Problema problemi… Andrea Gorini 8 Aprile 2015 Pesaro

PER INIZIARE…

Per iniziare… … il primo problema è non tanto quello di far apprendere la matematica, ma di farla comprendere come qualcosa di vivo nel regno del pensiero, che vi risponde a bisogni insostituibili della mente in cui si fondono i motivi pratici che ne danno occasione e l’elaborazione scientifica e concettuale che ne ricava costruzioni di limpida eleganza e bellezza quasi sovrumana.

Per iniziare… …E farla comprendere significa anzitutto farla amare, farla sentire non avulsa dai pensieri e meditazioni e preoccupazioni di ogni giorno, ma ad essi siffattamente frammista da far apparire all’opposto arido e opaco il pensiero che non sappia attingere alla sua luce. Bruno de Finetti

Per iniziare… Mio padre mi insegnava, eccome. “Vedi quell’uccello?” diceva. “È l’usignolo di… vattelapesca; in portoghese si chiama così, […]. Puoi imparare il nome in tutte le lingue che vuoi, e poi non saprai assolutamente nulla di quell’uccello. […] Guardiamolo piuttosto.

Per iniziare… Ecco, è così che mi ha insegnato mio padre, con questo tipo di esempi e discussioni: niente forzature, solo conversazioni divertenti e interessanti. Richard Feynman - Il piacere di scoprire

Per iniziare… I ragazzi hanno una curiosità innata, istintiva. Eppure ogni tanto si bloccano. Perché si instaura un corto circuito tra l'esigenza di conoscere e le vie che vengono proposte?

Per iniziare… Negli studenti però la caratteristica della fulmineità apprezzata dai matematici maturi […] assume un aspetto negativo: il valore è tutto nella risposta, i problemi hanno una sola soluzione, le risposte sono tutte vere o false, non ci sono incertezze, bisogna rispondere si o no.

Per iniziare… La matematica delle domande a risposta multipla non ha nulla a che vedere con la scoperta. Finisce che gli studenti non acquistano l’arte di riflettere ad alta voce sul problema, parlare dei passi attraverso cui lo si trasforma e ci si avvicina a una possibile soluzione: tutta l’attività argomentativa, che nella maggior parte dei casi sostituisce la fulmineità della soluzione. Gabriele Lolli - Elogio della lentezza

Per iniziare… Forse questo può spiegare perché, dove c’è da misurarsi con un problema, spesso si ritraggono quelle persone che non solo hanno perso la capacità di progettare in un campo specifico, ma che si sentono prive di un progetto complessivo sulla propria vita…

Per iniziare… Quando sentiamo un ragazzo affermare “Io i problemi non li so fare”, talvolta possiamo chiederci se sotto la difficoltà in matematica non si manifesti un disagio che non riguarda solo quel problema o la matematica, ma la globalità delle ragioni che muovono una persona ad agire positivamente nella vita. Raffaella Manara - La matematica e la realtà

CHE COS’È UN PROBLEMA?

Che cos’è un problema Problema deriva dal greco pro, davanti, belein, gettare. Siamo di fronte a un problema quando ci troviamo davanti ad un ostacolo, qualche cosa che ci impedisce o ci rende difficoltoso il cammino

Che cos’è un problema Da "questione difficile da risolvere", problema è diventato un termine onnivalente, il cui uso scorretto e generico contribuisce a impoverire l'espressione e, quindi, la lingua Stella Baruk Dizionario di Matematica elementare voce Problema

Che cos’è un problema Quando una situazione diventa un problema? Consideriamo il seguente testo: Calcolare l'area di un rettangolo di base 8,2 cm e altezza 4,8 cm.

Che cos’è un problema Il problema nasce quando la soluzione non è evidente, ma occorre “aggirare un ostacolo” attraverso l’ opera creativa della fantasia, diversa dall’applicazione meccanica e ripetitiva di procedimenti standardizzati (esercizi, utilissimo rinforzo, ma non autentici problemi)

Valenza educativa del problema Per garantire il raggiungimento dei fini educativi dell'insegnamento matematico, […] esso sia impartito in modo da stimolare, fin dal principio, gli alunni all'esercizio autonomo delle loro facoltà di raziocinio e d'invenzione, […] per risolvere determinati problemi e determinate difficoltà Giovanni Vailati

Valenza educativa del problema … in matematica il “saper come” è molto più importante che il solo possedere delle informazioni. […] Che cosa è il “saper come” in matematica? L’abilità a risolvere problemi – non semplicemente di “routine”, ma problemi che richiedano un certo grado di indipendenza, di giudizio, di originalità, di creatività. George Polya - La scoperta matematica

