Applicazioni Matematiche e tecnologie delle macchine automatiche Meccatronica Applicata Applicazioni Matematiche e tecnologie delle macchine automatiche Ing Gabriele Canini KPL Packaging spa Ing Gabriele Canini

Meccatronica Applicata Applicazioni matematiche a casi industriali nelle macchine automatiche 1) Come fare poca fatica (ottimizzazione risorse software e computazionali) - interpolazione leggi di moto polinomiali 2) Come spendere meno (ottimizzazione costi attuatori) - dimensionamento ottimo trasmissione cinematica Ing Gabriele Canini

Meccatronica Applicata : Interpolazione Polinomiale ATTUATORE TRASMISSIONE CARICO MOTORE RIDUTT 1 : n T. CINGHIA Z1 : Z2 NASTRO, M. TRASLANTE D x p Y Ci interessa descrivere la legge di moto del mezzo operativo Y rispetto ad un master di macchina X Ing Gabriele Canini

Meccatronica Applicata : Interpolazione Polinomiale 6 g.d.v : servono 6 g.d.l che possono essere fissati nei 6 coeff di un polinomio di 5° grado r1 r2 rK rN X Y 360 [°] 1 [ciclo] slave master Y rK X Ing Gabriele Canini

Meccatronica Applicata : Interpolazione Polinomiale Y rK X Dati i vincoli geometrici nei punti bisogna determinare i coefficienti del polinomio interpolante Ing Gabriele Canini

Meccatronica Applicata : Interpolazione Polinomiale Vincoli in Vincoli in Ing Gabriele Canini

Meccatronica Applicata : Interpolazione Polinomiale Le eq. 1.5) – 1.10) possono essere riscritte in forma matriciale Ing Gabriele Canini

Meccatronica Applicata : Interpolazione Polinomiale Risolvendo il sistema 1.11) o 1.12) di ordine 6x6 si ricava il vettore dei coefficienti del polinomio in funzione dei vincoli geometrici . La soluzione deve essere SIMBOLICA e non Numerica perché : 1) La precisione della soluzione peggiora tanto più la matrice è mal condizionata. Ing Gabriele Canini

Meccatronica Applicata : Interpolazione Polinomiale 2) Poiché al cambiare del formato di macchina cambiano i vincoli del profilo di moto (da a ) è meglio assegnare in forma chiusa i coefficienti del polinomio così da adattarli a qualunque situazione e non avere errori numerici 3) Normalmente i computer di macchina non dispongono di librerie matriciali, (questo non è un vero ostacolo) Ing Gabriele Canini

Meccatronica Applicata : Interpolazione Polinomiale Il sistema 6x6 non si riesce ad invertire agevolmente a mano (ore di lavoro e alto rischio di sbagliare). Tanto meno aiutano i risolutori simbolici tipo Maple V o Mathematica perché non forniscono espressioni semplificate (sparano 40 pag di calcoli da ridurre a posteriori manualmente) Serve un’alternativa ASTUTA !! Ing Gabriele Canini

Meccatronica Applicata : Interpolazione Polinomiale ALTERNATIVA : Traslando il punto di inizio del ramo rk nell’origine si risolvono immediatamente 3 g.d.l ed il sistema totale si riduce ad un problema 3x3 Y rK X spazio originale rK spazio traslato Ing Gabriele Canini

Meccatronica Applicata : Interpolazione Polinomiale Infatti calcolando i vincoli di spazio, velocità ed accelerazione nel punto master si ottengono immediatamente i primi 3 coeff. di grado più basso del nuovo polinomio interpolante nello spazio traslato: rK Vincoli in Ing Gabriele Canini

Meccatronica Applicata : Interpolazione Polinomiale Scrivendo le equazioni di vincolo nel punto e combinandole con le 1.17)-1.18)-1.19) si ottiene il sistema ridotto ad un 3x3 Il sistema 3x3 si risolve agevolmente a mano e porta ad espressioni semplici facilmente implementabili in qualunque calcolatore di controllo di una macchina automatica Ing Gabriele Canini

Meccatronica Applicata : Interpolazione Polinomiale L’algoritmo per i coeff. del polinomio 5° grado traslato : Dati i vincoli geometrici nei punti traslazione coeff. di grado 0,1,2 variabili ausiliare (colonna termini noti) coeff. di grado 3,4,5 Ing Gabriele Canini

Meccatronica Applicata : Interpolazione Polinomiale Per calcolare il polinomio interpolante nel dominio originale si trasla all’indietro il polinomio interpolante così ottenuto Questa soluzione è molto comoda da implementare con cicli di calcolo iterativi nei computer della macchina automatica Successivamente si itera il metodo a tutti i rami della legge di moto Ing Gabriele Canini

Meccatronica Applicata : Interpolazione Polinomiale Polinomio di 3° Grado : I vincoli sono solo in posizione e velocità (no accelerazione) nei punti . Applicando il solito criterio della traslazione : Y rK X spazio originale rK spazio traslato Ing Gabriele Canini

Meccatronica Applicata : Interpolazione Polinomiale L’algoritmo per i coeff. del polinomio 3° grado traslato : Dati i vincoli geometrici nei punti traslazione coeff. di grado 0,1 variabili ausiliare coeff. di grado 2,3 Ing Gabriele Canini

Meccatronica Applicata : Interpolazione Polinomiale DOMANDE ? Ing Gabriele Canini