Facciamoci Problemi I.C. Pascoli Riolo T.me – 25/02/2016 Andrea Maffia Università di Modena e Reggio Emilia

Riferimenti Per i più pigri:

Che cos’è un problema?

Problema Esercizio

1 + 3 x 2

La nonna va al supermercato e compra 4 mele gialle e 5 mele rosse. Quante mele ha comprato in tutto?

Quanto misura il perimetro del rettangolo ABCD? A D BC 10 m 3 m

Il tasto “5” della calcolatrice di Clara non funziona più. Come può fare a calcolare 5421x12?

6 Completa

Un problema… …nasce quando un essere vivente, motivato a raggiungere una meta, non può farlo in forma automatica o meccanica, cioè mediante un'attività istintiva o attraverso un comportamento appreso. L'esistenza di una motivazione e la presenza, nella situazione problematica, di un impedimento che non permette l'azione diretta creano uno stato di squilibrio e di tensione nel campo cognitivo di un individuo spingendolo ad agire per ricostruire l'equilibrio. [Kanisza 1973]

Un problema… …nasce quando un essere vivente, motivato a raggiungere una meta, non può farlo in forma automatica o meccanica, cioè mediante un'attività istintiva o attraverso un comportamento appreso. L'esistenza di una motivazione e la presenza, nella situazione problematica, di un impedimento che non permette l'azione diretta creano uno stato di squilibrio e di tensione nel campo cognitivo di un individuo spingendolo ad agire per ricostruire l'equilibrio. [Kanisza 1973]

Si ha un esercizio quando la risoluzione prevede che si debbano utilizzare regole e procedure già apprese, anche se ancora in corso di consolidamento. Sono prove a scopo di verifica immediata o di rafforzamento. Si ha un problema quando una o più regole o una o più procedure non sono ancora nel bagaglio cognitivo del risolutore; alcune di esse potrebbero proprio essere suggerite dalla successione delle operazioni risolventi ma richiedono un atto creativo da parte del risolutore.

ProblemaEsercizio nell'insegnamento - strumento di acquisizione di conoscenza - oggetto di insegnamento - strumento per consolidare conoscenze e abilità - strumento per verificare conoscenze e abilità privilegia- processi- prodotti l'insegnante - sceglie i problemi - segue i processi - sceglie gli esercizi - corregge e valuta i prodotti il soggetto ha un ruolo - produttivo- esecutivo

Invenzione vs Automatismi La memorizzazione delle tabelline, e più in generale di fatti aritmetici, permette la costruzione da parte del bambino di una complessa rete di relazioni che rende disponibile, al momento opportuno, una serie di informazioni, alcune di tipo strutturale, altre legate alla rappresentazione. Ed è proprio questa rete di informazioni che interviene in modo determinante quando il soggetto si trova davanti ad un problema, cioè ad una situazione per cui non ha a disposizione un algoritmo risolutivo. Zan R. (1998), Tabelline sì o no?, Notiziario Unione Matematica Italiana, giugno 1998, pp.17-23

1 + 3 x 2 2^ primaria

La nonna va al supermercato e compra 4 mele gialle e 5 mele rosse. Quante mele ha comprato in tutto? 5^ primaria

Quanto misura il perimetro del rettangolo ABCD? A D BC 10 m 3 m P = 2 x ( b + h )

Il tasto “5” della calcolatrice di Clara non funziona più. Come può fare a calcolare 5421x12? CLARA

6 Completa sapendo che la somma dei numeri in ogni riga o colonna deve essere 15

Polya (1945) Comprendere il problema Ideare un piano per trovare la soluzione Eseguire il piano Verificare e valutare il procedimento e controllare il risultato

Polya (1945) Comprendere il problema Ideare un piano per trovare la soluzione Eseguire il piano Verificare e valutare il procedimento e controllare il risultato Maestra Individuare dati e parole chiave Collegare l’operazione Eseguire l’operazione Scrivere la risposta

= 21

ADDIZIONE In tutto In totale Complessivamente Somma SOTTRAZIONE Restano Rimangono Differenza In più – In meno MOLTIPLICAZIONE Ognuno Ciascuno Ogni In tutto – In totale DIVISIONE Suddividere - Spartire Disporre Ognuno Ciascuno

Luca ha un album da 100 figurine. Finora ne ha attaccate 35. Quante figurine mancano a Luca? Sara e Filippo sono partiti da scuola e hanno imboccato la stessa strada. Sara è a 300m dalla scuola, Filippo è a 500m dalla scuola. Che distanza c’è fra i due? SOTTRAZIONE Restano Rimangono Differenza In più – In meno

Nella sala del cinema ci sono 20 file da 10 posti. Quanti persone possono sedersi nella sala? Maria ha confezionato un sacchetto con 5 caramelle. Vuole confezionare altri 10 pacchetti uguali. Quante caramelle le servono? MOLTIPLICAZIONE Ognuno Ciascuno Ogni In tutto – In totale

Franca ha disposto i piatti sulla tavola: dieci da un lato e cinque dall’altro. Quanti piatti ha disposto? Sara suddivide i suoi risparmi: quaranta euro li dà alla madre e 20 euro li tiene per sé. Di quanto disponeva Sara? DIVISIONE Suddividere - Spartire Disporre Ognuno Ciascuno

Cambiamo punto di vista… PAROLE CHIAVE DIDATTICA PER SITUAZIONI

Gerard Vergnaud (1983-oggi) In matematica si hanno Campi Concettuali - Situazioni - Rappresentazioni - Operatori(- Controlli) Esempio: - Campo additivo - Campo moltiplicativo

Campo additivo - 1 John aveva 8 caramelle. Ne ha mangiate 3, quante caramelle ha ora? 8? -3

Campo additivo - 2 Jane ha appena ricevuto da sua nonna 3 dollari. Ora ha 8 dollari, quanti ne aveva prima? ?8 +3

Campo additivo - 3 Robert aveva 8 palline prima di giocare con Ruth. Adesso ne ha 3. Cosa è successo durante il gioco? 83 ?

