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In matematica usiamo molti insiemi numerici . Le invenzioni di nuovi sistemi numerici e algoritmi sono in ogni tempo correlate a precise esigenze pratiche e legate al progresso generale della conoscenza e della tecnologia .

insieme N L’insieme dei numeri naturali nel nostro sistema di numerazione si indica con N = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,...}

N è un insieme infinito I numeri naturali, abbiamo visto, si possono ordinare uno di seguito all’altro in modo molto intuitivo e la successione ha un primo elemento ma non ha termine. Tutte le volte che un insieme ha la stessa ‘numerosità’ dei i numeri naturali diremo che è numerabile.

N è un insieme discreto Tra due numeri naturali o non vi è nessun numero naturale o ce ne sono in numero finito.

Operazioni con i naturali Con i Naturali fin dalla prima elementare abbiamo imparato a fare confronti e fare con loro alcune operazioni: addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione. Sottrazione e divisione le posso considerare come le operazioni inverse della addizione e della moltiplicazione. Esse però hanno la caratteristica che non sono sempre eseguibili in N

La sottrazione in N la posso eseguire solo quando il minuendo (il primo numero) è maggiore o uguale al sottraendo (il secondo) a – b = c eseguibile solo se a ≥ b La divisione in N la posso eseguire solo se il dividendo (il primo numero) è multiplo del divisore (il secondo), con comunque divisore ≠0 a : b = c eseguibile solo se a=b*nєN

Le proprietà delle operazioni fondamentali che abbiamo visto in N saranno determinanti per stabilire più avanti di chiamare numeri anche cose strane, molto, molto strane…

Concetti matematici importanti trovati la scorsa lezione OPERAZIONE IN UN INSIEME IN QUALUNQUE INSIEME NUMERICO DIVISORE SEMPRE DIVERSO DA ZERO SOTTOINSIEME PROPRIO DI UN INSIEME CORRISPONDENZA BIUNIVOCA INSIEME INFINITO NUMERABILITA’

Un giochino per scaldarsi Trovatemi l’errore in questa dimostrazione che 2=1 !!! Considero a=b, moltiplico entrambi i termini per a allora a2 = ab aggiungo a2 ad entrambi i membri a2 + a2 = ab+ a2 2 a2 = ab+ a2 sottraggo 2ab 2 a2 -2 ab = a2 + ab -2ab 2 a2 -2 ab = a2 – ab 2 (a2 - ab) = 1(a2 – ab) divido per a2 - ab 2= 1 .

Esigenza dell’introduzione di un nuovo insieme numerico Due precise situazioni ci spingono ad ampliare l'insieme N: una di carattere pratico, un'altra di carattere più teorico. i numeri naturali non sono adatti a risolvere molte situazioni: quando ad esempio misuriamo la temperatura, il livello di un terreno sul mare, ecc... abbiamo bisogno anche di numeri negativi. D'altra parte nell'insieme N non era possibile effettuare la sottrazione tutte le volte che il minuendo era minore del sottraendo. Si procede, quindi, ad ampliare l'insieme numerico dei naturali aggiungendo anche dei nuovi numeri .

Origini storiche In realtà fino all’epoca moderna, la matematica ‘ufficiale’ in tutte le culture conosciute negò allo zero e ai negativi la dignità di numero, (classificandoli ‘absurdi’ o ’impossibili’); solo i mercanti li usavano tranquillamente per indicare le perdite o gli ammanchi In Occidente i numeri negativi fanno la prima comparsa nell'Arithmetica di Diofanto attorno al 275 d.C. e precisamente si afferma che c'e una soluzione che rende vera l'equazione 4x + 20 = 4 ma è assurda. I numeri negativi furono introdotti, per registrare debiti, da indiani e cinesi. Questi ultimi indicavano i numeri positivi in rosso e quelli negativi in nero, con un'associazione cromatica che si è tramandata (invertita) fino ai nostri giorni. Gli indiani invece li indicavano con la sovrapposizione di un punto o di una stella Gli Indiani riescono anche a superare i progressi di Diofanto e dimostrano che una quadrica ha sempre due radici.

