Sono poligoni equilateri ed equiangoli Poligoni regolari - definizione Sono poligoni equilateri ed equiangoli ovvero hanno tutti i lati uguali hanno tutti gli angoli uguali Next

Poligoni regolari 3 lati 4 lati 5 lati 6 lati 8 lati 12 lati Triangolo Equilatero 4 lati Quadrato 5 lati PENTAgono 6 lati ESAgono 8 lati OTTAgono 12 lati DODECAgono Next

Poligoni regolari - proprietà Sono ISCRITTIBLI: è possibile trovare una circonferenza in cui inscriverli, ovvero una circonferenza esterna alla figura e che la ‘tocca’ nei vertici Invio Sono CIRCOSCRITTIBLI: è possibile trovare una circonferenza a cui circoscriverli, ovvero una circonferenza interna alla figura e che la ‘tocca’ sui lati Next

Circonferenza Circoscritta Poligoni regolari Circonferenza Circoscritta Per questa lezione concentriamo la nostra attenzione sulla circonferenza circoscritta Next

il punto d’intersezione degli assi dei lati Poligoni regolari Circonferenza Circoscritta Ricordiamo che in un T. Equilatero il centro della circonferenza circoscritta è il circocentro: il punto d’intersezione degli assi dei lati raggio Next

Circonferenza Circoscritta Poligoni regolari Circonferenza Circoscritta Ripetendo il procedimento è possibile disegnare la circonferenza attorno ad ogni poligono regolare raggio Next

Circonferenza Circoscritta Poligoni regolari Circonferenza Circoscritta raggio raggio Tracciata la circonferenza circoscritta è possibile disegnare all’interno del poligono tanti triangoli quanti sono i lati che formano il poligono stesso Next

? ? ? ? Poligoni regolari Quali segmenti formano i triangoli? 1 lato del poligono 2 raggi ? Quale tipo di triangoli vengono formati? ISOSCELI, perché hanno 2 lati uguali ? raggio Invio Come sono tra loro i triangoli? Uguali! ? raggio Se il poligono di partenza NON fosse stato REGOLARE, saremmo arrivati agli stessi risultati? NO! perché . . . ? Next

Poligoni regolari Riassumendo Un T.Equilatero è formato da raggio raggio Un T.Equilatero è formato da 3 T.isosceli uguali tra loro Un Quadrato è formato da 4 T.isosceli uguali tra loro Un Pentagono è formato da 5 T.isosceli uguali tra loro Un Esagono è formato da 6 T.isosceli uguali tra loro Next

Poligoni regolari L’altezza di ognuno di questi t.isosceli prende il nome di APOTEMA del POLIGONO (a) raggio apotema apotema Next

L’area di un triangolino Poligoni regolari Area apotema L’area di un triangolino lato  apotema 2 = Area poligono = Invio L’area di un triangolino numero lati  = numero lati  lato  apotema 2 perimetro  apotema 2 = = = 2p  a 2 = = = semiperimetro  apotema p  a Next

Area poligono regolare semiperimetro  apotema Poligoni regolari Area a a a a a a Area poligono regolare semiperimetro  apotema = Next

Poligoni regolari Numero fisso apotema / lato numero fisso Si può mostrare coi calcoli o ‘sperimentalmente’ che il rapporto apotema / lato è un valore costante per ogni poligono regolare. Tale rapporto viene detto numero fisso e indicato con la lettera f Il numero fisso è un valore importante perché consente di calcolare la misura dell’apotema nota quella del lato (o viceversa) f = apotema / lato  apotema = f  lato Next

Poligoni regolari Numero fisso - tabella f = apotema / lato 3 lati T. Equilatero 4 lati Quadrato f = apotema / lato = 0.289 f = apotema / lato = 0.500 5 lati pentagono f = apotema / lato = 0.688 6 lati esagono f = apotema / lato = 0.866 f = apotema / lato = 1.207 8 lati ottagono 12 lati dodecagono f = apotema / lato = 1.866 Next

Un quadrato ha il lato di 10 cm, quanto vale l’area? Poligoni regolari Area - Problema a r l Un quadrato ha il lato di 10 cm, quanto vale l’area? ? Metodo “classico”: A = l 2 = 102 = 100 cm2 Metodo “del poligono regolare”: Invio Essendo la figura un poligono regolare, noto il lato posso calcolare l’apotema utilizzando il relativo numero fisso a = f  l = 0.5  10 = 5cm Calcolo il perimetro del poligono 2p = 4  l = 4  10 = 40cm Calcolo l’area del poligono A = p  a = 20  5 = 100cm2 Next

