Ottimizzazione delle emissioni di Titoli di Stato Davide Vergni Istituto per le applicazioni del Calcolo “Mauro Picone” Consiglio Nazionale delle Ricerche Viale del Policlinico, 137 – Roma – Italy

Collaborazione CNR – Ministero dell’Economia Massimiliano Adamo Anna Lisa Amadori Massimo Bernaschi Maya Briani Davide Guerri Marco Papi Benedetto Piccoli Davide Vergni Paola Fabbri Davide Iacovoni Francesco Natale Stefano Scalera Lucia Spilotro Antonella Valletta Istituto Applicazioni del Calcolo:

Che cos’è il Debito Pubblico Deficit pubblico Disavanzo pubblico Fabbisogno complessivo del settore pubblico L'indebitamento maturato dallo Stato in un determinato periodo, di solito l'anno Debito Pubblico: il totale dei deficit annuali accumulati da uno Stato nel corso della sua storia. Indebitamento: Avanzo (o Disavanzo) Primario: definito dalla differenza tra il totale delle entrate e delle uscite della Pubblica amministrazione Interessi sul Debito pregresso: spesa per gli interessi passivi corrisposti sul debito pregresso

Importanza della gestione del debito Il Protocollo per i disavanzi eccessivi del Patto di Stabilità e Crescita è quel protocollo del Trattato di Maastricht che impone ai paesi membri che partecipano alla Unione monetaria di sottostare ai seguenti vincoli: Il trattato di Maastricht definisce le condizioni per l'adozione della moneta unica. Il Trattato venne firmato il 7 febbraio 1992 nella cittadina olandese da cui ha preso il nome. Vincolo Deficit / Pil: il Deficit pubblico deve essere inferiore al 3% del Pil. Vincolo Debito / Pil: il Debito pubblico deve essere inferiore al 60% del Pil. Superare questi valori implica l’incorrere in una forte multa

Importanza della gestione del debito 1409 miliardi di Euro: Debito Pubblico: Record del Settembre miliardi di Euro: Deficit pubblico: stimato per il miliardi di Euro: Emissione annua stimata per il Deficit/ PIL 2.4%2.9% Debito/ PIL 106.2%105.9% Con queste cifre di Debito, l’utilizzo di una strategia di ottimizzazione che permetta un risparmio percentuale anche minimo, porta ad cospicuo risparmio sul Deficit. Valori per i vincoli del patto di Stabilità Un risparmio dello 0.5% sull’emissione annua porta ad un risparmio di 2 miliardi di euro

Gestione del Debito DEFICIT: Avanzo (o Disavanzo) Primario: differenza tra le entrate (e.g., tasse) e le uscite, sia fisse (e.g., stipendi) che straordinarie (infrastrutture, investimenti). È principalmente influenzato da scelte politiche : politica pensionistica, politica fiscale, grandi opere… Interessi sul Debito pregresso: spesa per gli interessi passivi corrisposti sul debito pregresso. Effettivamente è questo il costo del debito, che dipende dalla sua composizione. Le strategie di ottimizzazione possono agire: o sull’avanzo primario o sul costo del Debito

In massima parte il Debito pubblico viene finanziato con la vendita dei Titoli di Stato (circa l’84% del totale del debito). Il Ministero dell’Economia e delle Finanze dispone regolarmente l’emissione sul mercato interno di quattro categorie di titoli di Stato disponibili sia per gli investitori privati sia per gli investitori istituzionali: BOT, CTZ, BTP, CCT. La Repubblica italiana emette inoltre altri strumenti, in euro ed in valuta estera, generalmente sottoscritti da investitori istituzionali. Composizione del Debito Pubblico Il meccanismo di vendita di tutti i titoli è quello di un’asta competitiva sul prezzo.

Titoli di Stato Il Tesoro Italiano emette attualmente varie categorie di titoli che si differenziano per durata e remunerazione. La remunerazione avviene sempre per scarto di emissione e per alcuni titoli viene pagata una cedola semestrale che può essere a tasso fisso o a tasso variabile. BOT  Buoni Ordinari del Tesoro: Titoli senza cedola con scadenza 3, 6, e 12 mesi CTZ  Certificati del Tesoro Zero coupon: Titoli senza cedola con scadenza a 2 anni BTP  Buoni del Tesoro Poliennali: Titoli con cedola a tasso fisso pagata ogni 6 mesi con scadenze 3, 5, 10, 15 e 30 anni CCT  Certificati di Credito del Tesoro: Titoli con cedola a tasso variabile (rendimento BOT 6 + spread) pagata ogni 6 mesi con durata 7 anni BTP €i  BTP indicizzato all’inflazione Europea: è un BTP a tutti gli effetti però con capitale totale rivalutato in base all’indice di inflazione