Ma è con fatica che accettano che una di esse possa essere negativa Ma è con fatica che accettano che una di esse possa essere negativa. Infatti, Bhaskara nel XII sec. d.C. scrive che l'equazione x2 - 45x = 250 ha come radici x = 50 ed x = -5 ma il secondo valore non deve essere considerato in quanto è inadeguato Nel Liber Abaci di Fibonacci (XIII sec.) è presente la nozione di numero negativo associata all'idea di debito, proprio come nella cultura da cui li ha importati, tuttavia ancora nel 1545, Cardano, nella sua Ars Magna, ottenendo per un'equazione radici negative, le chiama fittizie mentre chiama reali quelle positive. Fino al XIV secolo, nonostante sia ormai chiaro che i numeri negativi esistono al pari di quelli positivi, non si verifica una loro accettazione.

altra noterella storico-’fisica’ Un aneddoto narra che quando il fisico tedesco G. Fahrenheit, propose nel 1724 la sua scala termometrica scelse come 0 la temperatura che corrisponde nella nostra scala termometrica a -32°C, perché essendo la temperatura più bassa raggiunta durante un inverno particolarmente rigido, riteneva fosse difficilmente raggiungibile o addirittura superabile. In tale modo non ci sarebbe stato bisogno di usare temperature negative E in effetti la temperatura dell'aria al suolo nella maggior parte delle aree abitate del pianeta tende a rimanere tra 0 °F e 100°F: perciò, la scala Fahrenheit permette di indicare la temperatura con due sole cifre senza bisogno del segno.

Insieme Z O INSIEME DEI NUMERI INTERI relativi viene indicato con Z perché è la lettera iniziale di "Zahl" che in tedesco significa numero

Ampliamento numerico È possibile immaginare Z come ripartito nei tre sottoinsiemi: formato dal solo 0; formato dai numeri interi negativi (numeri <0); formato dai numeri interi positivi (numeri >0). In questo modo possiamo vedere i numeri naturali come un sottoinsieme dei numeri interi, anche se sarebbe più esatto dire che c’è un sottoinsieme di Z che si comporta come N.

Il segno  " - " . E' importante  notare che il segno "-" , per come lo usiamo in Z , viene a compendiare ben tre significati diversi!   →     Infatti usiamo il segno meno per indicare i numeri negativi , come  -5 , -4, -3 ...  e cioè quei  "nuovi numeri" che con il passare a considerare  Z, abbiamo aggiunto ai naturali.   In questa accezione il segno "-" non è usato per indicare un' operazione, ma solo una specie di "segnaposto", per caratterizzare i nuovi numeri .     →     Poi "-" è usato come simbolo dell'operazione di sottrazione, e questa è la prima accezione in cui lo abbiamo incontrato, già in N , → ed infine il segno meno si usa per indicare  "l'opposto di " :  - (-7)  =  " l'opposto di  -7 "; (in quel  "- (-7)" , il primo ed il secondo simbolo "meno" hanno due significati diversi: il primo sta per "l'opposto di", mentre il secondo è quello che abbiamo già notato, il "segnaposto" dei numeri negativi).

Queste diverse funzioni logiche del segno "meno" sono spesso passate sotto silenzio nell'introduzione scolastica dei numeri relativi;, è importante aver chiaro "cosa c'è sotto" logicamente, in quanto le difficoltà nell'imparare ad usare (e ad "accettare", prima di tutto) i numeri negativi vengono alle volte anche dalla vera e propria complessità di questo concetto, che non è poi così "naturale" come talvolta si tende a cercare di far credere. La ‘riunificazione’ dei simboli ha però il vantaggio di semplificare notevolmente i calcoli. Basta infatti ricordare la convenzione che il segno “+” davanti parentesi consente di toglierla lasciando il segno inalterato, mentre il segno “-” cambia il segno. (Se poi entro la parentesi ci sono più addendi, il segno “-” davanti la parentesi, cambia il segno di tutti i termini all’interno della parentesi stessa)

Piccola nota Spesso per comodità omettiamo di mettere il segno + davanti agli interi positivi. Anche se formalmente è sbagliato, operativamente arriviamo allo stesso risultato

Gli interi Z = {..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...}.

