Valutazione INValSI degli apprendimenti: Quadro di riferimento di matematica I e II ciclo Stefania Pozio Gruppo di lavoro SNV

Ancora sulle competenze Non è possibile promuovere competenze se non si promuovono contemporaneamente anche i saperi a queste correlati. Lo sviluppo di una competenza implica un esercizio graduale e sistematico all’interno di una buona pratica didattica. L’avanzare delle conoscenze deve accompagnarsi a una loro vera comprensione e a una loro progressiva valorizzazione per leggere e interpretare situazioni interne alla propria disciplina e esterne a essa, per quanto possibile, per passare poi a qualche forma di esercitazione o di produzione personale.

Primo principio: coinvolgimento Una competenza si sviluppa in un contesto nel quale lo studente è coinvolto, personalmente o collettivamente, nell’affrontare situazioni, nel portare a termine compiti, nel realizzare prodotti, nel risolvere problemi, che implicano l’attivazione e il coordinamento operativo di quanto sa, sa fare, sa essere o sa collaborare con gli altri.

Secondo principio: apprendimento significativo La progettazione di un’attività formativa diretta allo sviluppo di competenze deve tener conto della necessità che le conoscenze fondamentali da questa implicate siano acquisite in maniera significativa, cioè comprese, organizzate e ricordate in modo adeguato, che le abilità richieste siano disponibili a un livello confacente di correttezza e di consapevolezza di quando e come utilizzarle, che si sostenga il desiderio di sviluppare conoscenze e abilità nell’affrontare compiti e attività che ne esigono l’attivazione e l’integrazione.

Secondo principio: apprendimento significativo Per questo è necessaria l’individuazione chiara dei saperi fondamentali da promuovere e delle conoscenze e abilità fondamentali che le varie competenze implicano, tenendo conto del livello di profondità e padronanza da raggiungere. Su questa base andrebbe fatto un bilancio iniziale delle conoscenze, delle abilità già acquisite ed evidenziate da parte dello studente (o, eventualmente, delle competenze da lui già raggiunte). Dal confronto tra questi due riferimenti è possibile elaborare un progetto formativo coerente. Ciò è particolarmente importante nel caso delle competenze riferibili allo scrivere, al leggere e alla matematica, competenze che condizionano non poco lo sviluppo di qualsiasi altra competenza..

Terzo principio: consapevolezza Implica l’uso di metodi che coinvolgono l’attività degli studenti nell’affrontare questioni e problemi di natura applicativa (alla propria vita, alle altre discipline, alla vita sociale e lavorativa), sia nell’introdurre i nuclei fondamentali delle conoscenze e abilità, sia nel progressivo padroneggiarli. Un ambiente di lavoro nel quale si realizzano individualmente o collettivamente prodotti che richiedono un utilizzo intelligente di quanto studiato, o sollecitano un suo approfondimento, è la chiave di volta metodologica. Ad esempio: ricerca di applicazioni di concetti e principi matematici, scientifici e/o tecnici a casi di vita quotidiana.

Quarto principio: approccio laboratoriale L’ambiente nel quale si svolgono le lezioni dovrebbe assumere sempre più le caratteristiche di un laboratorio, soprattutto mentale, nel quale si opera individualmente o in gruppo al fine di acquisire e controllare la qualità delle conoscenze e delle abilità progressivamente affrontate, mentre se ne verifica la spendibilità nell’affrontare esercizi e problemi via via più impegnativi sotto la guida dei docenti.

Quarto principio: approccio laboratoriale In particolare, una didattica per progetti risulterà del tutto proficua. Lavorare per progetti, infatti, consente di cogliere lo scopo di molti apprendimenti anche di tipo ripetitivo, come quelli connessi con lo sviluppo di alcune abilità strumentali. L’impostazione di un lavoro collettivo al fine di conseguire il risultato o prodotto finale del progetto permette anche di far pratica di attività di natura progettuale, gestionale e collaborativa.