Tassi di interesse Sono la misura in termini percentuali della somma (interessi) che lo stato deve pagare in un anno, per avere a disposizione la quantità di denaro avuta in prestito con la vendita del titolo. La determinazione di un modello per i prezzi dei titoli di Stato è basato sul concetto di Struttura per Scadenza dei Prezzi – Struttura a Termine. Tale struttura descrive la relazione tra le durate dei titoli e il loro rendimento alla scadenza. [prezzo di emissione, cedola]Tasso di interesse annuo Generalmente, più il prestito si protrae nel tempo più il tasso di interesse sarà alto. In questo caso la struttura a termine viene detta normale.

Tassi di interesse: Struttura a Termine Si passa dagli interessi relativamente modesti che vengono pagati per i BOT (attualmente il BOT a 3 mesi paga circa il 2% annuo di interessi) agli interessi abbastanza alti dei BTP (il BTP a 30 anni paga circa il 5.5% annuo di interessi).

Tassi di interesse: Evoluzione

Gestione del Debito Per fare un esempio, lo stesso debito pubblico può essere coperto utilizzando o solo BOT o solo BTP, ma queste scelte diverse corrispondono a interessi da pagare (che entrano nel Deficit) molto diversi: bassi per quello che riguarda i BOT, alti per quanto riguarda i BTP. La controparte è che un Debito composto solo da BOT ha una vita media molto bassa (e quindi soffre molto delle fluttuazioni dei tassi di interesse) mentre nel caso dei BTP il Debito ha una vita media lunga e diventa quindi più semplice effettuare delle coperture rispetto a fluttuazioni del mercato. Nella gestione del debito possiamo agire solo sulla composizione del portafoglio titoli. La Gestione del Debito può essere formalizzata come un problema di ottimizzazione vincolata. Fissata una data finestra temporale (tipicamente 5 anni) qual’è la composizione delle future emissioni che ottimizza il debito rispettando i vincoli istituzionali e di mercato?

Collaborazione IAC-Tesoro Soluzione di un problema reale: collaborazione con il Ministero dell’Economia, Dipartimento del Tesoro, Direzione II, Ufficio II: “Analisi dei problemi inerenti alla gestione del debito pubblico interno ed al funzionamento dei mercati”. Sincronizzazione del linguaggio : Costruzione di una base comune di discussione. Sviluppi di Ricerca : Costruire una linea di ricerca teorico-generale che astragga dai termini più applicati del problema. Individuazione di una politica di indebitamento ottimale

Formulazione Matematica Sia K l’insieme di tutti i titoli in emissione (K = 1..10) k = 1 corrisponde al BOT a 3 mesi, k = 2 corrisponde al BOT a 6 mesi, ……… k = 10 corrisponde al CCT a 7 anni Definiamo E sia T l’orizzonte temporale di ottimizzazione (t = 1..T). Flusso di cassa del singolo titolo

Conto Disponibilità Il flusso complessivo di denaro per la gestione del Debito Pubblico e per i servizi di tesoreria del ministero dell’Economia circola in un conto corrente della Banca d’Italia detto “Conto Disponibilità”. Ad ogni istante è necessario che le entrate dovute alle nuove emissioni coprano tutti i ripagamenti e le cedole dei titoli in essere e l’avanzo primario (A(s)): equazione di rifinanziamento del debito. Useremo l’equazione di evoluzione del conto disponibilità per scrivere la dinamica del Debito Pubblico: Sul Conto Disponibilità sono presenti rigidi vincoli istituzionali (servizi di tesoreria dello Stato)

Ottimizzazione Supponendo note le componenti stocastiche del problema (i tassi di interesse e l’avanzo primario), variando la composizione del portafoglio titoli possiamo trovare la politica ottimale di indebitamento. INGREDIENTI Variabili di Controllo Vincoli Funzione Costo ?? Fondamentale: è possibile esprimere i vincoli e la funzione costo come funzioni lineari delle variabili di controllo? Quante sono le variabili di controllo? Se consideriamo un portafoglio di 10 titoli per un periodo di 5 anni, otteniamo 600 variabili.

