Curiosità su numeri naturali consecutivi come ottenere serie di quadrati, cubi, quarte potenze senza moltiplicazioni numeri figurati quadrati, triangolari, tetraedrici fattoriali tavola pitagorica

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1+ 3 1+ 3+ 5+ 7+9 1+ 3+ 5+ 7+ 9+ 11 1 1+ 3+ 5 1+ 3+ 5+ 7 1+ 3+ 5+ 7+ 9+ 11+ 13 16 25 36 49 4 9 1 4x4 5x5 6x6 7x7 2x2 3x3 1x1 Selezionare numeri consecutivi alternati Sommare numeri consecutivi alternati non selezionati:si ottiene la serie dei quadrati dei numeri consecutivi 2 3 4 5 6 7 1 4 9 16 25 36 49 Sommando numeri consecutivi alternati si ottiene la serie dei quadrati dei numeri in successione:Alfred Moessner

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 3 7 12 19 27 37 48 61 1+2+4=7 1+2+4+5+7=19 1+2+4+5+7+8+10=37 1+2=3 1+2+4+5=12 1+2+4+5+7+8=27 1+2+4+5+7+8+10+11=48 1+2+4+5+7+8+10+11+13=61 1 8 27 125 64 Selezionare numeri consecutivi modulo 3 Sommare come indicato numeri restanti ed evidenziare ultimo risultato per ogni blocco 1 1+7=8 1+7+19=27 1+7+19+37=64 Sommare numeri residui:si ottiene serie dei cubi 2 3 4 5 1 8 27 64 125 trattando numeri consecutivi modulo 3 si ottiene la serie dei cubi dei numeri in successione

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 17 1 3 6 11 24 33 43 54 67 4 15 32 65 108 175 1 81 256 1 16 1+15+65+175 1+15+65 1+15 1 1 1x1x1x1=1 2 3 4 1 16 81 256 16 2x2x2x2=16 81 3x3x3x3=81 256 4x4x4x4=256 trattando numeri consecutivi modulo 4 si ottiene la serie delle quarte potenze dei numeri in successione

Numeri figurati rappresentabili con immagini geometriche bi-tridimensionali esempi quadrati triangolari tetraedrici pentagonali

1-3-5-7-9-11-13-15-17-19-21 Numeri poligonali:quadrati raffigurabili come quadrati 1 1+3=4 1+3+5=9 1+3+5+7=16 1++3+5+7+9=25 Sommando interi dispari consecutivi si ottiene serie dei quadrati

1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-15-16-17-18-19-20 1+2=3 1+2+3=6 1+2+3+4=10 1+2+3+4+5=15 Numeri triangolari:somme di interi consecutivi raffigurabili come triangoli

Numeri triangolari n(n+1)/2 Formula di Gauss 1(1+1)/2=1 1 2+1=3 3+2+1=6 4+3+2+1=10 5+4+3+2+1=15 6+5+4+3+2+1=21 2(2+1)/2=3 3(3+1)/2=6 4(4+1)/2=10 5(5+1)/2=15 6(6+1)/2=21 1! = 1 2! = 1x2 = 2 3! = 1x2x3 = 6 4! = 1x2x3x4 = 24 5! = 1x2x3x4x5 = 120 6! = 1x2x3x4x5x6 = 720 7! = 1x2x3x4x5x6x7 = 5040 e numeri fattoriali ricavabili

Numeri triangolari Formula di Gauss n(n+1)/2

2+4=6 2+4+5=11 2+4+5+7=18 2+4+5+7+8+9=35 2+4+5+7+8+9+11=46 2+4+5+7+8+9+11+12=58 2+4+5+7+8+9+11+12+13=71 2+4+5+7+8+9+11+12+13+14=85 6+0=6 6+18=24 6+18+26=50 6+18+26+46=96 6+18+26+46+58=154 6+18+26+46+58+71=225 Risultati somma terza riga 24+0=24 24+96=120 24+96+154=274 Risultati somme seconda riga Risultati quarta riga 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 6 11 18 26 35 46 58 71 85 6 24 50 96 154 225 1!=1 2!=2 3!=6 4!=24 5!=120 24 120 274 120 Numeri fattoriali =1, 2, 6, 24, 120

Numeri quadrati o quadrati perfetti lungo la diagonale principale 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 14 16 18 15 21 24 27 20 28 32 36 25 30 35 40 45 42 48 54 49 56 63 64 72 81 50 60 70 80 90 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Tavola Pitagorica

Quadrati perfetti…. 12=1 22=4 32=9 42=16 52=25 62=36

1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-15-16-17-18-19-20 1+2=3 1+2+3=6 1+2+3+4=10 1+2+3+4+5=15 Numeri triangolari:somme di interi consecutivi raffigurabili come triangoli

Numeri triangolari e numeri tetraedrici (n(n+1)/2) = x n 1 2 3 4 5 6 x 1 3 6 10 15 21 Y 1 4 10 20 35 56 Y =( n(n+1)(n+2))/6

Numeri triangolari e numeri tetraedrici x 1 3 6 10 15 21 (n(n+1)/2) = x Y 1 4 10 20 35 56 Y =( n(n+1)(n+2))/6

Tavola Pitagorica e numeri tetraedrici 1 4 10 20 35 56 84 120 165 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 14 16 18 15 21 24 27 20 28 32 36 25 30 35 40 45 42 48 54 49 56 63 64 72 81 50 60 70 80 90 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Tavola Pitagorica e numeri tetraedrici

1 1 + 3 = 4 1 + 3 + 6 = 10 Numeri tetraedrici

Numeri triangolari: permettono costruzione immagine triangolare 1-3-6-10-15-21….. 1 3 6 10 21 15

Numeri triangolari 1,3,6,10,15,21 – primo,secondo,terzo,quarto,quinto,sesto, settimo. 1-2-3-4-5-6-7... 6 > 21 21 21 21+21 = 42 Il doppio di un numero triangolare = prodotto di due interi consecutivi 2*21 = 6*7

Triangolari consecutivi 3 – 6 ( secondo e terzo) 2 e 3 3+6 = 9 quadrato 6 La somma di due numeri triangolari consecutivi equivale a un quadrato Interi dispari consecutivi 1, 3 ,5 3 e 6 triangolari

Numeri quadrati: permettono immagini quadrangolari 1-4-9-16-25-36… 1 2>4 3 > 9 4 > 16 5 > 25

1-4-7-10-13-16-19.. Numeri poligonali pentagonali: raffigurabili come pentagoni 5-12-22-35.. 1 1+4=5 1+4+7=12

Numeri figurati poligonali

Naturali 1 , 2 , 3 .. Triangolari 1, 3, 6,10,15 Quadrati 1, 4, 9, 16 , 25 Pentagonali 1, 5, 12, 22, 35 Esagonali 1, 6, 15, 28, 45