Campo additivo - 4 Ci sono 8 bambini intorno ad un tavolo. 3 di loro sono femmine. Quanti sono i maschi? 8 3 ?

Campo additivo - 5 Susan ha 3 dollari. Betty ne ha 8. Quanti dollari in meno ha Susan? Quanti in più ne ha Betty? 8 3 ?

Campo additivo - 6 Fred ha giocato due partite a palline. Nella prima ha perso tre palline, complessivamente ne ha perse 8. Cos’è successo nella seconda partita? ?-3 -8

? -3

+8 ? +3

-8+3 ?

Dalla Cina: Problemi con variazione (Bartolini Bussi, 2009)Bartolini Bussi, 2009

Campo moltiplicativo- 1 Richard compra quattro dolci ognuno dei quali costa 15 centesimi. Quanto deve pagare? ? CaramelleCentesimi x?x? x?x?

Campo moltiplicativo- 2 Una fattoria di 45ha produce 3000kg di mais per ettero. Quanto produce in tutto? ? Ettarikg di mais x?x? x?x?

Campo moltiplicativo- 3 3 ragazzi e 2 ragazze stanno ballando. Quante diverse coppie possono formare? Ragazzi Ragazze COPPIE

Moltiplicazione come schieramento

Proprietà distributiva

Posti liberi: Maschi: ? 10 9 Gianna 2 Luisa Femmine:

La matematica è… Aritmetica Geometria Probabilità Algebra Trigonometria Crittografia Topologia Analisi differenziale Analisi numerica Modellistica

La matematica è… …la scienza che studia i problemi

Si immaginino due gruppi di studenti a cui viene insegnata musica come se fosse una materia da far con carta e penna. Viene loro mostrato il pentagramma con quel segno riccioluto all’inizio; viene spiegato che i segni sulle linee si chiamano Mi, Sol, Si, Re, Fa mentre quelli fra linee sono detti Fa, La, Do, Mi. Imparano che una linea con un ovale bianco è chiamata minima e che corrisponde a due con l’ovale annerito, dette seminimime o a quattro con l’ovale annerito e una coda dette crome e così via – delle tabelline musicali se si vuole. Per un gruppo di bambini, l’apprendimento sarà questo e nient’altro. Se hanno una lezione di musica al giorno, cinque giorni per ogni settimana e viene detto loro che questa cosa è importante, probabilmente nel tempo impareranno a scrivere i segni necessari per semplici melodie […] Lo troveranno noioso e le regole da memorizzare saranno così numerose che problemi del tipo “scrivi un semplice accompagnamento per questa melodia” saranno troppo difficili per la maggior parte di loro. […]

All’altro gruppo invece viene richiesto di associare alcuni suoni a questi segni sulla carta. Per i primi anni si tratta di suoni orecchiabili, che possono produrre da soli con semplici strumenti. Col passare del tempo potranno immaginare quei suoni ogniqualvolta ne vedranno o scriveranno il simbolo sulla carta. […] Viene coinvolta molta meno memoria e ciò che deve essere ricordato è soprattutto nella forma di interi (come melodie) che le loro [dei bambini] memorie riescono a conservare più facilmente. Esercizi come quelli menzionati prima (“Scrivi un semplice accompagnamento”) saranno a portata dei più. (Skemp, 1987, p. 157)

Tiriamo le somme Perché è importante proporre problemi? -Caratterizzano l’attività matematica -Concedono allo studente uno spazio creativo -Permettono di lavorare su un ampio spettro di conoscenze e abilità -Aiutano a trasferire le conoscenze apprese a situazioni (più o meno) reali

Ma sui libri…

Va bene per tutti? Sembra che ci siano degli studenti che sono fatti per risolvere problemi, altri invece sembrano proprio negati. Ipotesi 1: saper risolvere problemi è una questione di genetica, ci vuole il pallino per la matematica Ipotesi 2: …

Va bene per tutti? Quando si affrontano veri problemi, alle volte i bambini bravi vanno male mentre alcuni di quelli meno bravi invece ci riescono Non è una cosa ingiusta?

Aspetti affettivi e motivazionali

Quando riesco a risolvere un problema difficile che magari quasi tutta la classe non ha saputo risolvere io mi sento molto felice, gioiosa, soddisfatta e, a dir la verità, anche un po', ma poco, orgogliosa di me. Alessandra Un problema difficile che ho saputo risolvere è successo quando ero in quinta elementare. Ero preoccupata, eccitata e pensierosa, ci pensavo, cercavo di capire. […] capii che se penso riesco a fare le cose giuste. Valentina Quando riesco a risolvere un problema difficile che magari quasi tutta la classe non ha saputo risolvere io mi sento molto felice, gioiosa, soddisfatta e, a dir la verità, anche un po', ma poco, orgogliosa di me. Alessandra Un problema difficile che ho saputo risolvere è successo quando ero in quinta elementare. Ero preoccupata, eccitata e pensierosa, ci pensavo, cercavo di capire. […] capii che se penso riesco a fare le cose giuste. Valentina

Come fare con BES, DSA, ecc. Ricordiamoci: un problema non è necessariamente un testo seguito da operazioni Quindi: immagini, disegni, suoni, racconti… possono essere tutti modi per iniziare a lavorare su un problema. Su un problema si lavora con la mente, con le mani, con il corpo

La prossima volta parliamo di… Problemi aperti

Grazie!