Vincoli La strategia di emissione dei Titoli di Stato deve tener conto dei seguenti vincoli, alcuni istituzionali, altri di prassi di mercato Vincolo Patto di Stabilità e Crescita (Istituzionale - Comunità Europea) Vincolo sull’emissione netta annuale (Istituzionale – DPEF) Vincolo sul Conto Disponibilità (Istituzionale) Vincolo di Rifinanziamento (Bilancio) Vincoli specifici sulla composizione del portafoglio (Mercato): Vincolo percentuale di variazione Vincolo assoluto di variazione Vincolo sul tempo di vita media del debito Tutti questi vincoli sono esprimibili come funzioni lineari nei controlli (in modo esatto o in modo approssimato)

Funzione Costo La scelta di una appropriata funzione costo e’ un tema delicato. L’emettitore può scegliere di supportare una data politica monetaria, oppure cercare di minimizzare certi costi o rischi. Il problema è tuttora molto dibattuto e lungi dall’essere risolto. Sicuramente uno degli scopi di una gestione ottimale del debito è il contenimento dei costi per interessi pagati a seguito delle emissioni (costo del debito). La funzione ESA95 misura, su un fissato orizzonte temporale, il costo per interessi dell’intero portafoglio titoli supponendo che, per ciascun titolo, i costi vengano distribuiti sull’intero periodo di vita. Una funzione obiettivo particolarmente rilevante per la gestione del Debito è la spesa per interessi calcolata secondo il criterio ESA95 (European System of Accounts 1995).

ESA 95 Per un dato periodo temporale [t 1, t 2 ], l’ESA 95 si calcola sommando tutte le quote di cedole e di scarti di emissione che hanno un periodo di godimento sovrapponibile all’intervallo dato. Per quote intendiamo il rapporto tra i giorni di vita della cedola o del titolo nel periodo in esame diviso i giorni complessivi di vita della cedola o del titolo. Anche in questo caso la funzione ottimo è esprimibile con una funzioni lineare nei controlli

Programmazione Lineare È possibile formulare il problema della gestione ottimale dei titoli di stato in modo lineare nelle variabili di controllo (le quantità in emissione) I problemi lineari sono a bassa complessità computazione (di solito polinomiale nella taglia dell’input) Esistono algoritmi che risolvono problemi di PL in tempi molto rapidi: l’algoritmo del simplesso è tra questi. L'insieme di tutti i controlli che soddisfano i vincoli è detto simplesso. È uno spazio compatto e convesso. Poiché la funzione costo è lineare i suoi estremi si trovano sempre sul bordo del simplesso. L'algoritmo del simplesso permette di trovare quel punto dello spazio dei controlli che, oltre a verificare tutti i vincoli, è anche il minimo della funzione costo.

Simplesso

Metodo del Simplesso 1.Si convertono tutte le diseguaglianze in equazioni aggiungendo le variabili di scarto (slack variables), una per ogni equazione. 2.Si sceglie una soluzione ammissibile di base e si calcola il corrispondente valore della funzione obiettivo. 3.Con un procedimento iterativo si passa ad una nuova soluzione ammissibile di base in modo che la funzione obiettivo abbia un valore maggiore, finché non si ottengono più miglioramenti. (G.B. Dantzig, 1947)

Struttura dell’Ottimizzatore

Componenti Stocastiche dr t = μ(r t, t)+ σ (r t,t) dB t Due sono le principali sorgenti di indeterminazione Avanzo primario: legato a politiche economiche e sostanzialmente stagionale. Evoluzione dei tassi di interesse: modellizzazione basata su equazioni differenziali stocastiche: Un modello per il tasso di interesse a breve corrisponde ad una specifica forma funzionale di μ(r t, t), σ (r t,t)

Ottimizzazione Multiscenario Come scegliere il portafoglio da usare per le emissioni a partire dai vari portafogli ottimi? Scelta Fissa: si decide di scegliere un unico portafoglio u i da utilizzare per tutte le emissioni del periodo di ottimizzazione in base alle sue caratteristiche di costo e di rischio.

