Se gratti S I E N A Che cosa salta fuori? Le Pierangiolate n.2 Dipartimento di Ingegneria della Informazione e Scienze Matematiche Luca Chiantini presenta Se gratti S I E N A Che cosa salta fuori?

Se gratti S I E N A Che cosa salta fuori? Giochi di Archimede ---- 22 novembre 2006 PROBLEMA : In quanti modi diversi si possono ordinare le lettere della parola SIENA, In modo che non vi siano due consonanti consecutive?

In quanti modi diversi si possono ordinare le lettere della parola SIENA, In modo che non vi siano due consonanti consecutive? S I E N A S I N E A ok E I S N A no cosa scommettere?

MENONE: In quanti modi diversi si possono ordinare le lettere della parola SIENA, In modo che non vi siano due consonanti consecutive? Tirare a indovinare Forza bruta Metodo matematico MENONE: Differenza fra retta opinione e Scienza Platone

In quanti modi diversi si possono ordinare le lettere della parola SIENA? Forza bruta S I E N A E I N S A S ha 5 possibilità I ha 4 possibilità E ha 3 possibilità N ha 2 possibilità A ha 1 possibilità fattoriale 5 ! = 5  4  3  2  1 = 120

Per avere due consonanti vicine S nella prima casella N nella seconda casella Possibilità 1 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 6 S nella seconda casella N nella prima o terza casella Possibilità 2 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 12 S nella terza casella N nella seconda o quarta casella Possibilità 2 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 12 S nella quarta casella N nella terza o prima casella Possibilità 2 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 12 S nella quinta casella N nella quarta casella Possibilità 1 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 6 48 In quanti modi diversi si possono ordinare le lettere della parola SIENA, In modo che non vi siano due consonanti consecutive? = 120 – 48 = 72

Ragionamento per analogia In quanti modi diversi si possono ordinare le lettere della parola SIENA, In modo che non vi siano due consonanti consecutive? = 120 – 48 = 72 = 72 / 120 = 3 / 5 = 60% Probabilità di successo Ragionamento per analogia S I E N A Se invece di L I C E O? 72 Avessi la parola P A L I O? Avessi la parola 72 Avessi la parola C I E L O? 72 Qualunque parola di 5 lettere con 2 consonanti e 3 vocali dà la stessa soluzione

P A L I O nel si pongono numerosissimi problemi combinatorici simili ESEMPIO: se in un Palio corrono solo due contrade nemiche, quale è la probabilità che finiscano accanto al canape? 20% ESEMPIO: quante sono le possibilità di allineamento alla mossa? 17! / 7! = 17 ∙ 16 ∙ … ∙ 8 = 70.572.902.400

Probabilità di successo In quanti modi diversi si possono ordinare le lettere della parola SIENA, In modo che non vi siano due consonanti consecutive? = 120 – 48 = 72 = 72 / 120 = 3 / 5 = 60% Probabilità di successo Ragionamento per analogia S I E N A Se invece di L I C E O? 72 Avessi la parola P A L I O? Avessi la parola 72 Avessi la parola P A L C O? sono 12 (10%)

L I C E O L I C E I ? L I C E O L I C E I L O C E I L I C E I Qualunque parola di 5 lettere con 2 consonanti e 3 vocali DISTINTE dà la stessa soluzione L I C E O Se invece di L I C E I ? Avessi la parola In quanti modi diversi si possono ordinare le lettere della parola LICEI? L I C E O L I C E I L O C E I L I C E I idem come sopra Quindi le possibilità si dimezzano, in quanto uno scambio delle due I non modifica la parola 120 / 2 = 60 possibilità

72 / 2 = 36 possibilità senza consonanti contigue In quanti modi diversi si possono ordinare le lettere della parola LICEI? 120 / 2 = 60 possibilità Stesso discorso vale per le disposizioni in cui le due consonanti non sono contigue: poiché scambiando le I la parola non cambia il loro numero si dimezza 72 / 2 = 36 possibilità senza consonanti contigue In quanti modi diversi si possono ordinare le lettere della parola LICEI, in modo che non vi siano due consonanti contigue? = 36 I numeri cambiano, ma la percentuale no! 36 / 60 = 3 / 5 = 60%

