Analisi matematica Introduzione ai limiti Prof. Rocco Caruso

Introduzione ai limiti Abbiamo già visto in maniera intuitiva la funzione dei limiti; più avanti daremo definizioni più rigorose. In questa fase ci occupiamo delle regole per il calcolo dei limiti, concentrandoci in particolare sui limiti di funzioni razionali intere e fratte.

Introduzione ai limiti Intuitivamente, calcolare (limite per x che tende a c di f(x)) significa chiedersi: “a che valore si avvicina la funzione f(x) quando la x si avvicina a c?” (ricordare che quando si parla di “valore della funzione” ci si riferisce alla y) È abbastanza facile comprendere che di solito per calcolare un limite come quello sopra basta calcolare il valore della funzione in c, ossia calcolare f(c).

Introduzione al calcolo dei limiti Esempio: Considerando la funzione abbiamo:

Introduzione al calcolo dei limiti Guardiamo cosa accade graficamente considerando il precedente esempio: Nota: x  -1+ sta per “x che tende a -1 da destra”, ossia per valori maggiori di -1; analogamente, x  -1- sta per “x che tende a -1 da sinistra”

Introduzione al calcolo dei limiti Provare a calcolare i seguenti limiti:

Introduzione al calcolo dei limiti Viene spontanea a questo punto una domanda: a cosa servono i limiti se basta calcolare il valore della funzione in un dato punto? In realtà, non è sempre così semplice calcolare i limiti, e anzi sono proprio i casi non banali quelli più importanti e utili per lo studio di una funzione. Consideriamo ad esempio: (qual è la difficoltà nel calcolare questo limite?)

Algebra dei limiti: divisione per 0 Cominciamo quindi a studiare i casi non banali, introducendo l'algebra dei limiti. La prima cosa da fare è sempre quella di sostituire nella funzione la x con il valore a cui essa tende. Iniziamo col considerare il caso già visto: che succede se, dopo la sostituzione, otteniamo un numero fratto 0? Il risultato in questo caso è . Per comprendere il motivo, proviamo a pensare di dividere un numero, ad esempio 3, per 1, poi per 0.1, poi per 0.001, ecc. Il risultato è un numero sempre più grande, per cui si comprende che, al limite, si ottiene un valore infinito.

Algebra dei limiti: divisione per 0 Esempio: È importante considerare cosa accade con i limiti destro e sinistro (cioè con x che tende al valore considerato da destra o da sinistra); in questo caso, compare un segno vicino al simbolo di infinito, come vediamo nei prossimi esempi.

Algebra dei limiti: divisione per 0 Esempio: In questo caso, x si avvicina a 1 da destra, ossia per valori maggiori di 1 (per fissare le idee, si potrebbe pensare a valori come 1.001 o 1.0000001), per cui al numeratore abbiamo certamente un numero positivo (vicino a 4), mentre al denominatore un numero che, pur avvicinandosi a 0, è positivo: abbiamo infatti un numero un po' più grande di 1 elevato al cubo (e resta maggiore di 1) meno 1, il che da un numero maggiore di 0; poiché il rapporto tra due numeri positivi è positivo, il segno di  è +

Algebra dei limiti: divisione per 0 Esempi: Notare che non c'è nessuna relazione tra il segno – che indica il limite sinistro e il segno + del risultato.

Algebra dei limiti: divisione per 0 Quando al denominatore c'è un polinomio di grado superiore al primo e il risultato del limite è infinito, occorre scomporre il polinomio per individuare il segno. Esempi: Nota: -1- è “un po' meno di -1”

Algebra dei limiti: divisione per 0 Esercizi proposti: Attenzione al segno!

Algebra dei limiti: operazioni con  Passiamo a considerare i casi in cui occorre operare con l'infinito. Un caso molto frequente è quando x tende a +, - o  (che, ricordiamo, comprende entrambi i casi precedenti). Si parte, ancora una volta, sostituendo a x il valore a cui tende. Vediamo una serie di regole abbastanza intuitive.

