Esercitazioni elementari su probabilità e associazioni di oggetti vari Proposta a utenti da 9 a 12 anni uso di carta, penna, modellini vari Si propone un problema , si fornisce una soluzione per confronto Si forniscono essenziali formule e terminologie per eventuali approfondimenti con insegnante

Eventi E1 e E2 indipendenti, non correlati Urna con 10 palline : 5 rosse e 5 blu :S 10, R 5, B 5 Prima estrazione , con reinserimento E1 = esce pallina rossa P(E1) = 5 / 10 = 1 / 2 E2 = esce pallina blu P(E2) = 5 /10 = 1 / 2 Esce rossa o blu, poi reinserita seconda estrazione : condizioni immutate rispetto alla prima E1 = esce pallina rossa P(E1) = 5 / 10 = 1 / 2 E2 = esce pallina blu P(E2) = 5 /10 = 1 / 2 Probabilità immutate Eventi E1 e E2 indipendenti, non correlati

Urna con 10 palline : 5 rosse e 5 blu : S 10 , R 5, B 5 Prima estrazione , senza reinserimento E1 = esce pallina rossa P(E1) = 5 / 10 = 1 / 2 E2 = esce pallina blu P(E2) = 5 /10 = 1 / 2 Uscita pallina rossa seconda estrazione :condizione modificata rispetto alla prima: S 9 , R 4, B 5 E1 = esce pallina rossa P(E1) = 4 / 9 E2 = esce pallina blu P(E2) = 5 /9 Probabilità modificate p(E2) > p(E1) E1 e E2 correlati :

2 Urne con 10 palline : 5 rosse e 5 blu : S 10, R 5, B 5 estrazione da urna 1 estrazione da urna 2 E11 = esce rossa P(E11) = 5 / 10 = 1 / 2 E21 = esce blu P(E21) = 5 /10 = 1 / 2 E12 = esce rossa P(E12) = 5 / 10 = 1 / 2 Uscita pallina rossa E22 = esce blu P(E22) = 5 /10 = 1 / 2 Estrazione seconda pallina : da urna 1 con condizione modificata, S 9 ,R 4 , B 5: cambia anche la probabilità p(E11) < p(E21) Estrazione seconda pallina : da urna 2 con condizione immutata S 10 , R 5, B 5 :la probabilità rimane immutata p(E12) = p(E22) E11 , E21 non correlati con E12, E22

Lancio di un dado: E12= uscita numero dispari o 2 p(E1)= 3 / 6 E1 = [1,3,5) 1 3 5 E2 = [2) 2 p(E1) = 1 /6 Nessun elemento in comune : incompatibili E1 ∩ E2 = Ø E12= [1,3,5,2] P ( E1 U E2 ) = p(E1) + p(E2) P(E12) = 4 / 6 = 2 /3 La probabilità della unione di due eventi incompatibili è uguale alla somma delle probabilità dei singoli eventi

Lancio dado: E12 = uscita numero pari, minore di 5: (E1 U E2) p(E1) = 4 /6 E2 = [2,4,6] P(E2) = 3 / 6 1 2 3 4 2 4 6 1 3 2 4 2 4 6 1 3 6 2 4 E1 ∩ E2 = [2,4] = 2 ≠ Ø: compatibili P(E1 ∩ E2) = 2 / 6 P(E12) = p(E1) + p(E2) – p(E1 ∩ E2 ) = 4 & / + 3 /6 – 2 / 6 = 5 /6 La probabilità della unione di due eventi compatibili è uguale alla somma delle probabilità dei singoli eventi – la probabilità della loro intersezione

B : la somma di due esiti verificata sia 5 Lancio di due dadi :S = 36 x 2 B : la somma di due esiti verificata sia 5 Probabilità che un dado fornisca esito A = 2 essendo verificato B: (A|B) Esito A condizionato dall’esito B B =[14,23,32,41] = 4 eventi favorevoli per ottenere 5 : p(B) = 4/36 A =[12,22,32,42,52,62,21,23,24,25,26] = 11 eventi che forniscono 2: p(A)=11/36 14, 23, 32, 41 12,22,32,42,52,62,21,23,24,25,26 14,41, 23, 32 32, 23 , 12, 22, 42, 52, 62, 21, 24, 25, 26 14, 41 23, 32 12, 22, 42, 52, 62, 21, 24, 25, 26 A ∩ B = (23, 32) = 2 2 eventi forniscono 5 come somma di 2 esiti e contengono 2 P(A | B) = ( A ∩ B ) / B = 2 / 4 = 1 /2

A = uscita del numero 2 (11) : p(A)= 11/36 B = somma numeri = 5 (4) .p(B) = 4 /36 Se B verificato, A cambia spazio campioni (da 36 a 4) e numero coppie contenenti 2 (da 11 a 2): p(A) = 2/4 = 1/2 P(A|B) = (A ∩ B) / B = 2 / 4 = 1 /2

Probabilità di sopravvivenza di un topo attaccato da un gatto che deve nutrire la cucciolata di 4 gattini, catturando ogni volta un topo da una gabbia che contiene n topi Può essere catturato sopravvive 10 1/10 99/100=0.99 1 / 10 9/10 =0.9 9 1 / 9 8 /9 = 0.88 1/99 98/99 = 0.9898 8 1 / 8 7/8=0.87 1/98 97/98 = 0.9897 1/97 96/97 = 0.9896 7 1 / 7 6/7=0.85 Evidentemente la probabilità di sopravvivenza aumenterebbe se la popolazione di topi iniziale fosse maggiore e viceversa 6

Hai 4 manichini da rivestire usando calzoni(blu, verde), camicia(rossa,gialla) Dn,k = n^k = 2^2 = 4

Hai 4 manichini da rivestire usando calzoni(blu, verde), camicia(blu,verde) Dn,k = n^k = 2^2 = 4

Hai 27 manichini da rivestire con calzoni, camicia, cappello in modo che ogni manichino abbia qualche elemento che lo distingue dagli altri Colori blu, rosso, giallo per ogni indumento Dn,k = D3,3= 3^3=27

27 possibili associazioni per manichini

27 possibili associazioni per manichini

Hai 3 gatti e 3 topi : associa nei modi possibili topi e gatti in modo che ogni coppia sia diversa per la composizione (n+k-1)*n / k! (2+2-1)*2 /2! = 3

Hai 2 topi e 2 gatti crea coppie possibili con la stessa composizione e diverso ordine

Hai 10 topi, 10 gatti, 10 alligatori crea tutti i gruppi possibili a triplette, con diverso ordine, composizione (n+k-1)*(n+k-2)n / k! (3+3-1)*(3+3-2)3 /3! = 5*4*3/6 = 10

Hai 6 topi, 6 gatti, 6 alligatori crea tutti i gruppi possibili che contengano 1 topo, 1 gatto, 1 alligatore in diverso ordine n ! = 3! = 1*2*3 = 6

Formare associazioni con tre individui ,diversi; con tutti i possibili ordinamenti

Hai 18 modelli : 6 topi, 6 gatti, 6 alligatori crea tutte le coppie possibili , diverse per composizione, ordine Dn,k = D3,2 = n^k = 3^2 = 9

Hai 6 topi, 6 gatti, 6 alligatori, 6 pupazzi: crea tute le coppie possibili con diversi ordinamenti, o diversa composizione Dn,k = D,4,2 = n(n-k+1) = 4(3) = 12

Hai 18 topi, 18 gatti, 18 alligatori, 18 pupazzi:crea triplette con diversa composizione o diverso ordinamento