Valutare le competenze In un processo valutativo un conto è la raccolta di elementi informativi, di dati, relativi alle manifestazioni di competenza, un altro conto è la loro lettura e interpretazione al fine di elaborare un giudizio comprensivo.

Valutare le competenze La raccolta di informazioni: occorre che queste siano pertinenti (cioè si riferiscano effettivamente a ciò che si deve valutare) e affidabili (cioè degne di fiducia, in quanto non distorte o mal raccolte). La loro lettura, interpretazione e valutazione esigono che preventivamente siano stati definiti i criteri in base ai quali ciò viene fatto, deve cioè essere indicato a che cosa si presta attenzione e si attribuisce valore e seguire effettivamente e validamente in tale apprezzamento i criteri determinati.

Valutare le competenze L’elaborazione di un giudizio che tenga conto dell’insieme delle manifestazioni di competenza, anche da un punto di vista evolutivo, non può basarsi su calcoli di tipo statistico, alla ricerca di medie: assume invece il carattere di un accertamento di presenza e di livello, che deve essere sostenuto da elementi di prova (le informazioni raccolte) e da consenso (da parte di altri).

Valutare le competenze Le fonti informative sulla base delle quali esprimere un giudizio di competenza, possono essere classificate secondo tre grandi ambiti specifici: i risultati ottenuti nello svolgimento di un compito o nella realizzazione del prodotto; quello relativo a come lo studente è giunto a conseguire tali risultati; quello relativo alla percezione che lo studente ha del suo lavoro.

Risultati ottenuti Il primo ambito riguarda i compiti che devono essere svolti dallo studente e/o i prodotti che questi deve realizzare. Essi devono esigere la messa in moto non solo delle conoscenze delle abilità possedute, ma anche una loro valorizzazione in contesti e ambiti di riferimento moderatamente diversi da quelli ormai già resi famigliari dalla pratica didattica.

Osservare lo studente Una osservazione sistematica del comportamento dello studente mentre svolge il compito; ciò comporta una previa definizione delle categorie osservative, cioè di quegli aspetti specifici che caratterizzano una prestazione e sui quali concentrare l'attenzione per poter decidere se una certa competenza sia stata raggiunta o meno.

Percezione dello studente Qualche forma di narrazione di sé da parte dello studente, sia come descrizione del come e perché ha svolto il compito assegnato in quella maniera, sia come valutazione del risultato ottenuto. Ciò coinvolge una capacità di raccontare, giustificandole, le scelte operative fatte; di descrivere la successione delle operazioni compiute per portare a termine il compito assegnato, evidenziando, eventualmente, gli errori più frequenti e i possibili miglioramenti; di indicare la qualità non solo del prodotto, risultato del suo intervento, ma anche del processo produttivo adottato.

Esiti delle rilevazioni La struttura del Quadro di Riferimento Quadro di riferimento per la valutazione Quadri di riferimento per le valutazioni internazionali Quadro di riferimento per i curricoli Prassi scolastica Esiti delle rilevazioni precedenti 16 16

PISA: dal 2003 al 2012 “La Mathematical Literacy la capacità di un individuo di individuare e comprendere il ruolo che la matematica gioca nel mondo reale, di operare valutazioni fondate e di utilizzare la matematica e confrontarsi con essa in modi che rispondono alle esigenze della vita di quell’individuo in quanto cittadino impegnato, che riflette e che esercita un ruolo costruttivo .” La literacy matematica è «la capacità di un individuo di utilizzare e interpretare la matematica, di darne rappresentazione mediante formule, in una varietà di contesti. Tale competenza comprende la capacità di ragionare in modo matematico e di utilizzare concetti, procedure, dati e strumenti di carattere matematico per descrivere, spiegare e prevedere fenomeni. Aiuta gli individui a riconoscere il ruolo che la matematica gioca nel mondo, a operare valutazioni e a prendere decisioni fondate che consentano loro di essere cittadini impegnati, riflessivi e con un ruolo costruttivo» .