Algebra dei limiti: operazioni con  Un numero finito (diverso da 0) moltiplicato per  dà come risultato  (valgono le normali regole per il segno) La somma tra due infiniti concordi dà infinito con lo stesso segno Il prodotto di due infiniti dà infinito (valgono le normali regole per il segno)  diviso per un numero finito da ancora  (valgono le normali regole per il segno) Un numero finito diviso per  dà 0 (infatti, dividendo un numero finito per un numero grandissimo si ottiene un valore molto vicino a 0; è come dividere una torta in cento, mille, un milione di parti: il risultato è adatto a chi sta a dieta...)

Algebra dei limiti: operazioni con  Esempi: Notare il segno

Algebra dei limiti: operazioni con  Esercizi proposti:

Regole dell'algebra dei limiti Riassumiamo le regole viste; se a è un numero reale finito abbiamo: Notare la “simmetria”, valida anche per l'algebra tradizionale:

Algebra dei limiti: forme indeterminate I più attenti avranno notato che alcuni casi sono stati (volutamente...) tralasciati. Ad esempio, che succede quando dobbiamo calcolare la seguente espressione? Sappiamo che (+ - un numero finito) dà +, ma anche che (- + un numero finito) da -. Quale regola dovrebbe valere in questo caso?

Algebra dei limiti: forme indeterminate La risposta alla domanda precedente è: non si sa! Per capire perché, occorre ricordare che non stiamo parlando di numeri, ma di quantità che tendono a infinito. Il problema è allora quanto velocemente le due quantità tendano a infinito. Proviamo a spiegare questo con un esempio.

Algebra dei limiti: forme indeterminate Consideriamo questa domanda: “Quanti granelli di sabbia ci sono nella spiaggia di Termoli?” L'unica risposta (non volgare) possibile è: +; chiamiamo xT questo numero. Altra domanda: “Quanti granelli di sabbia ci sono nelle spiagge italiane?” La risposta è uguale alla precedente; chiamiamo xI questo numero. Abbiamo allora:

Algebra dei limiti: forme indeterminate Dunque, la stessa operazione ha dato tre risultati diversi; dovrebbe essere chiaro quindi che il problema sta nel fatto che noi indichiamo con lo stesso simbolo di infinito delle quantità che tendono a infinito con diversa velocità o, come vedremo più avanti, che rappresentano diversi ordini di infinito. Passiamo ad una spiegazione più “matematica”.

Algebra dei limiti: forme indeterminate Consideriamo le due seguenti funzioni: il limite per x  + è in entrambi i casi +; tuttavia, esaminando i relativi grafici (la prima funzione è la bisettrice del I e III quadrante, la seconda è una parabola), vediamo che la differenza (indicata in rosso) tra f2 e f1 cresce sempre di più per x  +.

Algebra dei limiti: forme indeterminate L'esempio visto dimostra che: e fa vedere chiaramente come x2 tende a + più velocemente di x (come si poteva facilmente intuire). Dunque, quando nel calcolo di un limite compare una forma indeterminata (ne vedremo alcune di seguito), il calcolo del limite può essere fatto solo mediante opportuni metodi che hanno lo scopo di eliminare la forma indeterminata.

Algebra dei limiti: prime forme indeterminate Oltre a +-, le forme indeterminate che possono presentarsi nelle funzioni razionali intere e fratte sono le seguenti: Infatti, 0 diviso un numero dà 0, ma un numero diviso 0 dà infinito; dunque: se il numeratore tende a 0 “più velocemente” del denominatore il risultato è 0; se è più veloce il denominatore si ottiene infinito; se hanno la stessa velocità il risultato è un numero finito diverso da 0.

