giuseppina ALGORITMI trifiletti

u n b i t un bit è una cifra binaria, (in inglese "binary digit") ovvero uno dei due simboli del sistema numerico binario 0 o p p u r e 1

1 itagora

L’informatica pervade le discipline

In che senso l'informatica pervade le discipline ? Forse perché tutte utilizzano tecnologie informatiche ?

La nostra idea non è questa.

g. trifiletti

«zero uno» «Dì, quali son quelle due cose che sole sono nulla o quasi, CHIEDE LA SFINGE A PITAGORA «Dì, quali son quelle due cose che sole sono nulla o quasi, insieme son tutta la natura?» «zero uno» e è la risposta il serpente è custode del dubbio

pulsa al ritmo di 0 e 1 ? Il pensiero, la letteratura, l'arte, ..., la natura, nascondono un cuore che pulsa al ritmo di 0 e 1 ?

occhiali digitali un cuore digitale ? Oppure indossando possiamo evidenziare un cuore digitale ?

Gli occhiali digitali potrebbero fornire un modo di guardare il mondo più efficace di quelli utilizzati fino ad ora?

DISCRETO O CONTINUO ? Questo è il problema.

Che cerchi pure, io non sono previsto, dovrà inventarmi Io dico che il punto c’è. Non lo vedo ma ci credo!!! IL SIGNOR Q un uomo più che discreto e … densamente razionale, pazientemente cerca … retta numerica Che cerchi pure, io non sono previsto, dovrà inventarmi cerca MISTER  un tipo che di discreto non ha nulla ed è tutt’altro che razionale

 NON è un numero razionale, ma è irrazionale, CONTINUO: L'INSIEME DEI REALI tutti i punti della retta sono occupati dai numeri reali e tutti i numeri reali stanno sulla retta 2 r=1   NON è un numero razionale, ma è irrazionale, è un numero reale 1 2 3 2 e 3 NON sono numeri razionali, ma sono irrazionali, sono ambedue numeri reali R corrispondenza biunivoca tra R e i punti della retta

R À POTENZA DEL CONTINUO 1 l’insieme dei numeri reali non è numerabile, non è quindi possibile metterlo in corrispondenza biunivoca con i numeri naturali, R ha la potenza del continuo À 1 POTENZA DEL CONTINUO

DISCRETO: L'INSIEME DEI NATURALI e anche l'insieme degli INTERI tra un numero e il successivo non esistono altri numeri N Z 1 2 3 -1 -2 -3

l'insieme dei numeri naturali N (e dei numeri interi Z) ha la potenza del numerabile: À

DENSO: L'INSIEME DEI RAZIONALI Q 1/2 1/4 2/3 1 1/8 1/16 5/6 11/12 tra due numeri razionali esistono infiniti altri numeri razionali i numeri razionali si possono esprimere come coppie di numeri naturali

Q non riempie la retta anche se tra due numeri razionali ce ne sono infiniti altri Ci sono punti della retta a cui non corrisponde nessun numero razionale, Pitagora e quelli della sua setta rimasero folgorati da questa scoperta. 1 2 3  Questi non sono numeri razionali, ma numeri irrazionali, e occupano punti della retta. Di numeri irrazionali ce ne sono infiniti altri …, anzi ce ne sono molti di più degli stessi numeri razionali

Q À MA È SORPRENDENTE! È NUMERABILE HA CARDINALITÀ HA CARDINALITÀ CIOÈ I NUMERI RAZIONALI SONO TANTI QUANTI I NUMERI NATURALI !!! CIOÈ È POSSIBILE METTERE IN CORRISPONDENZA BIUNIVOCA, UNO A UNO, I NUMERI NATURALI E I NUMERI RAZIONALI, COME SEGUE:

"metodo diagonale" di Cantor

La numerabilità dei razionali Il fatto che la cardinalità dei razionali sia la stessa degli interi è abbastanza sorprendente, in quanto si è passati da un insieme "discreto", cioè con punti staccati uno dall'altro, ad un insieme denso, cioè con la caratteristica che tra due numeri qualunque ce ne sono sempre infiniti.