Un pentagono REGOLARE ha il lato di 10 cm, quanto vale l’area? Poligoni regolari Area - Problema a r l Un pentagono REGOLARE ha il lato di 10 cm, quanto vale l’area? ? Metodo “del poligono regolare”: Essendo la figura un poligono regolare, noto il lato posso calcolare l’apotema utilizzando il relativo numero fisso a = f  l = 0.688  10 = 6.88cm Calcolo il perimetro del poligono 2p = 5  l = 5  10 = 50cm Calcolo l’area del poligono A = p  a = 25  6.88 = 172cm2 Next

Quale relazione intercorre tra Poligoni regolari perimetro e apotema Abbiamo detto che il rapporto apotema / lato è un valore costante per ogni poligono regolare. Allora sicuramente lo sarà anche il rapporto perimetro / apotema che indichiamo con la lettera 2s Quale relazione intercorre tra 2s e f ? Next

Poligoni regolari da 2s a 2p 3 lati 4 lati 2s = 2p / a 2s = 2p / a 5 T. Equilatero 4 lati Quadrato 2s = 2p / a = 10.380 2s = 2p / a = 8.000 5 lati pentagono 2s = 2p / a = 7.267 6 lati esagono 2s = 2p / a = 6.928 2s = 2p / a = 6.628 8 lati ottagono 12 lati dodecagono 2s = 2p / a = 6.431 Next

Poligoni regolari 2s 2s = 10.380 2s = 6.316 2s = 6.284 da 2s a 2p Triangolo - 3 lati 2s = 10.380 25 lati 2s = 6.316 175 lati 2s = 6.284 Si osservi ora con molta attenzione come varia il valore di 2s cioè il rapporto tra il perimetro e l’apotema del poligono regolare Quadrato - 4 lati 2s = 8.000 50 lati 2s = 6.291 200 lati 2s = 6.284 Pentagono - 5 lati 2s = 7.268 75 lati 2s = 6.287 225 lati 2s = 6.284 Esagono - 6 lati 2s = 6.928 100 lati 2s = 6.285 250 lati 2s = 6.284 Ottagono - 8 lati 2s = 6.628 125 lati 2s = 6.285 275 lati 2s = 6.283 Dodecagono - 12 lati 2s = 6.431 150 lati 2s = 6.284 300 lati 2s = 6.283 Next

p = 3.1415927… Poligoni regolari da 2s a 2p lati 2s 3 10.380 4 8.000 5 7.268 6 6.928 8 6.628 12 6.431 25 6.316 50 6.291 75 6.287 100 6.285 125 150 6.284 175 200 225 250 275 6.283 300 Aumentando il numero dei lati il valore di 2s diminuisce 2s NON diminuisce fino a zero, ma si assesta attorno al valore 6.2831853… Il valore 6.2831853… , che chiameremo 2p, viene raggiunto quando il poligono è formato da un numero grandissimo (infinito) di lati p = 3.1415927… Next

? Poligoni regolari dal 2p alla Circonferenza Come è fatto un poligono con un numero infinito di lati? ? È un poligono con i lati talmente corti che si possono considerare punti. Il POLIGONO è diventato una CIRCONFERENZA Next

? Poligoni regolari dal 2p alla Circonferenza Cosa è l’apotema di un poligono con un numero infinito di lati? ? Man mano che il lato si riduce il triangolino, formato dai due raggi e il lato, diventa sempre ‘lungo’ e quindi anche la sua altezza, cioè l’apotema, si allunga. raggio raggio a Linee di riferimento Next

Aumentando all’infinito il numero dei lati del poligono regolare … Poligoni regolari dal 2p alla Circonferenza Aumentando all’infinito il numero dei lati del poligono regolare … … il poligono diventa una circonferenza … l’apotema diventa lunga come il raggio: a = r … il rapporto 2s tra il perimetro e l’apotema diventa uguale a 2p = 6.2831853… : apotema raggio Next

Poligoni regolari circonferenza = 2r Circonferenza Abbiamo così determinato la formula per calcolare la misura della lunghezza di una circonferenza circonferenza = 2r Next

Per cerchio si intende la parte di piano racchiusa dalla circonferenza Poligoni regolari Cerchio Per cerchio si intende la parte di piano racchiusa dalla circonferenza circonferenza cerchio Next

per il cerchio posso scrivere Poligoni regolari Cerchio Ricordando che la misura della superficie di un poligono regolare è data dalla formula A = p  a per il cerchio posso scrivere cerchio = r  semicirconferenza = = r  2r / 2 =   r2 Next

Circonferenza e Cerchio Next