72 / 4 = 18 possibilità senza consonanti contigue In quanti modi diversi si possono ordinare le lettere della parola ARARE, in modo che non vi siano due consonanti consecutive? Stavolta, oltre a poter scambiare le due A, possiamo anche scambiare le due R senza cambiare la parola 120 / 4 = 30 possibilità totali 72 / 4 = 18 possibilità senza consonanti contigue 18 / 30 = 3 / 5 = 60% I numeri cambiano, ma la percentuale no!

ci sono 2 permutazioni sulle N ci sono 6 permutazioni sulle A In quanti modi diversi si possono ordinare le lettere della parola ANANA, in modo che non vi siano due consonanti consecutive? Stavolta, oltre a poter scambiare le due N, possiamo anche permutare le tre A senza cambiare la parola ci sono 2 permutazioni sulle N ci sono 6 permutazioni sulle A 120 / (2 ∙ 6) = 10 possibilità totali 72 / (2 ∙ 6) = 6 possibilità senza consonanti contigue 6 / 10 = 3 / 5 = 60% I numeri cambiano, ma la percentuale no! AAANN ANNAA AANAN NAAAN AANNA NAANA ANAAN NANAA ANANA NNAAA

L I C E O N A N A A S I E N A N A A N A A R A R E A N A N A AAANN ANNAA AANAN NAAAN AANNA NAANA ANAAN NANAA ANANA NNAAA ORDINAMENTO LESSICOGRAFICO Le precedenti parole possono essere considerate SCHEMI di situazioni, in cui A = vocale N = consonante Ogni parola di cinque lettere con due consonanti può essere ridotta a uno degli schemi precedenti L I C E O N A N A A S I E N A N A A N A A R A R E A N A N A Problemi combinatorici di questo tipo si studiano partendo dalla comprensione di ciò che avviene sugli schemi.

ESEMPIO: se in un Palio corrono solo due contrade nemiche, quale è la probabilità che finiscano accanto al canape? 20% E' sufficiente lavorare sugli schemi di parole con 10 lettere del tipo AANANAAAAA, dove N = contrada con nemica A = contrada senza nemica Il numero totale di tali schemi è: 10! / (2! ∙ 8!) = (10 ∙ 9) / 2 = 45 permutazioni delle N permutazioni delle A

ESEMPIO: se in un Palio corrono solo due contrade nemiche, quale è la probabilità che finiscano accanto al canape? ANNAAAAAAAAAA Il numero totale di tali schemi è 45 Affichè le due nemiche si trovino accanto: se la prima N è al primo posto la seconda N deve essere al posto 2 se la prima N è al posto 2 la seconda N deve essere al posto 3 ........... ci sono 9 posti dove si può trovare la prima N quindi ci sono 9 schemi in cui le due nemiche sono affiancate 9 / 45 = 20%

analogia PROBLEMA SCHEMATIZZAZIONE GENERALIZZAZIONE APPLICAZIONI GENERALIZZANDO: Disponendo n oggetti, di cui due di tipo N e i rimanenti di tipo A, quale è la probabilità che i due oggetti di tipo N finiscano accanto? Il numero totale degli schemi è n! / (2! ∙ (n-2)!) = n ∙ (n-1) / 2 ci sono n-1 schemi in cui le due N sono affiancate PROBABILITA' = (n-1) ∙ 2 / n ∙ (n-1) = 2 / n PROBLEMA SCHEMATIZZAZIONE analogia GENERALIZZAZIONE APPLICAZIONI

"poesia della Matematica" nato a Cuba 1923 morto a Siena 1985 ITALO CALVINO Le città invisibili (1972) MARCO Di una città non godi le sette, o le settantasette meraviglie, ma la risposta che dà ad una tua domanda KAN O le domande che ti pone, costringendoti a rispondere. Come Tebe, per bocca della Sfinge.