Algebra dei limiti: prime forme indeterminate Infatti, infinito diviso un numero dà infinito, ma un numero diviso infinito dà 0; dunque: se il numeratore tende a infinito “più velocemente” del denominatore il risultato è infinito; se è più veloce il denominatore si ottiene 0; se hanno la stessa velocità il risultato è un numero finito diverso da 0.

Algebra dei limiti: prime forme indeterminate Infatti, 0 per un numero dà 0, ma un numero per infinito dà infinito; dunque: se il primo termine tende a 0 “più velocemente” di quanto il secondo tenda a infinito il risultato è 0; se è più veloce il secondo termine si ottiene infinito; se hanno la stessa velocità il risultato è un numero finito diverso da 0.

Algebra dei limiti: prime forme indeterminate Notare che le seguenti NON sono forme indeterminate:

Algebra dei limiti: forma indeterminata +- Cominciamo a vedere come calcolare la forma indeterminata +- nel caso di una funzione razionale intera. Consideriamo il seguente limite: Si vede subito che si ottiene la forma indeterminata +-; per risolverla in questo caso (polinomio) ci sono due metodi

Algebra dei limiti: forma indeterminata +- Primo metodo (“lento”): si mette in evidenza il termine di grado maggiore: poi si semplificano le frazioni: e a questo punto è scomparsa la forma indeterminata:

Algebra dei limiti: forma indeterminata +- Secondo metodo (“veloce”): basta considerare l'infinito di ordine superiore, ossia il termine che va più velocemente a infinito, corrispondente a quello di grado maggiore; gli altri termini sono trascurabili: per convincersi di questo, provare a sostituire alla x il valore 100; da qui si può dedurre cosa accade se x assume valori molto elevati (solo il primo termine è quello che “conta”).

Algebra dei limiti: forma indeterminata / Passiamo ora alla forma indeterminata: Consideriamo il seguente limite: Oltre a / abbiamo anche la forma indeterminata +-; per risolverle entrambe utilizziamo i metodi già visti

Algebra dei limiti: forma indeterminata / o, più velocemente: Notare che il numeratore e il denominatore sono dello stesso ordine e il risultato è un numero finito diverso da 0.

Algebra dei limiti: forma indeterminata / Quando il numeratore e il denominatore hanno diverso ordine, il risultato è infinito se il numeratore ha ordine maggiore, 0 se il denominatore ha ordine maggiore. Forse serve specificare di nuovo che in un polinomio l'ordine corrisponde all'esponente più alto; inoltre, questo vale SOLO quando parliamo di quantità che tendono all'infinito. Esempi:

Algebra dei limiti: forma indeterminata 0/0 Passiamo infine alla forma indeterminata: Consideriamo il seguente limite: Il fatto che abbiamo la forma indeterminata 0/0 significa che sia il numeratore sia il denominatore si annullano per x = 2; significa anche, allora, che scomponendo entrambi i polinomi si ottiene un fattore (x – 2), che possiamo semplificare eliminando la forma indeterminata:

Algebra dei limiti: forma indeterminata 0/0 Anche in questo caso il risultato è 0 o  a seconda della velocità con cui tendono a 0 i due polinomi: Tende a 0 più velocemente Tende a 0 più velocemente

Algebra dei limiti: forma indeterminata 0 Normalmente la forma indeterminata 0 è riconducibile ad una delle forme viste in precedenza:

Esercizi proposti sul calcolo dei limiti

Algebra dei limiti e algebra tradizionale È importante tenere ben presente che non abbiamo modificato le regole dell'algebra tradizionale: un numero diviso 0 NON SI PUÒ FARE! Abbiamo solo aggiunto delle regole: ad esempio, se dividiamo un numero finito non nullo per una quantità che tende a 0 il risultato tende a infinito (questo non significa che un numero diviso 0 “è uguale” a infinito).

Algebra dei limiti e algebra tradizionale Questa precisazione ha un preciso significato grafico: ad esempio, la funzione non esiste per x = 2; tuttavia tende a  per x che tende a 2 (vedi figura).