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Componenti fortemente connesse. Una componente fortemente connessa (CFC) di un grafo orientato G=(V,E) è un insieme massimale di vertici U V tale che.

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Presentazione sul tema: "Componenti fortemente connesse. Una componente fortemente connessa (CFC) di un grafo orientato G=(V,E) è un insieme massimale di vertici U V tale che."— Transcript della presentazione:

1 Componenti fortemente connesse

2 Una componente fortemente connessa (CFC) di un grafo orientato G=(V,E) è un insieme massimale di vertici U V tale che per ogni coppia di vertici u e v in U si ha che ciascuno dei due vertici è raggiungibile dallaltro.

3 Componenti fortemente connesse

4

5 Grafo trasposto Il grafo G T =(V,E T ) è il trasposto di G=(V,E) se E T = {(u,v): (v,u) E} (rovescia il senso di percorrenza degli archi di G). G e G T hanno le stesse componenti fortemente connesse.

6 Componenti fortemente connesse Strongly-Connected-Components(G) 1.chiama DFS(G) per calcolare f[u] per ogni vertice u 2.calcola G T 3.chiama DFS(G T ), ma nel ciclo principale di DFS considera i vertici in ordine decrescente di f[u] 4.return i vertici di ogni albero nella foresta DFS prodotta al passo 3 come una diversa componente fortemente connessa Lalgoritmo seguente trova in tempo lineare (O(V+E)) le componenti connesse di un grafo orientato G=(V,E).

7 Componenti fortemente connesse 13/14 3/4 1/1011/16 2/712/15 8/9 5/6 Grafo G iniziale

8 Componenti fortemente connesse 13/14 3/4 1/1011/16 2/712/15 8/9 5/6 Grafo G T

9 Componenti fortemente connesse 13/14 3/4 1/1011/16 2/712/15 8/9 5/6

10 Componenti fortemente connesse 13/14 3/4 1/1011/16 2/712/15 8/9 5/6

11 Componenti fortemente connesse Lemma Se due vertici sono nella stessa CFC, allora nessun cammino fra loro esce da questa CFC. Teorema In una qualunque visita in profondità, tutti i vertici in una stessa CFC sono posti nello stesso albero DFS.

12 Avi Un avo (u) di un vertice u è il vertice (unico) w raggiungibile da u che massimizza f[w] (w è lultimo nodo raggiungibile da u nellordinamento della DFS). Teorema In un grafo orientato G = (V,E) lavo (u) di un qualunque vertice u V in una qualunque visita in profondità di G è un antenato di u.

13 Componenti fortemente connesse Corollario In ogni visita in profondità di un grafo orientato G = (V,E), per ogni vertice u V i vertici u e (u) appartengono alla stessa CFC. Teorema In un grafo orientato G = (V,E), due vertici u,v V appartengono alla stessa CFC se e solo se essi hanno lo stesso avo in una visita in profondità di G.

14 Correttezza Teorema Strongly-Connected-Components(G) calcola correttamente le CFC di un grafo orientato G. Dim. Per induzione. Tesi: se tutti gli alberi prodotti prima delln-esimo nella DFS sono CFC, allora lo è anche ln-esimo. Banalmente vero per n=0. Per il caso induttivo, cont...

15 Considera un albero DFS, T con radice r prodotto dalla ricerca per profondità su G T, sia C(r) linsieme dei vertici con avo r. Tesi: un vertice u è presente in T, sse u è in C(r). Chiaramente, ogni vertice in C(r) è anche in T. Se f[ (w)]>f[r], allora w non può essere in C(r): –Quando r viene selezionato, w è già stato inserito nellalbero con radice (w). Se f[ (w)] { "@context": "http://schema.org", "@type": "ImageObject", "contentUrl": "http://images.slideplayer.it/3/982822/slides/slide_15.jpg", "name": "Considera un albero DFS, T con radice r prodotto dalla ricerca per profondità su G T, sia C(r) linsieme dei vertici con avo r.", "description": "Tesi: un vertice u è presente in T, sse u è in C(r). Chiaramente, ogni vertice in C(r) è anche in T. Se f[ (w)]>f[r], allora w non può essere in C(r): –Quando r viene selezionato, w è già stato inserito nellalbero con radice (w). Se f[ (w)]

16 Problema: dato un grafo orientato …

17 … trovare le sue CFC

18 Inizio Prima DFS

19 Inizio

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21

22 4 3 1 2 7 5 8 6 Identificazione dei tempi di fine visita

23 4 3 1 2 7 5 8 6 Transposizione del grafo

24 4 3 1 2 7 5 8 6 Seconda DFS

25 4 3 1 2 7 5 8 6

26 4 3 1 2 7 5 8 6

27 4 3 1 2 7 5 8 6

28 4 3 1 2 7 5 8 6

29 4 3 1 2 7 5 8 6

30 4 3 1 2 7 5 8 6

31 4 3 1 2 7 5 8 6

32 4 3 1 2 7 5 8 6


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