alcune considerazioni Università della Liberetà 2007-’08 l'aritmetica dei Pg 268 -269 codici e segretiE’ interessante conoscere addizione e moltiplicazione modulo n, esistenza e calcolo dell’ inverso di un numero a, numeri primi, l’algoritmo euclideo, la funzione di Eulero, il teorema di Eulero moduli alcune considerazioni m.bassi

Generalmente ci serviamo dell’orologio o della sveglia molte volte al giorno. I nostri orologi sono macchine per misurare il tempo e, qualsiasi strumento di misura è di “natura” matematica. Contando con i numeri che rappresentano le ore, spesso si ottengono risultati insoliti: sono le 7 e aggiungiamo 8 ore ……. 11 1 10 2 7 + 8 = 3 9 3 4 8 Si legge “7 più 8 uguale a 3 (modulo 12) “ 5 7 6 Questo tipo di aritmetica si chiama aritmetica modulare o anche sistema di numerazione finito

IL PROBLEMA SI PUÒ RISOLVERE CONTANDO O CON L’ARITMETICA MODULO 7 Un’ altro sistema numerico finito si può costruire con i giorni della settimana: 0 domenica, 1 lunedì, 2 martedì,……, 6 sabato. alcune domande: 1. Se il 4 marzo era di domenica, che giorno era il 24 marzo? 2. Per trovare che giorno sarà il 4 marzo dell’anno successivo si potrebbe ragionare così… 3. Si può anche andare all’indietro e chiedersi: che giorno era il 4 marzo del 1907 ? IL PROBLEMA SI PUÒ RISOLVERE CONTANDO O CON L’ARITMETICA MODULO 7 Allo stesso modo si possono risolvere problemi del tipo: che ora sarà tra 1675 ore? Spiegazione parziale Se numeriamo le 24 ore del giorno da 0 a 23 e se, ora sono le 18,tra 1675 ore saranno (1675+18) mod 24, cioè le 13

Consideriamo l’insieme dei numeri interi Z e la relazione detta di congruenza modulo n (con n > 0), così definita: Due numeri a e b sono equivalenti modulo n se e solo se (a - b) è multiplo di n. Esempio se n = 5 , 12 e 7 sono equivalenti mod.5 se e solo se (12 – 7) è multiplo di 5 infatti 12 – 7 = 5 e 5 è multiplo di se stesso Se a e b sono numeri naturali, si può dare la seguente condizione equivalente: a e b sono equivalenti modulo n se e solo se, divisi per n, danno lo stesso resto Con la relazione di equivalenza si può costruire l’insieme Zn delle classi di equivalenza, dette anche classi di resto modulo n NOTA a è multiplo di b se e solo se esiste un numero intero k tale che a = b • k

esempio classi di resto mod 5 [0] [1] [2] [3] [4] [0] ={0, 5, 10, 15, 20, 25, 30 ……} [1] ={1, 6, 11, 16, 21, 26, 31 ……..} [2] ={2, 7, 12, 17, 22, 27, 32 ……..} [3] ={3, 8, 13, 18, 23, 28, 33 ……..} [4] ={4, 9, 14, 19, 24, 29, 34 …….} Se a e b sono numeri naturali, si può dare la seguente condizione equivalente: a e b sono equivalenti modulo n se e solo se, divisi per n, danno lo stesso resto OSS. E’ interessante verificare che le ordinarie operazioni di addizione e moltiplicazione che sono definite in Z danno luogo a operazioni analoghe in Zn

+ [0] [1] [2] [3] [4] CLASSI di RESTO MODULO 5 Tavola dell’addizione esercizio: [ 2 ] + [ 4 ] = [ 2 + 4 ] = = [ 5 + 1 ] = [ 1 ] la classe [2] rappresenta tutti gli elementi del tipo 2+5h, gli elementi della classe [4] sono del tipo 4+5k, la loro somma è 2+5h+4+5k = 2+4+5(h+k) = 6+5(h+k) = 1+5+5(h+k) = = 1+5 (h+k+1): questo elemento appartiene alla classe [1].