L’ IPOTESI DEL CONTINUO Cantor ipotizzò che non esistesse nessun insieme con una cardinalità intermedia compresa fra quella di ℕ e quella di ℝ (ipotesi del continuo). À 1 N R segue immediatamente a Così come i numeri naturali rappresentano il primo livello di infinito, i numeri reali rappresenterebbero, secondo tale ipotesi, il livello immediatamente successivo.

CANTOR E L’INFINITO ATTUALE TANTI DIVERSI INFINITI, ANZI, INFINITI TRANSFINITI Così come i numeri naturali rappresentano il primo livello di infinito, i numeri reali rappresenterebbero, secondo tale ipotesi, il livello immediatamente successivo. Ma ci sono infiniti altri infiniti, basta fare l’insieme delle parti dell’insieme infinito e si aumenta di un grado l’infinito Così, ad esempio, il "numero" dei naturali è differente da quello degli insiemi di naturali e poi da quello degli insiemi di insiemi di naturali e così via, in un procedimento senza fine che produce infiniti sempre nuovi. I reali sono tanti quanti i sottoinsiemi dei naturali

In che tipo di realtà viviamo?

I fisici hanno paura degli universi discreti e basano le loro teorie sul continuo e sulla simmetria

Gli universi discreti sono molto più complicati degli universi continui

il continuo nasce dai numeri naturali con una serie di passi che conducono alla fine del percorso all’aggiunta di un postulato: il postulato di continuità della retta

la valenza culturale dell'informatica

Al di là dei più appariscenti sviluppi tecnologici, la valenza culturale dell’informatica si evince dalle sue potenzialità nel favorire il dialogo fra scienze esatte e scienze umane

L’Informatica non ha solo un valore tecnologico-strumentale, ma anche un valore scientifico e culturale autonomo. Fornisce una prospettiva sul mondo e una chiave di lettura della realtà originale e irriducibile a quelle fornite dalla fisica, dalla matematica e dalle altre scienze.

DIO HA FATTO I NUMERI NATURALI TUTTO IL RESTO È OPERA DELL’UOMO KRONECKER

Leopold Kronecker (7 dicembre 1823, Liegnitz, Prussia / Legnica, Polonia - 29 dicembre 1891, Berlino), matematico e logico tedesco, noto per la sua convinzione che l'analisi potesse essere interamente fondata sui numeri interi, convinzione che viene bene rappresentata dal suo noto aforisma: "Dio fece i numeri naturali; tutto il resto è opera dell'uomo". Questo atteggiamento pose Kronecker in conflitto con alcune delle estensioni della nozione di numero e della matematica introdotte da Georg Cantor.

Kronecker, che pure era stato il maestro di Cantor durante i suoi studi universitari a Berlino, ne rifiutò le scoperte: "il lavoro di Cantor sui numeri transfiniti e sulla teoria degli insiemi non è Matematica, ma misticismo" ed aggiungeva, come già ricordato, che "i numeri interi positivi sono i soli creati da Dio; tutto il resto è opera dell'uomo e quindi sospetto". Altri grandi matematici apprezzarono invece l'opera di Cantor e la accolsero con entusiasmo. David Hilbert definiva la teoria dei cardinali "un prodotto sbalorditivo del pensiero umano" e commentava: "nessuno riuscirà mai a cacciarci dal paradiso che Cantor ha creato per noi"

l’informatica si fonda sui trasforma tutto in numero NUMERI NATURALI trasforma tutto in numero utilizza la base 2, solo 0 e 1

ALGORITMI

La programmazione è un buon medium per riuscire ad esprimere idee confuse mal formulate nella forma di metodi chiari ed efficaci. marvin minsky gulp!?! Trova il maggiore e il minore di N oggetti diversi, ma con il minor numero di passi!

minimizziamo i confronti

Rendiamo espliciti i procedimenti semi-consci il nostro cervello risolve automaticamente ogni giorno molti problemi ma con meccanismi che non sono completamente consci e quindi non espliciti: cercare di far risolvere al computer gli stessi basilari problemi ci consente quindi di capire come il nostro cervello svolge molte funzioni

