Modelli Globali: il metodo di Radiosity Daniele Marini

Radiosity Bilancio radiativo in un ambiente chiuso (senza scambio di energia con l’esterno) Indipendente al punto di vista

Esempio

Come funziona Tutta la scena, un ambiente chiuso, viene rappresentata con delle patch Ciascuna patch ha un valore iniziale di energia luminosa, nullo per le patch che non corrispondono a sorgenti di luce In modo iterativo viene determinata quanta energia luminosa passa da una patch all’altra fino a che il sistema converge a valori stabili Notare che non c’è dipendenza dalla posizione dell’osservatore

Radiosity Basata su un bilancio energetico: l’energia che entra nel sistema chiuso deriva dalle superfici che agiscono come emettitori Le sorgenti di luce sono trattate come le altre superfici, tranne che per il fatto che hanno una radiosity iniziale non nulla

Radianza Esprime la radianza emessa in una direzione come integrale della radianza riflessa in tutte le direzioni L’integrale è esteso all’emisfera con centro nel punto L’equazione è un bilancio energetico tra energia incdente ed energia emessa

Radiosità Considera anche le superfici emissive (sorgenti di illuminazione) ed è applicata in modo ricorsivo: la radianza incidente proviene da altre superfici che a loro volta riflettono la luce incidente su di esse... L’integrale è esteso all’emisfera con centro nel punto L’equazione è un bilancio energetico tra energia incdente ed energia emessa

Radiosità Riscriviamo in forma differente: L’equazione è nell’applicazione ricorsiva

Equazione del rendering Termine che rappresenta le sorgenti di luce: L’equazione è nell’applicazione ricorsiva Radianza emessa in direzione p’ dal punto p

Equazione del rendering Contributo di S superfici: BRDF in p L’equazione è nell’applicazione ricorsiva

Equazione del rendering Fattore di visibilità: nullo se c’è occlusione, 1 altrimenti Descrive la relazione geometrica tra le superfici p' p’’ p p p' p’’ L’equazione è nell’applicazione ricorsiva

Radiosity Abbiamo definito l’uscita radiante (detta anche radiosity) [Watt/m2] come l’energia per unità di tempo che lascia una superficie (in tutte le direzioni)

Ipotesi principali superfici opache (che non trasmettono all'esterno l’energia incidente, per qualunque lunghezza d’onda e qualsiasi angolo d’incidenza), grigie (le caratteristiche radiative delle superfici sono indipendenti dalla lunghezza d’onda su tutto lo spettro), lambertiane (l’energia emessa e riflessa è uniforme in tutte le direzioni), la radiosità e l'emissività propria sono uniformi su ogni superficie, ogni superficie ha caratteristiche omogenee, che non variano da un punto all'altro il mezzo presente nella scena (atmosfera) è trasparente.

Superfici Lambertiane Albedo Per ogni angolo di incidenza la riflettanza emisferica di una superficie diffondente è uguale a  volte la riflettanza spettrale bidirezionale

Radiosity Con le ipotesi fatte scriviamo l’equazione del rendering in termini di radiosity

Radiosity Dovremmo calcolare la radiosity di ogni punto di ogni superficie della scena Troppo complesso! P’’ p Durand and Cutler

Forma discreta Supponiamo di suddividere gli oggetti nella scena in patch (facce) perfettamente diffusive (Lambertiane) Consideriamo n facce, ciascuna di radiosity Bi e di area Ai A i j

Radiosity Scriviamo il bilancio energetico in forma discreta Radiosity*area = energia emessa + energia riflessa

Equazione della radiosity Fij è il fattore di forma che indica la frazione di energia che lascia la faccia j ed incide sulla faccia i Reciprocità: Fij Ai = Fji Aj

Radiosity: i fattori di forma Il fattore di forma tra due patch rappresenta la frazione di energia che lasciando una patch i raggiunge l’altra j Dipende: - dalla presenza di ostacoli tra le patch - dalle dimensioni delle due patch - dal loro orientamento - dalla loro distanza - dalla loro forma

Fattori di forma Vanno determinati in base alla geometria

Equazione della radiosity L’equazione della radiosity deve essere risolta per tutte le facce Sistema di equazioni lineari con n incognite

Soluzione del sistema I termini Ei sono non nulli solo per le superfici che emettono luce e rappresentano l’input nel sistema Il sistema deve essere scritto per ciascuna lunghezza d’onda o canale cromatico (Ei e  dipendono da  Il sistema è di grande dimensione; viene risolto con metodi iterativi

Soluzione del sistema I fattori di forma vanno calcolati una sola volta La soluzione del sistema fornisce un solo valore per ciascuna faccia, devo poi applicare una interpolazione tipo Gouraud: Interpolazione delle normali ai vertici Interpolazione del colore ai vertici nella patch

Esempio Colore costante applicato a tutta la patch Le texture sono applicate dopo Colore costante applicato a tutta la patch Interpolazione Gouraud Alan Watt

Fattore di forma

Determinazione dei fattori di forma La determinazione del fattore di forma presuppone il calcolo di due integrali superficiali per ogni coppia di patch dell’ambiente La soluzione analitica può essere fatta solo per superfici elementari Nel caso di superfici generiche si utilizzano tecniche numeriche come quella dell’emicubo o dell’emisfera applicate sulla patch che, con un metodo di campionamento, determinano la frazione dell’emisfera o dell’emicubo su cui risulta proiettata l’altra patch

Calcolo fattore di forma: emisfera Analogia di Nusselt (1981): il form factor è dato dal rapporto tra l’area della superficie proiettata sulla base dell’emisfera di raggio unitario e l’area totale della base circolare dell’emisfera

Calcolo del fattore di forma: emisfera Posizionare un’emisfera di raggio unitario sulla superficie di area differenziale, Suddividere la base dell’emisfera in porzioni di area uguali e abbastanza piccole per ottenere una adeguata precisione, Calcolare la proiezione di ogni superficie della scena sull’emisfera, Calcolarne la proiezione ortogonale sulla base dell’emisfera, Valutare l’area occupata da ciascuna superficie, con un test di profondità per determinare la parte visibile di ogni superficie, Calcolare i fattori di forma come somma dei settori coperti da ciascuna superficie pesati con la rispettiva area, diviso l’area della base della semisfera.