+ [0] [1] [2] [3] [4] CLASSI di RESTO MODULO 5 - L’operazione + è interna Tavola dell’addizione + [0] [1] [2] [3] [4] - Vale la proprietà associativa - Esiste l’elemento neutro [0] - Esiste , per ogni elemento il simmetrico (opposto) - L’insieme Z5 è chiuso rispetto alla somma [ a ] + [ b ] = [ a + b ] Nota [ a ] è simmetrico di [ b ] se e solo se [ a ] + [ b ] = [ b ] + [ a ] = [ 0 ]

∙ [0] [1] [2] [3] [4] CLASSI di RESTO MODULO 5 Tavola della moltiplicazione - L’operazione ∙ è interna ∙ [0] [1] [2] [3] [4] - Vale la proprietà associativa La classe [0] annulla qualunque prodotto - Esiste l’elemento neutro [1] - Esiste , per ogni elemento, diverso da [0] il simmetrico (o reciproco) 1 1; 2 3; 4 4 es. [ 2 ] • x = [ 3 ]; x = [3] ∙ [2]simmetico ; x = [3] ∙ [3]; x = [4]

N on vale la legge di annullamento del prodotto CLASSI di RESTO MODULO 6 Qui molte proprietà non sono valide: Tavola della moltiplicazione ∙ [0] [1] [2] [3] [4] [5] - Non è vero che ogni elemento ha il simmetrico: per i numeri 2, 3, 4 non esistono - Ci sono elementi diversi da zero che moltiplicati tra loro danno 0 - In alcune righe compare più volte uno stesso elemento N on vale la legge di annullamento del prodotto

Alcune EQUIVALENZE sono di notevole importanza (a + b) mod n = a mod n + b mod n ciò vuol dire che il resto di una somma è uguale alla somma dei resti (a • b) mod n = a mod n • b mod n ciò vuol dire che il resto di un prodotto è uguale al prodotto dei resti Se a e b sono uguali, (a • a) mod n = a mod n • a mod n = r • r = r2 con r resto della divisione di a per n NOTA: questa proprietà è utilizzata fondamentalmente nell’ambito della crittografia a chiave pubblica (RSA) con numeri primi. Infatti questa proprietà permette di determinare i resti delle divisioni tra numeri con un “ grande” numero di cifre

329 mod 7 = 1 infatti si ottiene: 32 mod 7 = 4 ; qualche esempio 12² mod 11 = 144 mod 11 = 1 = ( 12 mod 11 )²= 1•1 = 1 329 mod 7 = 1 infatti si ottiene: 32 mod 7 = 4 ; 322 mod 7 = ( 32 mod 7)2 = (4•4) mod 7 = 2 324 mod 7 = (322 mod 7)2 = (2•2) mod 7 = 4 328 mod 7 = (324 mod 7)2 = (4•4) mod 7 = 2 329 mod 7 = (328 •32) mod 7 = (2•4) mod 7 = 1 fotocopie nicolò capobianco Il metodo è ricorsivo e facilmente implementabile

LA PROVA DEL NOVE Supponiamo di aver moltiplicato due numeri a e b, e di aver ottenuto come risultato c. Rifacendo il calcolo, potremmo ottenere risultati uguali o diversi: se sono diversi siamo sicuri che almeno uno dei due è errato, se sono uguali non abbiamo la certezza che il risultato sia corretto perché potremmo aver fatto lo stesso errore in tutti due i calcoli. Lo stesso avviene con la prova del nove: se i conti “non tornano” siamo sicuri di aver sbagliato la prova o la moltiplicazione, se “tornano”, avremo la conferma dell’esattezza del risultato, ma mai la sicurezza