Prendendo a caso una QUALUNQUE parola di 5 lettere, quale è la probabilità di trovare due consonanti consecutive? Di cui "buoni" Gli SCHEMI di parole con 5 vocali sono 1 Gli SCHEMI di parole con 4 vocali sono 5 Gli SCHEMI di parole con 3 vocali sono 10 4 SIMMETRIA Gli SCHEMI di parole con 2 vocali sono 10 9 Gli SCHEMI di parole con 1 vocale sono 5 5 Gli SCHEMI di parole con 0 vocali sono 1 1 32 = 25 19 1 1 1 1 2 1 probabilità 19 / 32 = 59% circa 1 3 3 1 1 4 6 4 1 Triangolo di Tartaglia 1 5 10 10 5 1 (A + N)^5 = (A + N) (A + N) (A + N) (A + N) (A + N) (A + N) = ……

Prendendo a caso una QUALUNQUE parola di n lettere, quale è la probabilità di trovare due consonanti consecutive? Di cui buoni Gli SCHEMI di parole con n vocali sono 1 Gli SCHEMI di parole con n-1 vocali sono n ? ………………. Gli SCHEMI di parole con 0 vocali sono 1 2n Triangolo di Tartaglia buon divertimento ...

un’altra coppia accanto 20% ESEMPIO: e se ci sono DUE coppie di contrade nemiche, quale è la probabilità che ALMENO una coppia finisca accanto? una coppia accanto 20% + un’altra coppia accanto 20% conteremmo 2 volte una disposizione in cui entrambe le coppie di nemiche sono accanto 40% PERCENTUALE GIUSTA % due nemiche accanto % entrambe le coppie di nemiche sono accanto = % due nemiche accanto + - (FORMULA di GRASSMANN)

(2 ∙ 8! possibilità ) (1 + 2 + 1) ∙ 6! possibilità % due nemiche accanto % due nemiche accanto % entrambe le coppie di nemiche sono accanto PERCENTUALE GIUSTA = + - quante sono le disposizioni in cui entrambe le coppie di nemiche sono accanto? se le prime due nemiche finiscono in queste posizioni (2 ∙ 8! possibilità ) allora le altre due nemiche devono stare: (1 + 2 + 1) ∙ 6! possibilità accanto nelle prime tre posizioni è il ragionamento di prima, adattato al caso di tre o cinque posizioni al canape accanto nelle ultime cinque posizioni (1 + 2 + 2 + 2 + 1) ∙ 6! possibilità

% due nemiche accanto % due nemiche accanto % entrambe le coppie di nemiche sono accanto PERCENTUALE GIUSTA = + - il ragionamento va ripetuto per tutte le possibili disposizioni delle prime due nemiche ....... cioè per tutte le PARTIZIONI binarie di 8 (= 10 – 2): 8 = 0 + 8 = 1 + 7 = 2 + 6 = .... % entrambe le coppie di nemiche sono accanto 2 / 45 RISULTATO FINALE = quindi Se ci sono DUE coppie di contrade nemiche, quale è la probabilità che ALMENO una coppia finisca accanto? 35,55...%

ESEMPIO: e se ci sono TRE coppie di contrade nemiche, quale è la probabilità che ALMENO una coppia finisca accanto? stavolta arriveremo a dover considerare le partizioni TERNARIE di 6 ad esempio 6 = 2 + 1 + 3 .... YOUNG TABLEAUX eccetera ... IN GENERALE è difficile trovare una funzione F(n) che in base a quante coppie n di nemiche ci sono mi dà la probabilità che almeno due nemiche siano accanto al canape. funzione generatrice buon divertimento!

La probabilità non è più di 1/6 P R O B A B I L I T A’ Casi favorevoli ? Casi possibili Esce 1 Esce 2 Esce 3 Esce 3 La probabilità non è più di 1/6 Esce 4 Esce 5 Non esce 3 Esce 6 Truccato? Prendendo a caso una QUALUNQUE parola di 5 lettere DEL VOCABOLARIO, la probabilità di trovare due consonanti consecutive NON è certo il 59%!

Pensate che stiamo scherzando? Le password dei programmi non vanno mai, preferibilmente, cercate fra le parole di senso compiuto Usando le distorsioni causate da elementi linguistici, si possono “krakkare” i codici segreti Alan Turing Presso alcuni popoli e alcune culture, il rimescolamento combinatorico degli elementi è la via fondamentale per il raggiungimento della conoscenza mistica Presso tali popoli, lo studio della combinatorica fa parte del DNA ? culturale

DNA buona parte dell’analisi del DNA è di tipo combinatorico La catena del DNA rappresenta una sequenza di proteine di 4 tipi: A C G T Il codice del DNA è compreso solo parzialmente buona parte dell’analisi del DNA è di tipo combinatorico …ACATCGGACCTGACACGTAGTCAGTATCAGACTCCGAACT… Studiando le occorrenze non casuali, si possono ottenere informazioni su come sono codificate le informazioni per la costruzione degli esseri viventi

