro l = Ω(log n / log (log n)). Prova Dato che il grado è k e il diametro è l, ogni nodo può raggiungere al massimo altri nodi (compreso il nodo stesso). Poiché il grafo deve essere connesso, allora k l+1 > n l > log k (n) - 1 = Ω(log n / log (log n)). Con argomentazioni analoghe si può dimostrare che anche lAPL è Ω(log n / log (log n)) in quanto la maggior parte dei nodi si trova a distanza l- O(1). Ma allora Chord non è ottimale!!! k=grado l=diametro

39 Sistemi P2P P2P: Lower Bound (Esempio 1) k = log n; Ogni nodo ha grado k (k-1 figli e la radice dellalbero); r raggiunge qualsiasi nodo in al più log k-1 n = O(log n / log (log n)) passi. Il diametro è 1 + log k-1 n =O(log n / log (log n)). … …… k-1 r Il grado in ingresso della radice è n-1

40 Sistemi P2P P2P: Lower Bound (Esempio 2) k = log n; Ogni nodo ha grado(entrante più uscente) k ( k/2 -1 ai figli e 1 al padre (x2)); r raggiunge qualsiasi nodo in al più log k/2 -1 n = O(log n / log (log n)) passi. Ogni nodo raggiunge r in al più log k/2 -1 n = O(log n / log (log n)) passi Il diametro è O(log n / log (log n)). … …… k/2 -1 r

41 Sistemi P2P P2P: Lower Bound (Esempio 3) k = 6; Ogni nodo ha grado(entrante più uscente) 6 ( 2 ai figli e 1 al padre (x2)); r raggiunge qualsiasi nodo in al più log n passi. Ogni nodo raggiunge r in al più log n passi Il diametro è 2 log n. …… 2 r La mole di traffico che spetta al nodo r è nettamente maggiore rispetto agli altri nodi La rete si disconnette se uno qualsiasi dei nodi (escluse le foglie) fallisce

42 Sistemi P2P P2P: Lower Bound sistemi uniformi Teorema Consideriamo un sistema P2P uniforme con n nodi, sia k il numero dei vicini che ogni nodo mantiene, allora il lower bound per il diametro è 1/2 log n (l 1/2 log n ) se k 1/2 log n.

43 Sistemi P2P P2P: Lower Bound sistemi uniformi Teorema Consideriamo un sistema P2P uniforme con n nodi, sia k il numero dei vicini che ogni nodo mantiene, allora il diametro è Ω(log n) se k = O(log n).

44 Sistemi P2P grado diametro 1 1 n -1 O(log n) Chord e altri Grafo completo Anello n è il numero dei peer; LB O(log n/ log(log n))

45 Sistemi P2P Alcune osservazioni Chord è asintoticamente ottimo –Uniforme Facili da implementare e da analizzare; Algoritmo di routing semplice (greedy); Non cè congestione sui nodi; Fast bootstrap: Routing locale; –GAP Chord (log n, log n) LB (½ log n, ½ log n) E possibile fare meglio di Chord, si può arrivare a ( log n, log n)

46 Sistemi P2P Domande: Consideriamo un sistema P2P con N nodi e grado k = O(log N), quale delle seguenti affermazioni è vera. (giustificare la risposta) –il diametro è (log N) –il diametro è almeno ½ log N –il diametro è (log N / log log N) –Nessuna delle precedenti Dato un sistema P2P uniforme con N nodi, grado k e diametro l, (giustificare la risposta) –k è O(log N) se l è O(log N) –l è (log N) se k è O(log N) –l è (log N/ log log N) se k è O(log N) –Nessuna delle precedenti

47 Sistemi P2P Domande: Quale delle seguenti affermazioni è vera (giustificare la risposta) –I protocolli P2P uniformi sono più efficienti –Non esiste un sistema P2P asintoticamente ottimo –Chord è un sistema non uniforme –Nessuna delle precedenti Consideriamo linsieme dei protocolli P2P uniformi, quale delle seguenti affermazioni è vera. (giustificare la risposta) –Chord è un sistema P2P asintoticamente ottimo (rispetto al tradeoff grado - diametro) –Non esiste un sistema P2P asintoticamente ottimo (rispetto al tradeoff grado - diametro) –Non esiste un sistema che offre prestazioni migliori del protocollo Chord (rispetto al tradeoff grado - diametro) –Nessuna delle precedenti


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