LA PROVA DEL NOVE La prova del nove è molto più veloce che non rifare la moltiplicazione e quindi è preferibile La prova del nove ( o dell’ 11, o ... ) si basa sul fatto che se a ∙ b = c allora a mod p ∙ b mod p = c mod p Es. 564 * 4318 = 2435352 a mod p 6 b mod p c mod p c mod p = 6 7 a mod p ∙ b mod p • (6 7) mod 9 = 6

Si potrebbe fare anche la prova del 2, ricordando che a mod 2 è uguale a 1 se a è dispari e a 0 se a è pari Se almeno uno dei due numeri da moltiplicare è pari il risultato deve essere pari, se ambedue sono dispari il risultato deve essere dispari Perché allora non si usa la prova del 2 ? Ricordiamo che se la prova non torna il risultato è sbagliato, ma se la prova torna, potrebbe funzionare per caso. E perché non si fa con 347? Ci sarebbero 347 casi possibili (0……346) e l’eventualità che la prova torni per caso è piuttosto remota.

Il metodo di Pascal per il calcolo dei resti mod 7 (1650) Se volessimo usare un altro numero al posto del 9, ad es. 7, dovremmo conoscere il modo di trovare il resto mod 7 Il metodo di Pascal per il calcolo dei resti mod 7 (1650) Il metodo proposto da Pascal utilizza le proprietà delle classi resto il numero 5342 è divisibile per 7 ? Il numero 5342 può essere scritto in forma polinomiale : 5 • 103 + 3 • 102 + 4 • 101 + 2 • 100 Fotocopie vittorio de petris nella relazione di equivalenza vale il principio di sostituzione tra elementi appartenenti alla stessa classe di equivalenza Pascal trascrive il polinomio in una tabella a due righe 5 3 4 2 103 102 101 100 5 3 4 2 6 2 3 1 resti mod 7 dei termini della seconda riga Moltiplichiamo 5•6+3•2+4•3+2•1 = 50; 50 mod 7 = 1 e anche 5342 diviso 7 dà resto 1 (principio di sostituzione)

Nel descrivere il metodo di Pascal abbiamo incontrato una sequenza di numeri (…4 6 2 3 1), data dai successivi resti mod 7 delle potenze decrescenti di 10 ….la sequenza-resti diventa periodica e può esser utilizzata ogni volta che occorre In conclusione per vedere se un numero n è divisibile per 7 -si scrivono su una riga le cifre di n -si scrivono le sequenze-resti mod 7 sulla seconda riga -si moltiplicano i termini corrispondenti della prima e seconda riga -si sommano i prodotti ottenuti e si calcola il resto mod 7 -se il resto mod 7 è zero, allora n è divisibile per 7 100 mod 7 =1; 10mod7=3; 100mod7=2 1000mod7=6 …. Il ragionamento di Pascal è applicabile a qualunque altro criterio di divisibilità

P R O B L E M I Risolvi l’equazione 4x = 3 nell’insieme delle classi di resto modulo 6 Andrea, Bruno, Carlo, Dino e Enrico stanno facendo la conta e la somma delle dita è 22. a chi tocca, se la conta comincia da Dino? Sulla lavagna un alunno ha eseguito una moltiplicazione: Fa’ la prova del nove e verifica se ci sono errori 324 x 47 = 2258 1306 • 15318 Durante un esercizio sull’aritmetica delle classi resto, un alunno ha calcolato 5 + 4 = 2. In quale modulo è stata fatta l’addizione? Quanto fa 8 : 4 nell’insieme delle classi resto modulo 12?