Metodo emicubo approssima emisfera Il calcolo della visibilità sfrutta z-buffer! Ogni locazione sulle facce dell’emicubo può essere considerata come un pixel

Emicubo Delta form factor di ciascuno degli R pixel coperti dalla proiezione di Aj sulla superficie dell’emicubo; si calcolano una sola volta; la precisione dipende dalla discretizzazione dell’emicubo; es: pixel sulla faccia top

Pixel su faccia laterale

Emicubo: passi Calcolo dei delta form-factors di ogni cella dell’emicubo Inizializzazione dell’emicubo Proiezione di tutta la scena sull’emicubo Calcolo dei form factors in funzione dei delta form-factors

Form factor: tecnica di Malley È una tecnica di ray tracing Monte Carlo Rapporto tra numero dei colpi che hanno intersecato Aj e il numero totale dei colpi

Confronto ray tracing - radiosity Il ray tracing opera sul piano immagine, dipendente dalla posizione dell’osservatore La radiosity sullo spazio mondo: se geometria e sorgenti di luce non cambiano, il risultato si può utilizzare per ambienti navigabili Possiamo poi rendere l’ambiente illuminato come fosse un modello nella pipeline e considerare un osservatore in movimento

Radiosity Discretizzazione dell’ambiente Modifica alla geometria della scena 1.Calcolo dei fattori di forma Modifica alle informazioni dipendenti dalla lunghezza d’onda (colore e illuminazione) 2.Soluzione del sistema Cambio di vista 3.Rendering Immagine

Applicazione I fattori di forma sono calcolati una sola volta e possono poi essere usati per diverse riflettanze e sorgenti di luce La soluzione è indipendente dal punto di vista. Per ciascuna faccia viene definito un valore di radiosity. Da questi valori vengono calcolati i valori ai vertici e utilizzati in uno schema interpolante di rendering Il calcolo dei fattori di forma è la parte più consistente e dipende dal quadrato del numero di facce. La qualità dell’immagine dipende dal numero di facce.

Esempio E. Angel

Facce

Fasi del metodo Modellazione: attenzione ai T-vertici Attenzione alle fessure

Suddivisione adattativa

Suddivisione adattiva (gerarchica) delle patch Le patch possono essere suddivise in sotto-patch nelle zone di superfici dove ci sono grandi variazioni di radiosity Quando una patch i è suddivisa in m sotto-patch s, devono essere calcolati tutti gli m nuovi form-factor Fsj ma non rispetto a i. La radiosity di ogni sottopatch s della patch i è calcolata con: La somma pesata dei form-factor delle sotto-patch s deve inoltre essere uguale a quella della patch suddivisa i:

Meshatura gerarchica Importante per ridurre gli effetti di “light leak”

Meshatura gerarchica

Meshatura gerarchica

Radiosity: soluzione numerica del sistema La soluzione del sistema può essere fatta con metodi numerici iterativi: -Metodo di Jacobi -Metodo di Gauss-Seidel -Metodo di Southwell Vari test hanno mostrato che il metodo di Gauss-Seidel è quello che minimizza l’errore a parità di passi di calcolo

Metodo progressivo (shooting) Metodo dei raffinamenti progressivi (Cohen 1988) è una variante nella quale si procede iterativamente considerando prima le patch con maggior quantità di energia non ancora distribuita, per ottenere immagini rappresentabili già dopo un numero ridotto di passi di iterazione

Metodo progressivo (shooting) Il primo metodo di soluzione numerica del sistema di radiosity si basa sul seguente principio: nella soluzione ogni patch raccoglie (gather) i contributi di radiazione riflessa/emessa dalle altre patch dell’ambiente Il metodo progressivo invece spara (shoot) la radiosity dalle patch verso l’ambiente, iniziando dalle patch sorgenti di luce e procedendo poi con le altre. Ad ogni iterazione successiva viene calcolato il contributo dato da ogni patch Mi a tutte le altre patch Per ogni patch viene tenuto conto di quanta radiosity è stata distribuita e quanta deve ancora essere distribuita Mi . Mi di ogni patch aumenta ad ogni iterazione grazie ai nuovi contributi portati da altre patch

Shooting Mi = radiosity della patch i-esima non ancora distribuita. I valori di radiosity Mi e Mi sono inizializzati a zero per le superfici non emissive e posti uguali al valore di emissività MiE per le sorgenti di luce.

Altri effetti: mezzo partecipante

Modelli globali Metodo a due passi di Wallace 1987 I fase: con la radiosity si calcola la distribuzione della luce per interriflessioni diffuse II fase: con il ray tracing si calcolano aspetti di apparenza visiva come le riflessioni speculari, le trasparenze, il bump-mapping….. L’illuminamento diretto può essere calcolato nella I o II fase, ma non entrambe. Se è calcolato nella I le ombre sono diffuse, se è calcolato nella II le ombre sono nette (eccetto che per le sorgenti geometricamente estese) Altri metodi più avanzati: Bidirectional ray tracing, Ray tracing Monte Carlo, Photon mapping….