8 competenze tipiche (Niss et al., 1999) RIPRODUZIONE (quesiti abbastanza familiari; esecuzione di procedure di routine, applicazione di algoritmi standard) CONNESSIONI (problemi che non sono di routine, ma comunque sempre ambiti familiari o semi-familiari;saper fare collegamenti tra diverse rappresentazioni di una determinata situazione,collegare diversi aspetti di una situazione problematica al fine di sviluppare una soluzione) RIFLESSIONE (pianificare strategie di soluzione e applicarle affrontando ambiti problematici più complessi, riflessione sui processi richiesti o utilizzati per risolvere un problema) Una persona che affronta con successo il processo di matematizzazione nell’ambito di una molteplicità di situazioni e contesti, extra e intra-matematici, e di diverse idee chiave, deve possedere un certo numero di competenze matematiche che, nel loro insieme, possono essere considerate come costitutive della competenza matematica. Ciascuna di queste competenze può essere posseduta a diversi livelli di padronanza. 8 competenze tipiche (Niss et al., 1999) Pensiero e ragionamento Argomentazione Comunicazione Modellizzazione Formulazione e risoluzione di problemi Rappresentazione Uso del linguaggio simbolico, formale e tecnico delle operazioni Uso di strumenti e sussidi

PISA 2012 Problema in contesto Problema matematico Risultati Formulare un modello Problema in contesto Problema matematico Validare i risultati Utilizzare la matematica Risultati contestualizzati Risultati matematici Interpretare i risultati Nel PISA 2012, per la prima volta, i risultati degli studenti saranno riportati in funzione dei 3 processi 19 19

Dare una rappresentazione di una situazione utilizzando la Matematica (formulate) Capacità di un individuo di riconoscere e identificare opportunità per utilizzare la matematica e così fornire una struttura matematica a un problema presentato in un contesto reale.

Impiegare concetti, fatti, procedure e ragionamenti matematici (employ) Capacità di un individuo di applicare concetti, fatti,procedure e ragionamenti per risolvere problemi matematici al fine di ottenere conclusioni matematiche.

Domanda 1: ANDATURA Se la formula si applica all’andatura di Enrico ed Enrico fa 70 passi al minuto, qual è la lunghezza del passo di Enrico? Scrivi qui sotto i passaggi che fai per arrivare alla risposta. Domanda 2: ANDATURA Bernardo sa che la lunghezza del suo passo è di 0,80 metri. La formula viene applicata all’andatura di Bernardo.   Calcola la velocità a cui cammina Bernardo esprimendola in metri al minuto e in chilometri all’ora. Scrivi qui sotto i passaggi che fai per arrivare alla risposta.

Interpretare, applicare e valutare risultati matematici (interpret) Capacità di un individuo di riflettere su soluzioni, risultati e conclusioni matematiche e interpretarle alla luce del contesto dei problemi di vita reale. Questo comprende anche il saper tradurre le soluzioni o i ragionamenti ritornando al contesto del problema e determinare se i risultati hanno senso in quel determinato contesto. RIFIUTI Nell’ambito di una ricerca sull’ambiente, gli studenti hanno raccolto informazioni sui tempi di decomposizione di diversi tipi di rifiuti che la gente butta via: Tipo di rifiuto Tempo di decomposizione Buccia di banana 1–3 anni Buccia d’arancia Scatole di cartone 0,5 anni Gomma da masticare 20–25 anni Giornali Pochi giorni Bicchieri di plastica Oltre 100 anni Uno studente prevede di presentare i risultati con un diagramma a colonne. Scrivi un motivo per cui un diagramma a colonne non è adatto per rappresentare questi dati.