Il gioco dei fiammiferi Il gioco consiste nel disporre su un tavolo un numero a piacere di fiammiferi. Dopo aver sorteggiato chi deve fare la prima mossa, si dà inizio al gioco, che consiste nel prelevare a turo dal tavolo un numero di fiammiferi compreso tra uno e tre. Vince chi riesce a costringere l’avversario a prendere l’ultimo fiammifero. Esiste una strategia vincente per chi fa la prima mossa? e… per finire La prova del 9 è abbastanza facile, ma anche la prova dell’ 11 può essere applicata senza troppi problemi Basta osservare che: 10 = - 1 mod 11; 100 = 10 ∙ 10 = 1 mod 11 e così via P R O V A

se scorriamo la tavola moltiplicativa mod.6 , Risoluzione dei P R O B L E M I Risolvi l’equazione 4x = 3 nell’insieme delle classi di resto modulo 6 4 • x = 3 x = 3 • 4simmetrico se scorriamo la tavola moltiplicativa mod.6 , non riusciamo a trovare il simmetrico o inverso di 4 pertanto l’equazione non ha soluzione (equazione impossibile in Z6) Andrea, Bruno, Carlo, Dino e Enrico stanno facendo la conta e la somma delle dita è 22. a chi tocca, se la conta comincia da Dino? Dato che i ragazzi sono cinque, calcoliamo il resto 22 mod 5 = 2 . Il secondo ragazzo dopo Dino è Andrea

Nota non sempre la prova del nove riesce a trovare errori Sulla lavagna un alunno ha eseguito una moltiplicazione: Fa’ la prova del nove e verifica se ci sono errori 324 x 47 = 2258 1306 • 15318 2 324 mod 9 = 0 47 mod 9 = 2 0 • 2 = 0 anche 15318 mod 9 = 0 La prova del nove dà esito positivo, ma la moltiplicazione è ugualmente errata. Infatti 324 • 47 = 15228 Nota non sempre la prova del nove riesce a trovare errori

l’alunno sta usando le classi di resto modulo 7 Durante un esercizio sull’aritmetica delle classi resto, un alunno ha calcolato 5 + 4 = 2. In quale modulo è stata fatta l’addizione? Dato che 5 + 4 = 9 nell’ aritmetica decimale, il risultato 2 si può ottenere solo togliendo 7. 5 + 4 = 2 + 7 5 + 4 = 2 (mod 7) l’alunno sta usando le classi di resto modulo 7 Quanto fa 8 : 4 nell’insieme delle classi resto modulo 12? La riga del 4 nella tabella moltiplicativa delle classi resto mod. 12 è : 0 4 8 0 4 8 0 4 8 0 4 8 L’8 compare ben 4 volte, in corrispondenza delle colonne 2, 5, 8 e 11, che rappresentano risposte valide ala domanda posta In altro modo: trova un numero x tale che 4 •x = 8 soluzioni: 2, 5, 8, 11

ammette soluzioni e queste costituiscono un classe mod. n Nell’equazione di ‘primo grado’ considerata, abbiamo trovato soluzioni diverse (2, 5, 8, 11) ; se gli elementi - classi di resti mod. 12 - ammettono il simmetrico rispetto la moltiplicazione, allora l’equazione ha un’ unica soluzione 5 • x = 8; x = 8 • 5 simmetrico ; x = 8 • 5 ; x = 4 (mod.12) 7 • x = 10; x = 10 • 7 simmetrico ; x = 10 • 7; x = 10 (mod.12) 11 • x = 3; x = 3 • 11 simmetrico ; x = 3 • 11; x = 9 (mod.12) 6 • x = 8 non ha soluzioni nell’insieme classi di resto mod.12 Pg. 66 mario curzio- lezioni di algebra In generale Sia k è un intero primo con n. Comunque si assegni un intero h, l’equazione in x K • x = h (mod.12) ammette soluzioni e queste costituiscono un classe mod. n