I problemi proposti sono tutti impostati sul confronto di oggetti differenti: si presupponeva di avere otto oggetti differenti e di avere a disposizione soltanto una bilancia a due piatti, senza pesi, per confrontare gli oggetti.

datemi una bilancia datemi una bilancia 1 e comprenderò il mondo

ESPLOSIONE dell’ informazione contenuta in un confronto

Trovare il maggiore tra un insieme di otto numeri diversi. Trovare il più grande e il più piccolo tra un insieme di otto numeri diversi. Trovare i due numeri più grandi tra un insieme di otto numeri diversi.

Presentazione del problema; Analisi del problema e sviluppo di un algoritmo risolvente;

Ottimizzazione dell’algoritmo; Analisi del numero dei confronti in funzione del numero dei dati; Domanda conclusiva: si può fare meglio?

PROBLEMA 1 Trovare il più grande numero in un insieme di otto numeri diversi, potendoli soltanto confrontare a due a due.

Si può procedere confrontando tutti i numeri fra di loro ma così avremmo una sovrabbondanza di informazioni inutilizzate.

Quelli che seguono sono i due alberi che schematizzano due algoritmi risolventi ottimali.

ALGORITMO OTTIMALE 1

ALGORITMO OTTIMALE 1

TORNEO DI ARTI MARZIALI

OPPURE TORNEO DI TENNIS

PROBLEMA 2 Trovare il più grande e il più piccolo numero in un insieme di otto numeri diversi, confrontandoli a due a due.

a sinistra procedono i perdenti V a destra solo i vincenti

Però così avremmo una sovrabbondanza di informazioni inutilizzate: dai primi quattro confronti infatti sappiamo già qual è il maggiore e il minore di ogni coppia iniziale; questa informazione ci consente quindi di eliminare i primi quattro confronti a sinistra che sono inutili.

ALGORITMO OTTIMALE 2 P V perdenti vincenti

PROBLEMA 3 Trovare i due numeri più grandi in un insieme di otto numeri arbitrari, potendoli soltanto confrontare a due a due

Se il maggiore fosse  S V

ALGORITMO OTTIMALE 3 Se V = V S

Il confronto avviene a due a due Un torneo con 8 tennisti Il confronto avviene a due a due Se si desidera trovare solo il vincitore non serve tenere conto di coloro che perdono, ma solamente di coloro che vincono al primo turno, al secondo turno, al terzo turno, quello finale. In tutto 7 confronti.

Se si desidera trovare anche il peggiore, bisogna tenere conto di coloro che hanno perso al primo turno per poi confrontarli a due a due come si fa per i vincitori. In tutto 10 confronti: 7 per il migliore più 3 per trovare il peggiore tra i quattro che hanno perso al primo turno.

Se si desidera trovare il primo e il secondo più bravi, bisogna ad ogni turno tenere conto non solo dei vincitori, ma anche di coloro che hanno perso, e con chi hanno perso, in modo tale che, una volta trovato il vincitore, si possano confrontare tra di loro gli unici perdenti che possono aspirare al secondo posto: coloro che hanno perso con il vincitore. In tutto 9 confronti: 7 confronti per trovare il migliore più 2 per trovare il migliore tra i tre che hanno perso con il vincitore nei tre turni per le selezioni.

E se il numero di oggetti è 15 (nei nostri esempi gli oggetti sono partite) quale sarà il minor numero di confronti nei tre casi esaminati?

E se il numero di oggetti è N (nei nostri esempi gli oggetti sono partite) quale sarà il minor numero di confronti nei tre casi esaminati?

PRIMO PROBLEMA N-1 SECONDO ROBLEMA 1. per N pari 3/2*N-2 2. per N dispari 3/2*(N-1) TERZO PROBLEMA N-1+log2N-1 log2N pprossimato per eccesso

Perché non si può fare meglio?

quale il miglior procedimento per pesare?

Preziosi consigli alla nonna

Università di Udine e Liceo Copernico Appunti tratti da Progetto SeT Università di Udine e Liceo Copernico