UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI NAPOLI FEDERICO II   Superfici materiali e non materiali in Fisica Dicembre 2008 A. Romano antroman@unina.it

La superficie S tra due mezzi contigui è materiale se le Superficie materiale La superficie S tra due mezzi contigui è materiale se le particelle dei due mezzi non possono attraversarla

Esempi La superficie di separazione tra due dielettrici La superficie tra olio ed acqua Una lamina di sapone (bolla) Una superficie materiale può essere geometrica o costituita da materia e possedere proprietà meccaniche.

Superficie non materiale La superficie S di separazione tra due mezzi è non materiale se essa può essere attraversata dalle particelle dei due mezzi. Le particelle dei due mezzi, contigue ad una superficie non materiale S, cambiano ad ogni istante.

Esempi di superfici non materiali Interfaccia solido-liquido Interfaccia liquido-vapore Interfaccia tra un cristallo e la miscela Colata continua Pareti di Bloch nei cristalli ferromagnetici e ferroelettrici Onde ordinarie e d’urto

Due possibili trattazioni delle superfici materiali e non materiali La superficie è sostituita da un sottile strato di transizione (strato limite) La superficie è una superficie di discontinuità dotata di proprietà materiali Primo approccio

Se y(ε, x) è la soluzione del problema al contorno al variare di ε, accade che dove y0(x) è la soluzione dell’equazione che si ottiene per ε = 0? Quando il piccolo parametro moltiplica le derivate di ordine massimo il termine che lo contiene non può trascurarsi.

La soluzione della precedente equazione ha l’andamento mostrato in figura 1 1 δ dove δ diminuisce al diminuire di ε (strato limite).

Se si vuole riguardare la superficie di separazione tra due regioni contigue come un sottile strato, occorre che le equazioni che descrivono il sistema presentino le derivate di ordine massimo moltiplicate per un piccolo parametro. Es. Equazione dei liquidi viscosi di Navier-Stokes dove è il numero di Reynolds.

Goccia d’acqua in equilibrio in aria Equazione di Eulero (in assenza di spinta archimedea e del peso) Poiché p = p (ρ), la densità è costante è non vi può essere la goccia. Assumendo che con α<<1, si ottiene lo strato limite e quindi la goccia.

Secondo approccio Si supponga che la superficie della goccia sia una superficie materiale in grado di esercitare una tensione tangenziale γ isotropa ed uniforme (proprietà meccaniche). La condizione di equilibrio diventa dove il raggio R è incognito. Per una forma non sferica si ha con H curvatura media (problma di Plateau).

Si osservi che nel caso delle bolle di sapone la pressione è nota sia all’interno che all’esterno della bolla ed R è la sola incognita del problema. Per una goccia d’acqua di condensazione la pressione interna è incognita ed occorre aggiungere una condizione termodinamica per ottenere il pareggiamento, ossia la continuità del potenziale di Gibbs attraverso S.

Congelamento dell’acqua Problema unidimensionale Energia per unità di volume: e = c θ; Vettore corrente di calore: h = - k  Bilancio di energia dove V è un arbitrario volume fisso.

L’interfaccia è uno strato limite di transizione per il campo di temperatura h = - k α, k>0, α<<1. Condizioni al contorno.

Il problema di Stephan L’interfaccia è una superficie di discontinuità. Inoltre h = - k  ; e = c θ; nel volume sull’interfaccia Condizioni al contorno: temperature agli estremi e temperatura di fusione θ = 0 sull’interfaccia. Incognite: il campo di temperatura θ(x,t) e lo spessore di ghiaccio s(t).

Formulazione generale I sistemi con strato limite possono descriversi sostituendo lo strato limite con una superficie materiale o non materiale eventualmente dotata di proprietà meccaniche e termodinamiche. L’impiego di questo modello richiede la formulazione delle leggi generali di bilancio per un sistema continuo con interfaccia.

La legge generale di bilancio

La legge generale di bilancio Una legge generale di bilancio per il campo ψ trasportato con velocità v si scrive dove c(t) è un volume fisso e

Difficoltà Calcolare la derivata temporale dell’integrale di superficie: (determinare esplicitamente σ(t) in termini della forma del volume c, della velocità normale dell’interfaccia e dello spostamento della curva di discontinuità Γ); determinare l’equazione del bordo ∂σ(t) di σ(t); assegnare ψσ e Φσ a partire dal problema fisico in esame.

Cristalli Equilibrio di un cristallo macroscopico nel suo liquido nel suo vapore in una miscela binaria contenente la fase liquida del cristallo. La legge di Gibbs La legge di Wulff

La legge di Gibbs Fissato il poliedro cristallino regolare convesso rispetto ad un suo punto interno, con N facce, la configurazione di equilibrio corrisponde al minimo dell’energia superficiale a volume costante

La legge di Gibbs Cristalli

Minimizzando il funzionale si trovano infinite configurazioni di equilibrio. Tra queste figurano quelle per cui dove λ è una costante dipendente dal volume del cristallo e hi la distanza della faccia i-ma da un punto fisso interno al cristallo. 23

La legge di Wulff Cristalli

Ferromagnetismo Il volume di un cristallo ferromagnetico è l’unione di regioni in cui la magnetizzazione è costante (domini di Weiss). Ciascuna regione è separata da quelle contigue da sottili strati (pareti di Bloch) in cui la magnetizzazione varia rapidamente. Micromagnetismo: Le configurazioni di equilibrio di un cristallo ferroelettrico si ottengono minimizzando l’energia totale di magnetizzazione del cristallo a volume costante.

Esempio In un cristallo uniassiale che occupa il volume di un parallelepipedo retto, in assenza di campo magnetico esterno, si ha la seguente distribuzione di domini 26

Micromagnetismo Le configurazioni di equilibrio di un cristallo ferroelettrico, In assenza di campo magnetico esterno, si ottengono minimizzando l’energia totale di magnetizzazione dove m è il versore di magnetizzazione. Per cristalli uniassiali 27