Università di LEIDA (NL) MASTER in BIOINFORMATICA A. del Lungo SPONSORS Fondazione Monte dei Paschi di Siena Wind Novartis Italia Siena Biotech SienaBioGrafix ProteoGenBio Centro Sviluppo Diesse Diagnostica Senese S.p.A. CORSO di LAUREA MAGISTRALE in BIOINFORMATICA congiunto Università di SIENA Università di LEIDA (NL)

Le città invisibili (1972) ... Il Kan cercava di immedesimarsi nel gioco, ma ora era il perchè del gioco a sfuggirgli. Quale era la posta? Allo scacco matto, sotto il piede del re sbalzato dal vincitore, non rimaneva che una casella vuota, un tassello di legno piallato: il nulla ... Allora Marco parlò – La tua scacchiera, Sire, è intarsio di due legni: ebano e acero. Il tassello sul quale si fissa il tuo sguardo illuminato fu tagliato su uno strato del tronco che crebbe in un anno di siccità: vedi infatti come sono strette le fibre? Ecco un poro più grosso, indice di una malattia della pianta, che forse portò al suo abbattimento ... – e continuava. Il Kan era stupito. La quantità di cose che si potevano leggere su un pezzetto di legno piallato lo sommergeva. E già Marco era venuto a parlare dei boschi di ebano, di zattere sui fiumi, e di approdi, e di donne alle finestre ...

S I E N A In quanti modi diversi si possono ordinare le lettere della parola SIENA, In modo che non vi siano due consonanti consecutive? S I E N A

S I E N A In quanti modi diversi si possono ordinare le lettere della parola SIENA, In modo che non vi siano due consonanti consecutive? Le possibili disposizioni sono ancora 120 Per avere due consonanti accanto: Ho 5 possibilità per la S. Ovunque metta la S, ho poi 2 possibilità per la N. Poi ho 3 · 2 · 1 possibilità per le vocali 60 possibilità su 120: il 50%! S I E N A

Naturalmente il pentagono non è l’unica altra disposizione eccetera GRAFO = Insieme di vertici collegati da alcuni spigoli spigoli vertici

Quanti sono i possibili grafi con n vertici? Ogni vertice può essere collegato con altri n-1 vertici Ogni spigolo collega due vertici I possibili spigoli sono n (n-1) / 2 n (n-1) / 2 I possibili grafi sono 2 Quando n = 5, ci sono al più 10 spigoli, e i grafi sono 210 = 1024 Grafo completo

Presi un grafo e una disposizione delle lettere della parola SIENA, quante probabilità ci sono che si abbiano due consonanti “vicine”? SIMMETRIA Dato un grafo G, è possibile formare il suo “antigrafo” G’ prendendo per G’ esattamente gli spigoli mancanti in G. antigrafo antigrafo

Le consonanti NON sono vicine nell’antigrafo G’ Presi un grafo e una disposizione delle lettere della parola SIENA, quante probabilità ci sono che si abbiano due consonanti “vicine”? SIMMETRIA Dato un grafo G, è possibile formare il suo “antigrafo” G’ prendendo per G’ esattamente gli spigoli mancanti in G. Fissata la disposizione delle lettere Le consonanti sono vicine in G Le consonanti NON sono vicine nell’antigrafo G’ Quindi la probabilità è esattamente il 50% NON NON La Matematica serve a fare i conti

GRAFI PLANARI Grafo non planare

GRAFI PLANARI E’ possibile, per ogni piantina geografica con 5 regioni, disporre le lettere della parola SIENA in modo che le consonanti non vadano su regioni confinanti? I S E Colorazione delle piante geografiche N A

TEOREMA dei QUATTRO COLORI Ogni piantina geografica del piano può essere colorata con 4 colori, evitando che due regioni confinanti abbiano lo stesso colore E’ possibile, per ogni piantina geografica con 5 regioni, disporre le lettere della parola SIENA in modo che le consonanti non vadano su regioni confinanti Siccome ci sono 5 regioni, due devono avere per forza lo stesso colore: basta mettere in queste due regioni la S e la N I S Il Teorema dei 4 colori non vale sul E A N Pianeta Ciambella buon divertimento ...

“ Se gratti S I E N A Che cosa salta fuori? “ Grazie per l’attenzione