AMBITI PROCESSI CONTENUTI COMPITI STRUTTURA del Quadro di Riferimento AMBITI PROCESSI CONTENUTI COMPITI 27 27

Matematica: gli ambiti 28 28

PROCESSI COGNITIVI Conoscere e padroneggiare contenuti specifici della matematica (oggetti matematici, proprietà, strutture ...) Conoscere e padroneggiare algoritmi e procedure (in ambito aritmetico, geometrico ...) Saper risolvere problemi utilizzando gli strumenti della matematica (individuare e collegare informazioni utili, confrontare strategie di risoluzione, individuare schemi, esporre il procedimento risolutivo, ...) 4. Conoscere e utilizzare diverse forme di rappresentazione e saper passare da una all'altra (verbale, scritta, simbolica, grafica, tabellare, ...) 29 29

PROCESSI COGNITIVI Riconoscere in contesto il carattere misurabile di oggetti e fenomeni e saper utilizzare strumenti (stimare una misura, individuare l’unità di misura appropriata, …) 6. Utilizzare la matematica appresa per il trattamento quantitativo dell'informazione in ambito scientifico, tecnologico, economico e sociale (descrivere un fenomeno in termini quantitativi, interpretare una descrizione di un fenomeno con strumenti statistici o funzioni, costruire un modello ...) Acquisire progressivamente forme tipiche del pensiero matematico (congetturare, verificare, giustificare, definire, generalizzare, …) 8. Saper riconoscere le forme nello spazio (riconoscere forme in diverse rappresentazioni, individuare relazioni tra forme, immagini o rappresentazioni visive, visualizzare oggetti tridimensionali a partire da una rappresentazione bidimensionale e, viceversa, rappresentare sul piano una figura solida, saper cogliere le proprietà degli oggetti e le loro relative posizioni, …). 30 30

CONTENUTI 31 31

CONTENUTI 32 32

A partire dalla V primaria CONTENUTI A partire dalla V primaria 33 33

CONTENUTI La Misura trasversale ai diversi ambiti 34 34

(esempi per Spazio e Figure) COMPITI (esempi per Spazio e Figure) Conoscere e applicare la disuguaglianza triangolare Riconoscere figure equiscomponibili Calcolare e confrontare aree di poligoni Calcolare aree utilizzando l’equiscomponibilità Saper misurare l’area di figure irregolari attraverso griglie o scomposizioni Conoscere le proprietà delle figure piane e solide Riconoscere le relazioni fra le forme a tre dimensioni e la loro rappresentazione bi-dimensionale Calcolare area e volumi delle figure geometriche più semplici (triangolo, quadrato, cubo,..) Riconoscere relazioni fra forme e oggetti nello spazio e la loro rappresentazione bi-dimensionale Individuare punti e figure nel piano cartesiano Riconoscere traslazioni e rotazioni in oggetti e figure Individuare gli assi di simmetria di una figura Tassellare un poligono con figure date Calcolare il perimetro di figure piane note Confrontare perimetri di figure piane note Stimare il perimetro e l’area di figure irregolari Riconoscere grandezze proporzionali e figure simili 35 35

TIPI DI DOMANDE: a risposta chiusa SNV 2011 Liv. 6 A scelta multipla SNV 2011 Liv. 8 A scelta multipla complessa 36 36

TIPI DI DOMANDE: a risposta aperta A risposta aperta univoca SNV 2011 Liv. 2 A risposta aperta articolata SNV 2011 Liv. 6 37 37

n.8: Saper riconoscere forme nello spazio Ambito: Spazio e figure Processo: n.8: Saper riconoscere forme nello spazio Ambito: Spazio e figure Compito: Saper scomporre figure equivalenti Contenuto: Equivalenza tra figure piane Tipo di domanda: A risposta univoca

Il “peso” dei quesiti aperti nelle prove 39 39

Quesiti a risposta aperta univoca In genere si preparano quando risulta difficile trovare distrattori credibili o significativi di errori tipici. In alcuni casi va al pre-test sia la versione a scelta multipla sia quella a risposta aperta per analizzare i comportamenti degli studenti e quindi decidere alla luce dei risultati. 40 40