Alcune definizioni Numeri concordi:numeri che hanno lo stesso segno  ad esempio i numeri +3, +5 sono concordi Numeri discordi:numeri che hanno segno diverso  ad esempio i numeri -3, +5 sono discordi Valore assoluto:il numero senza segno ad esempio il valore assoluto di +5 è 5 e si scrive |+5|=5           il valore assoluto di -5 è 5 e si scrive  |- 5|=5 Numeri opposti numeri con lo stesso valore assoluto, ma con segno diverso (cioè discordi). 

ordinamento Z è un insieme totalmente ordinato L'ordine di Z è dato da ... < -2 <-1 < 0 < 1 < 2 < ... -Ovvero se ho due numeri entrambi positivi è maggiore quello con valore assoluto maggiore, - se sono entrambi negativi è maggiore quello con valore assoluto minore, - se sono discordi è sempre maggiore quello positivo A differenza di N , l'insieme Z non possiede un primo elemento

L'ordine è compatibile con le operazioni: se a < b e c < d, allora a + c < b + d se a < b e c >0, allora ac < bc se a < b e c < 0, allora ac > bc Quest’ultima proprietà è spesso causa di errori!! Ricordiamoci che se moltiplichiamo ambedue i membri di una diseguaglianza per un numero negativo, cambia il verso della diseguaglianza Es. 2 < 5 Ma -2 > -5

Alcune caratteristiche di Z Anche l'insieme dei numeri interi è infinito e discreto. Facciamo vedere che è numerabile 0 1 2 3 4 5 6 7 8 … | | | | | | | | | 0 +1 -1 +2 -2 +3 -3 +4 -4 …

Addizione La definizione di addizione in Z deve essere tale da essere compatibile con la stessa operazione in N, perciò: (+2) + (+3) = +5, per arrivare agli altri casi conviene lavorare sulla rappresentazione degli Z sulla retta se sono due numeri concordi la loro somma è un numero ancora concorde con valore assoluto uguale alla somma dei valori assoluti se sono due numeri discordi la loro somma è un numero con il segno concorde con quello col valore assoluto maggiore e valore assoluto uguale alla differenza dei valori assoluti

Proprietà dell’addizione l’addizione è un'operazione interna a Z. Valgono le seguenti proprietà 1. proprietà commutativa :  Per qualsiasi  a,b є Z: a+b=b+a . 2. proprietà associativa Per qualsiasi  a,b,c є Z: (a+b)+c=a +(b+c).   3. esistenza dell’ elemento neutro l'elemento neutro per l'addizione è lo 0, infatti per esso vale:              Per qualsiasi  a є Z:                     a + 0 = a . 4. Esistenza dell’opposto Per qualsiasi  a є Z, esiste un altro numero a’ є Z:     tale che                 a + a’ = 0 . ovvero per ogni numero intero esiste il suo opposto

Sottrazione In Z è un’operazione sempre possibile. La differenza tra due numeri interi viene definita come somma del primo numero con l’opposto del secondo. perciò (+5) – (+2) = +5 + (-2) = +3 A questo punto non distinguiamo più fra le due operazioni e parliamo genericamente di somma algebrica, per la quale valgono le solite proprietà

Moltiplicazione Anche questa è un’operazione sempre possibile in Z La definizione di moltiplicazione in Z deve essere tale da essere compatibile con la stessa operazione in N e con le proprietà che vogliamo valgano ancora in Z, perciò: (+2) * (+3) = +6, (-3)* (+2) = -3+ (-3) = - 6 ma per la pr. Commutativa (+2)*(-3) = -6 e poi -[(-2) *(-3) ]= -6 perciò [(-2) *(-3) ]= +6 Dunque il prodotto di due numeri concordi è positivo, discordi è negativo

Proprietà della moltiplicazione 1. proprietà commutativa :  Per qualsiasi  a,b є Z: a*b=b*a . proprietà associativa   Per qualsiasi  a,b,c є Z: (a*b)*c=a*(b*c)   esistenza dell’ elemento neutro;         Per qualsiasi  a є Z:                         a * 1 = a . 4. legge di annullamento del prodotto: se moltiplichiamo un qualsiasi numero intero per 0, il prodotto è nullo e viceversa. a*0= 0*a= 0 5. proprietà  distributiva del prodotto rispetto alla somma: (a+b)*c = a*c + b*c

Divisione Si può fare solo quando il valore assoluto del dividendo è multiplo di quello del divisore e con comunque il divisore è ≠0. Per quanto riguarda i segni valgono le stesse regole del prodotto

Algoritmo di Euclide Anche se la divisione ordinaria non è definita su Z, è possibile usare l’algoritmo di Euclide per effettuare una divisione con resto: dati due interi a e b con b ≠ 0, esistono e sono unici due interi q e r tali che dove |b| è il valore assoluto di b. L'intero q è chiamato il quoziente e r è chiamato il resto, risultanti dalla divisione di a con b.

