Logica di base e Conversione analogico-digitale Lezione 3 / Prima parte Gaetano Arena e.mail: 1

Algebra di Boole  Algebra di boole a due valori: algebra di commutazione  Operazioni logiche  Espressioni logiche  Assiomi e proprietà dell’algebra di commutazione 2 2

L’algebra di Boole (inventata da G. Boole, britannico, seconda metà ’800), o algebra della logica, si basa su operazioni logiche Le operazioni logiche sono applicabili a operandi logici, cioè a operandi in grado di assumere solo i valori vero e falso Si può rappresentare vero con il bit 1 e falso con il bit 0 (convenzione di logica positiva) 3

Algebra Booleana B è un sistema algebrico identificato dalla sestupla (B,+,*,’,0,1) dove: B è l'insieme su cui vengono definite le operazioni (supporto) +,*,’ sono le operazioni binarie OR e AND e l’operazione NOT 0,1 sono elementi speciali di B. 0 è l’elemento neutro rispetto a + 1 è l’elemento neutro rispetto a * Assiomi 4

“ Tra tutte le algebre booleane, l'algebra booleana a due valori è la più utile. Essa è la base matematica della analisi e progetto di circuiti di commutazione che realizzano i sistemi digitali.” [Lee, S.C., Digital Circuit And Logic Design. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 1976] - 5

Operatori logici binari (con 2 operandi logici) Operatore OR, o somma logica Operatore AND, o prodotto logico Operatore logico unario (con 1 operando) Operatore NOT, o negazione, o inversione Poiché gli operandi logici ammettono due soli valori, si può definire compiutamente ogni operatore logico tramite una tabella di associazione operandi-risultato 6

Le variabili dell’algebra booleana a due valori possono assumere solo i due valori 0 e 1 precisamente, se x indica una variabile, è x = 0 se e solo se x ≠ 1 x = 1 se e solo se x ≠ 0 Algebra Booleana a due valori: ({0,1},+,*,’,0,1) dove + (OR) e * (AND) sono definiti come * Mentre l’operazione a un solo elemento (unary operation) detta complementazione o negazione (NOT) è definita come ‘ Nota: il simbolo associato al NOT è spesso indicato come ’ (esempio x’), !(esempio !x) o sopra segnando la variabile. 7

A B A or B (somma logica) A B A and B (prodotto logico A not A (negazione) Operatori logici di base e loro tabelle di verità Le tabelle elencano tutte le possibili combinazioni in ingresso e il risultato associato a ciascuna combinazione ORANDNOT Algebra Booleana a due valori: ({0,1},+,*,’,0,1) dove + (OR) e * (AND) sono definiti come Mentre l’operazione a un solo elemento (unary operation) detta complementazione o negazione (NOT) è sempre ad un solo ingresso ABAB A A A 8

Operatori logici di base e loro tabelle di verità NOR NAND Esempio circuitale : A and B or not C ABCABC D and 0 = 0 not 0 = 1 0 or 1 = and 0 = 0 not 1 = 0 0 or 0 = and 1 = 0 not 0 = 1 0 or 1 = and 1 = 0 not 1 = 0 0 or 0 = and 0 = 0 not 0 = 1 0 or 1 = and 0 = 0 not 1 = 0 0 or 0 = and 1 = 1 not 0 = 1 1 or 1 = and 1 = 1 not 1 = 0 1 or 0 = 1 A B C D 9

Operatori logici di base e loro tabella di verità ABAB Esempio circuitale A or B and not A C A ABAC 10

DIGITALIZZAZIONE DEI SEGNALI Conversione analogico-digitale e campionamento ARGOMENTI DELLA LEZIONE: 1) Conversione analogico/digitale 2) Campionamento dei segnali 3) Acquisizione asincrona 4) Acquisizione sincrona 11

PROBLEMA: I segnali provenienti dai trasduttori sono CONTINUI NEL TEMPO e possono assumere tutti i valori fra un limite inferiore (VMIN) e uno superiore (VMAX). Si hanno quindi ∞ valori del segnale fra 0 e T, ciascuno teoricamente caratterizzato da ∞ cifre. 12

DOPPIA DISCRETIZZAZIONE: La necessità di elaborare il segnale in forma digitale porta a limitare il numero delle informazioni e quindi a ‘misurare’ le grandezze solo a valori discreti del tempo, attribuendo loro un certo numero - discreto - di valori, variabili fra un massimo e un minimo. I segnali acquisiti diventano quindi serie di valori corrispondenti agli istanti per cui si è effettuato il campionamento 13

DOPPIA DISCRETIZZAZIONE: 14

ANALOGICO / DIGITALE Segnale Analogico: dato noto e/o disponibile all’utente con continuità nel tempo: può assumere un numero infinito di valori in qualunque Δt (piccolo a piacere). Segnale Digitale: dato noto e/o disponibile all’utente in forma discreta nel dominio del tempo (può essere rappresentato con una sequenza di numeri). 15

ANALOGICO / DIGITALE 1) DISCRETIZZAZIONE LUNGO L’ASSE DELLE ORDINATE: CONVERSIONE ANALOGICO/DIGITALE Il segnale osservato ha un valore di tensione reale (infiniti decimali). Lo voglio rappresentare con un numero per farne delle elaborazioni (es. 3 decimali). Discretizzazione lungo l’asse delle ordinate 16

CONVERTITORI: Sono l’interfaccia tra analogico e digitale 1) convertitori analogico-digitale (A/D o ADC) 2) convertitori digitale-analogico (D/A o DAC) 17

PRINCIPALI VANTAGGI DEI SISTEMI DIGITALI: 1) elevata insensibilità ai disturbi del segnale campionato 2) bassa incertezza con costi relativamente contenuti 3) ripetibilità e riproducibilità 4) compatibilità intrinseca coi sistemi di calcolo 5) facilità di manipolazione, trasmissione, registrazione, riproduzione 6) versatilità 7) velocità 18

DUE FASI DELLA CONVERSIONE A/D: Scelto l’intervallo di valori da convertire, evidentemente in relazione al segnale che devo digitalizzare (±10V, ±5V, ±1V…): 1)quantizzazione: esso viene suddiviso in un insieme di stati discreti (no. Osservazioni nell’unità di tempo) 2)codifica: si assegna una parola digitale (stringa di caratteri) ad ogni stato discreto secondo un codice opportuno (approssimo il valore con nc cifre) 19

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RISOLUZIONE Risoluzione: minima variazione della grandezza di ingresso apprezzabile dal “quantizzatore” Corrisponde al valore del bit meno significativo e viene detta LSB=“least significant bit” Fs lsb = 21

Risoluzione e LSB La risoluzione migliora al crescere di b. Esempio con FS=10 V : b=3 bit LSB=1.25 V b=8 bit LSB= 39 mV b=12 bit LSB= 2.44mV 22

ES: CONVERSIONE A 2 BIT 4 Stati diversi: Vmin, V1, V2, V3=(V1+Vmin)/2 23

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Sistema Binario 26