Scelta fissa: Distribuzione dei Costi Si calcola il costo di ogni portafoglio ottimo rispetto a tutti gli scenari generati. Ovviamente è necessario fare degli aggiustamenti al portafoglio affinché soddisfi tutti i vincoli anche rispetto ad uno scenario dei tassi differente. Indichiamo con: gli N scenari dei tassi, il portafoglio ottimo per lo scenario i il portafoglio i adattato per lo scenario j il costo del portafoglio i sullo scenario j

Analisi Costo-Rischio A partire da questa distribuzione di probabilità, che indichiamo con è possibile costruire delle misure di costo e di rischio per ogni portafoglio. Come misure di costo possiamo scegliere il valore ottimo dell’ESA, il valore medio, o il valore massimo… Come misure di rischio possiamo scegliere la deviazione standard della distribuzione, il suo valore massimo, oppure usare dei misuratori di rischio un po’ più evoluti: VaR: Un Value at Risk modificato ES: Expected Shortfall

Analisi Costo-Rischio definiamo il VaR di un portafoglio come quel valore dell'ESA che con una certa probabilità, p, non sarà superato alla fine del periodo, tenendo fisso il portafoglio al variare dei tassi. VaR: ES: definiamo ES come il valore atteso della spesa in eccesso qualora venga superata una soglia prefissata di rischio (ad esempio il VaR) Note: Per calcolare il VaR è necessario fissare una probabilità di rischio, una finestra temporale ed una distribuzione di probabilità. Per calcolare l’ES è necessario prima fissare una misura di rischio. L’ES, in qualche senso, è anche un indicatore della robustezza di quella misura di rischio.

Grafici Costo-Rischio Costo = Esa Ottimo, Rischio = Dev. dell’ESA Costo = Esa Medio, Rischio = VaR al 90% Qual è il miglior grafico Costo-Rischio? Come si sceglie il portafoglio ottimo?

Scelta fissa: portafoglio da utilizzare Il problema centrale, quando si hanno molti portafogli, è come scegliere quello che effettivamente si utilizzerà per l’emissione. Il metodo che proponiamo di utilizzare è quello di fissare una misura di rischio (per esempio il VaR) e quindi scegliere come portafoglio ``di emissione'' quello che ha il minimo VaR: In questo modo è garantito (statisticamente rispetto agli scenari estratti) che il portafoglio scelto ha il VaR della spesa per interessi più basso; ed in più, è sicuramente ottimo per almeno uno scenario Analogamente, un'altra possibilità è scegliere quel portafoglio che ha il minimo Expected Shortfall rispetto alla misura di rischio scelta:

Scelta iterata Alla scelta fissa contrapponiamo la scelta iterata Struttura a termine al tempo i. Previsione al tempo i della struttura a termine del tempo t (t > i). Composizione del portafoglio titoli effettivamente emesso al tempo i. Composizione del portafoglio al tempo t emesso al tempo i (t > i). Ad ogni tempo i supponiamo nota la struttura a termine. A partire da questa costruiamo l'intero scenario di evoluzione dei tassi fino al tempo T (orizzonte temporale della simulazione): con i < t T. Da questo scenario dei tassi otteniamo il portafoglio che minimizza l’ESA95 nel periodo i t T:. Di tutte le emissioni si usa effettivamente solo quella relativa al tempo attuale, e si pone

Scelta iterata: schema Inoltre, con una strategia iterata ci aspettiamo un errore più basso tra l’emissione effettuata e il minimo assoluto rispetto allo scenario dei tassi realizzato. La strategia iterata è certamente molto più realistica e ragionevole della strategia fissa in quanto si adatta automaticamente alla evoluzione degli scenari dei tassi.

Confronto scelta fissa - scelta iterata Come osservabile della bontà della scelta del portafoglio usiamo la differenza tra il minimo assoluto dell’ESA95 e quello realizzato con il portafoglio scelto: fissa iterata ERR

Stato del progetto Il prototipo software è stato completamente sviluppato ed è attualmente funzionante ed utilizzato dal personale del Ministero. È implementata la strategia fissa nella scelta del portafoglio con la relativa analisi costo rischio Tutte le funzioni di calcolo sono state validate su dati reali. Sono impiegati due generatori di scenari. Uno basato su processi di Langevin, l’altro sull’analisi per componenti principali. La sperimentazione è in corso presso il Ministero dell’Economia.

Problemi aperti Dicotomia strategia fissa - strategia iterata: Il problema riguarda la politica dichiarata dall’emettitore nei documenti di programmazione. Analisi Costo-Rischio strategia iterata. Miglioramenti sul modello per l’evoluzione dei tassi ed introduzione di nuovi generatori. Ottimizzazione lineare stocastica. Inclusione dei titoli in valuta e di quelli legati all’inflazione. Costruzione di un modello interagente per le componenti stocastiche che segua l’andamento macroeconomico. Ottimizzazione non lineare. Utilizzo di tecniche tipiche di controllo ingegneristico.