L'algoritmo di Euclide ,che non è un’operazione matematica nel senso che noi abbiamo definito, ci permette di calcolare un quoziente approssimato quando la divisione esatta non possibile. È uno degli algoritmi più antichi conosciuti, essendo presente negli Elementi di Euclide (300 a.C.).; tuttavia non è stato probabilmente scoperto da Euclide ma potrebbe essere stato conosciuto anche 200 anni prima. Certamente era conosciuto da Eudosso di Cnido e Aristotele. Ci consente inoltre di trovare il MCD tra due numeri interi, senza ricorrere alla scomposizione in fattori primi Dati due numeri interi a e b, si controlla se b è zero. Se lo è, a è il MCD. Se non lo è, si divide a / b e si assegna ad r il resto della divisione). Se r = 0 allora si può terminare affermando che b è il MCD cercato altrimenti occorre assegnare a: = b e b:= r e si ripete nuovamente la divisione fino a che non si trova r=0

Elevamento a potenza se n < 0 , non si può eseguire E’ un' operazione che associa ad una coppia di numeri a e n - detti rispettivamente base ed esponente se n>1 an = a*a*a …..*a (per n volte) se n = 1 , per ogni a a1 = a, se n = 0 , per ogni a≠0 a0 = +1, se n < 0 , non si può eseguire

Proprietà delle potenze (continuano a valere le stesse di N) prodotto di potenze di uguale base                anam=an+m quoziente di potenze di uguale base               an : am=an-m potenza di una potenza                    (an)m=anm prodotto di potenze con uguale esponente        anbn=(ab)n quoziente di potenze con uguale esponente      an : bn=(a : b)n

Un giochino Troverò la data del vostro compleanno (non l’anno)! Numerate ogni mese con 1 = gennaio, 2= febbraio, etc… Moltiplicate il numero del vostro mese per 5, aggiungete 7, moltiplicate per 4, aggiungete 13, moltiplicate per 5 e aggiungete il giorno e ditemi il numero che avete trovato io vi dirò la data!

giustificazione Supponiamo sia il giorno G del mese M ((5*M+7)*4+13)*5 +G= (20*M+28+13)*5 +G = 100*M +205 +G se io dal numero che mi avete detto tolgo mentalmente 205 ottengo di seguito mese e giorno….

esempio 25 aprile 5*4+7=27 27*4 +13=121 121*5=605 605 +25 = 630 630 -205 = 425

Le espressioni Abbiamo ‘tradotto’ le richieste del giochino espresse in lingua italiana, in una espressione matematica ovvero espresso in ‘matematichese’ [(5*M+7)*4+13]*5 +G Come in tutte le lingue bisogna seguire delle regole Se non ci sono parentesi si eseguono prima gli elevamenti a potenza, poi moltiplicazioni e divisioni e poi le somme algebriche Ogni parentesi aperta deve essere chiusa Si eseguono prima le operazioni entro le tonde, poi entro le quadre e così via

Esercizi di traduzione dal matematichese in italiano e viceversa [ -5*(-3)] 2 -(-1) -5*(-3) 2 -(-1) Moltiplicare la somma fra i quadrati di -2 e +3 per l’opposto di -4 Moltiplicare il quadrato della somma tra -2 e +3 per l’opposto di -4

Qualche strana uguaglianza 1+2 =3 4+5+6 =7+8 9+10+11+12=13+14+15 Oppure 32 +42= 52 102+112+122= 132+142 212+222+232+242= 252+262+272 Continuate voi la sequenza di uguaglianze….

bibliografia G.Spirito La costruzione matematica Ed. Oberon Courant-Robbins Che cos’è la matematica? Boringhieri Glenn-Johnson Divertimenti matematici Zanichelli M.Gardner L’incredibile Dr. Matrix Zanichelli http://math.unipa.it/~grim/FP_FondMatI_05.pdf http://www2.polito.it/didattica/polymath/htmlS/info/Numeri/Set06/Numeri.htm http://progettomatematica.dm.unibo.it/insieminumerici/insiemey.htm http://www.racine.ra.it/lcalighieri/pescetti/ricerca_infinito_2004_05/somm_cardinal/transfin.htm