Esempi dell’evoluzione di un quesito al pre-test SNV 2011 Liv. 6   A7. Se al numero 4,3699 si aggiunge 1 millesimo si ottiene A 4,3700 . B 4,3709 C 4,3799 D 4,3609   B6. Aggiungendo 1 millesimo a 4,3699, quale numero si ottiene? Risposta: …………………………………… RISPOSTE CORRETTE: 27% Si è scelto la versione B perchè nella versione a scelta multipla i distrattori C e D non hanno funzionato e il distrattore A era troppo forte RISPOSTE CORRETTE: 29% 41 41

Quesiti a risposta aperta articolata Tre modalità 1.Mostra i calcoli che hai fatto per arrivare alla risposta 2.Scrivi come hai fatto per trovare la risposta 3.Giustifica la tua risposta 42 42

1.Mostra i calcoli che hai fatto per arrivare alla risposta SNV 2011 Liv. 2 D3a 42 D3b 36+6=42 SNV 2011 Liv. 10 Risposte corrette D23a 47% D23b 35% (40% omissioni) Risposte corrette D3a 67,7% D3b 58,4% 43 43

2.Scrivi come hai fatto per trovare la risposta B Risposte corrette D8a 66,5% (10%omis.) D8b 33% (25%omis.) SNV 2011 Liv. 8 44 44

La griglia di correzione: un’operazione complessa Calcoli oppure descrizione verbale 45 45

3.Giustifica la tua risposta Risposte corrette D20a 68% om.4% D20b 49% om. 23% SNV 2011 Liv. 10 46 46

Le omissioni: un confronto Liv. risposta multipla risposta aperta 2010 Media 2011 Liv. 2 4,5% 1,92% 10,05% 6,46% Liv. 5 2% 0,87% 6,78% 4,21% Liv. 6 3,05% 1,72% 11,94% 7,41% Liv. 8 1,95% 1,99% 18,85% 8,78% Liv. 10 / 4,95% 21,37% 47 47

Alcune osservazioni In generale nei quesiti a risposta aperta la percentuale di mancata risposta è più alta rispetto alle domande a scelta multipla. Per il primo ciclo la percentuale rimane dentro un limite fisiologico (ampiamente sotto il 10%) e in diminuzione rispetto al 2010, mentre è piuttosto alta la percentuale di omissioni della secondaria di II grado (~ 20% con 7 quesiti su 17 con oltre iI 25% di risposte omesse). Un dato positivo è rappresentato dalla diminuzione della percentuale di omissioni nelle domande a risposta aperta articolata rispetto allo scorso anno: 4 quesiti su 6 registravano una percentuale di omissioni superiore al 20%, quest’anno solo 2 quesiti su 8 hanno una percentuale intorno al 20% di omissioni. 48 48

Quesiti con scelta di una affermazione o di una motivazione E’ una tipologia di quesiti a risposta multipla di non facile costruzione perché è necessario trovare motivazioni o affermazioni plausibili Sono quesiti abbastanza caratteristici delle nostre prove (SNV e PN), nel senso che non ve ne sono di simili né nel PISA né nel TIMSS Possono essere molto interessanti da un punto di vista didattico e “propedeutici” a quei quesiti che richiedono una spiegazione o una giustificazione Inoltre i risultati sono, in genere, nella media 49 49

SNV 2011 Liv. 6 SPAZIO E FIGURE Si chiede allo studente di rispondere tenendo conto della giustificazione fornita Omissioni A B C D 1,5 14,7 15,3 43,1 25,4 50 50

QUESITI IN CONTINUITA’ PN 2011 Liv. 8 NUMERI Omiss VERO FALSO D2a 1,2 80,2 18,6 D2b 1,7 62,1 36,2 D2c 1,8 20,1 78,1 D2d 2,6 55,1 42,3 Si chiede allo studente di valutare la validità di una affermazione sulle proprietà dei numeri naturali. 51 51

