POLIEDRI Per poliedro si intende un solido la cui superficie è costituita da un certo numero di facce poligonali Formula di Eulero (1707 – 1783) V + F – S = 2 (V: num. dei vertici, F: n. delle facce, S: n. degli spigoli) Un poliedro si dice regolare se tutti i poligoni sono regolari e tutti gli angoloidi sono uguali Che cos’è la matematica pg355 pol. semplice = non ha “buchi” La formula di Eulero è valida per poliedri “semplici” , cioè poliedri la cui superficie può essere trasformata per deformazione continua nella superficie di una sfera

n•F =2•S (ogni spigolo appartiene a due facce) Servendosi della formula di Eulero, si trova che non esistono più di cinque poliedri regolari Infatti Supponiamo che un poliedro regolare abbia F facce, ciascuna delle quali sia un poligono regolare di n (n ≥ 3) lati e che a ciascun vertice si incontrino r (r ≥ 3) spigoli n•F =2•S (ogni spigolo appartiene a due facce) e inoltre r•V = 2•S (ogni spigolo contiene due vertici) da cui 2•S 2•S _ S 2 . . . (*) 1/n + 1/r = 1/2 + 1/S ma n ed r non possono essere entrambi maggiori di 3 altrimenti la formula (*) non è valida per ogni valore positivo di S allora se r = 3, i valori che può assumere n sono 3, 4 o 5 e S : 6, 12 o 30 (tetraedro, cubo, dodecaedro) se n = 3, i valori che può assumere r sono 3, 4 o 5 e S : 6, 12 o 30 (tetraedro, ottaedro, icosaedro) Che cos’è la Mate pg.360 = + r n

“Non entri nessuno che sia ignorante di geometria” I cinque poliedri convessi regolari ( solidi Platonici ) tetraedro esaedro o cubo ottaedro dodecaedro icosaedro Platone ateniese 427-347 B,C. Sulla porta d’ingresso della scuola di Platone era scritto “Non entri nessuno che sia ignorante di geometria”

L’angoloide in V diminuisce L’angoloide in V aumenta V L’angoloide in V “si schiaccia” sul piano α β γ La somma degli angoli che delimitano un angoloide deve essere minore di 360°

Tre triangoli equilateri concorrono in un vertice 3• 60° = 180° Tre quadrati concorrono in un vertice 3• 90° = 270° Quattro triangoli equilateri concorrono in un vertice 4• 60° = 240°

Tre pentagoni regolari concorrono in un vertice 3• 108° = 240° Quattro triangoli equilateri concorrono in un vertice 4• 60° = 240°

Poligoni: somma degli angoli esterni di un poligono Facciamo una semplice osservazione: se cammino attorno ad un edificio di forma poligonale, mi ritrovo alla fine al punto di partenza . . . . .

Un modo dinamico per vedere la somma degli angoli interni di un triangolo

Tassellatura di Penrose Da il turista matematico