Nota A fa la prima mossa, B è l’avversario Il gioco dei fiammiferi Si calcola il resto mod. 4 del numero dei fiammiferi (è come se ci fossero sul tavolo solo gli r fiammiferi del resto. Alla prima mossa, basta togliere da r tanti fiammiferi, in modo da lasciarne uno solo all’avversario. Da questo momento, qualunque numero di fiammiferi prenderà B, A ne prenderà quanti mancano per arrivare a 4 (se B ne prende 1, A ne prenderà 3; se B ne prende 2 A ne prenderà 2, … . Essendo 4 un elemento neutro (nelle classi resto mod.4), la situazione non cambia: sul tavolo ci sarà sempre virtualmente sempre un solo fiammifero (quello che rimarrà a B) Nel caso che il resto mod. 4 del numero iniziale di fiammiferi sia 1, A sarebbe destinato a perdere, ma A può ancora sperare che B non conosca le regole e quindi prima o poi commetta un errore lasciando sul tavolo un numero di fiammiferi (n mod 4) ≠ 1 La stessa situazione si ha se A gioca per secondo Nota A fa la prima mossa, B è l’avversario

Le classi resto dal punto di vista dell’algebra moderna Prendiamo l’insieme delle classi resto modulo k (numero primo), dotato di due operazioni +, • ; osserviamo che : L’addizione è un’operazione interna È associativa Esiste l’elemento neutro [0] 0gni elemento ha il suo elemento inverso (o simmetrico) La moltiplicazione è un’operazione interna È associativa Esiste l’elemento neutro [1] Ogni elemento, tranne 0, ha il suo elemento inverso (o simmetrico) Pg.10 di 13 di vittorio de petris per la proprietà del quadrato mod n vedi pg.1-4 capobianco L’insieme è un MONOIDE commutativo L’insieme è un GRUPPO e inoltre …

[4] • x = [2] ha due soluzioni: [2] e [5] … la moltiplicazione è distributiva rispetto l’addizione cioè: x • (y + z) = x • y + x • z La presenza di tutte queste proprietà conferisce all’insieme la struttura di ANELLO Diversa è la situazione se k non è primo Osserviamo che non vale più la legge di annullamento del prodotto, per la quale un prodotto è nullo se lo è almeno uno dei due termini. Ci sono cioè divisori dello zero es. nelle classi resto mod. 6, [2] • [3] = [0] oppure [0] : [2] = [3] ; una semplice equazione di primo grado … [4] • x = [2] ha due soluzioni: [2] e [5] [3] • x = [5] non ha soluzioni L’insieme Zk(+,•) con k, numero primo, ha la stessa struttura algebrica di Q (+,•) IMPORTANTE

R = Q + I N = {0, 1,2,3,4,5, ... } insieme dei numeri naturali Z = {0, +1, -1, +2, -2, +3 ... } insieme dei numeri interi relativi Q = {classi di frazioni equivalenti} insieme dei numeri razionali I : numeri decimali non periodici (numeri che non possono essere scritti come frazioni) I R = Q + I N R : l’insieme dei reali si divide in due sottinsiemi disgiunti, quello dei razionali Q e quello degli irrazionali I Z Q

CLASSI di RESTO MODULO 5 + [0] [1] [2] [3] [4] Tavola della addizione

∙ [0] [1] [2] [3] [4] Tavola della moltiplicazione CLASSI di RESTO MODULO 5 ∙ [0] [1] [2] [3] [4] Tavola della moltiplicazione

+ [0] [1] [2] [3] [4] [5] Tavola della addizione CLASSI di RESTO MODULO 6 + [0] [1] [2] [3] [4] [5] [2 [6] Tavola della addizione

∙ [0] [1] [2] [3] [4] [5] Tavola della moltiplicazione CLASSI di RESTO MODULO 6 ∙ [0] [1] [2] [3] [4] [5] Tavola della moltiplicazione

Tavola della addizione CLASSI di RESTO MODULO 12 + 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Tavola della addizione

Tavola della moltiplicazione CLASSI di RESTO MODULO 12 • 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Tavola della moltiplicazione

alcune considerazioni tratte liberamente da….. Maraschini – Palma multi FORMAT moduli per la formazione matematica nella Scuola Superiore e altro … … …