SNV 2011 Liv. 10 RELAZIONI E FUNZIONI Si chiede allo studente di valutare tre affermazioni o interpretando il risultato di una trasformazione algebrica o ragionando sulla retta dei numeri Omissioni A B C D 2,1 14,6 8,4 68 6,9 52 52

53 53

La conoscenza concettuale della matematica è frutto di interiorizzazione dell’esperienza e di riflessione critica, o è frutto di addestramento “meccanico” o di apprendimento mnemonico?? Cosa si vuole valutare Le conoscenze che la scuola, ai diversi livelli, stimola e trasmette, sono ben ancorate ad un insieme di concetti fondamentali di base e di conoscenze stabili, almeno sui livelli essenziali? Gli aspetti algoritmici applicativi ed esecutivi, che pure costituiscono una componente irrinunciabile della disciplina matematica, non dovrebbero essere considerati fine a se stessi.

Cosa valutano le prove INVALSI Non devono limitarsi a valutare l'apprendimento della matematica utile, ma devono cercare di far riferimento alla matematica come strumento di pensiero e alla matematica come disciplina con un proprio specifico statuto epistemologico. Devono valutare conoscenze e abilità matematiche acquisite dagli studenti in entrata e in uscita del ciclo d’istruzione

il quadro di riferimento le griglie di correzione Per avere chiaro cosa valutano e come lo valutano (e cosa non possono valutare), ci sono due strumenti a disposizione: Nel complesso delle prove: il quadro di riferimento Per i singoli quesiti dei diversi fascicoli: le griglie di correzione e le note di commento http://www.invalsi.it/esamidistato1011/ http://www.invalsi.it/snv1011/index.php?action=strumenti 56 56

I MEDIA

Conoscere e padroneggiare diverse forme di rappresentazione e saper passare dall’una all’altra Si tratta di una competenza fondamentale in matematica, ma non solo. Nella vita di tutti i giorni, ma non solo, è diventato cruciale saper mettere in atto questo processo cognitivo ad esempio per leggere un giornale o per capire messaggi espressi in forme diverse. 58

RISULTATI 4 % mancata risposta 85% risposta errata 11% punteggio pieno SNV -INVALSI 2011 – I media Numeri

III MEDIA

RISULTATI 1,4 % mancata risposta 46% risposta corretta PN -INVALSI 2011 Numeri

II SUPERIORE

RISULTATI 12 % mancata risposta 38 % risposta corretta SNV -INVALSI 2011 Numeri

Acquisire progressivamente forme tipiche del pensiero matematico: congetturare, verificare, giustificare, definire, generalizzare Si tratta di una competenza che va costruita fin dai primi anni di scuola e comprende tutte quelle attività legate alla esplicitazione dei procedimenti seguiti, alla formulazione di ipotesi, alla produzione di congetture, al riferimento alla matematica nella sua funzione culturale. Pochissimi gli esempi e ancora troppo esigua la prassi didattica 64

Acquisire progressivamente forme tipiche del pensiero matematico: congetturare, verificare, giustificare, definire, generalizzare SNV -INVALSI 2011 Spazio e Figure

Acquisire progressivamente forme tipiche del pensiero matematico: congetturare, verificare, giustificare, definire, generalizzare PN -INVALSI 2011 Numeri

SNV -INVALSI 2011 Numeri

Gli strumenti di rilevazione descritti Possono avere un impatto positivo sull’insegnamento della matematica ( vedi Prova Nazionale) se aprono discussioni, riflessioni sulle pratiche didattiche; Possono avere un impatto deleterio se inducono i docenti a insegnare per rispondere ai test ( teaching to test) Se, e solo se, i quesiti saranno ben fatti, coerenti con le indicazioni e le prassi scolastiche e VARI si possono evitare i rischi di INSEGNARE PER RISPONDERE AI TEST

GRAZIE!