Che cos’è un problema … ma anche quando un essere vivente ha una meta, ma non sa come raggiungerla Karl Duncker

Che cos’è un problema In sintesi perché ci sia un problema occorrono - una situazione che suscita una domanda - implicitamente si afferma che c’è bisogno di un soggetto - per rispondere alla quale è necessario una attivazione della razionalità (in senso ampio) del soggetto - utilizzando le risorse a disposizione

IL PROBLEMA NELLA STORIA

Il problema nella storia Sulla matematica egizia esistono due fonti maggiori […] La fonte di maggiore importanza è il Papiro di Ahmes, […] del 1650 a.C. La seconda fonte principale è il Papiro di Mosca, scritto nel 1850 a.C. circa. […] Il Papiro di Ahmes e il Papiro di Mosca contengono una raccolta di centodieci problemi con le relative soluzioni G. Gheverghese Joseph C'era una volta un numero

Il problema nella storia Si nota anche una caratteristica importante del processo di generazione di nuovi oggetti: questi entrano prima come strumenti di indagine, metodi dimostrativi originati da idee innovative; in un secondo tempo essi diventano soluzioni di problemi e insieme oggetti di studio, un processo al termine del quale essi acquistano una vera e propria esistenza oggettiva Enrico Giusti Ipotesi sulla natura degli oggetti matematici

IL PROBLEMA IN CLASSE

Il problema “introduttivo” Un problema, tante soluzioni Classe prima SSPG Trova due numeri la cui somma vale 24

Il problema “introduttivo” Un problema, tante soluzioni Classe prima SSPG La soluzione non è unica, quante sono? … …

Il problema “introduttivo” Un problema, tante soluzioni Temi implicati: -Numeri naturali -Addizione di numeri naturali - Proprietà commutativa - Lo zero - L’ordinamento - La regolarità della sequenza - Una addizione ha gli addendi uguali

Il problema “per scoprire” Scuola primaria Il lavoro di Lucia sul problema in primaLucia

Problemi da subito Si inizia ad affrontare problemi all’inizio della prima classe della scuola primaria, perché lo scopo è che i bambini si pongano personalmente davanti a situazioni confrontandosi con una domanda. Si pone una domanda e si cerca in vari modi la risposta, poi ci si confronta e si verificano le risposte trovate. Radaelli

Approfittare di ogni situazione che si presenta nella quotidianità, per porci delle domande a cui possiamo cercare di dare risposta. Quanti giorni mancano alla fine della settimana? Quante sono le femmine della classe? Quanti i maschi? Quanti tutti i bambini? Tutto ciò si svolgerà a livello orale, anche i facili conticini di addizione e di sottrazione. Radaelli

L’aspetto affettivo Con i piccoli è fondamentale tenerne conto, per questo ogni insegnante deve saper cogliere al volo le occasioni che si presentano Un esempio: classe prima - aula che ha una porta-finestra che dà sul giardino. Ogni tanto entra un animaletto, cui diamo il nome: ragno Zampetta, formica Miniatura, lucertola Saetta, addirittura gatto Baffetto! (e tanti altri) Anche per i primi problemi partiamo da qui Radaelli

Qualche esempio di problema proposto Radaelli Non abbiamo premura, osserviamo come agiscono i bambini. Sorpresa! Per molti non è scontato contare tutto insieme, anche l’addizione è un concetto che si sta formando Situazione “classica” di addizione: contare le zampe FEDERICO

Possiamo da subito non essere banali Radaelli ALESSIO Data la somma trovare gli addendi

Radaelli GIORGIA

Radaelli ELEONORA I livelli sono proprio diversi, ognuno però, pur all’interno di una proposta comune, può fare il “suo” passo

Si “sfrutta” anche la palestra! IN PALESTRA CHE BELLA GARA ABBIAMO FATTO! QUANTI CERCHI HA USATO IL MAESTRO MIRKO PER FARCI GIOCARE? Cogliamo una situazione di ADDIZIONE RIPETUTA (la classe ha svolto una staffetta a squadre: le squadre erano tre, ogni squadra utilizzava cinque cerchi) Radaelli

Radaelli ALESSIO Il cammino è faticoso, la guida dell’insegnante preziosa

Radaelli SOFIA Evitiamo le “paroline magiche”, come “in tutto”

Radaelli Qualcuno è già molto essenziale FEDERICO

Il problema “per scoprire” Scuola primaria Il lavoro di LuciaLucia sulle proprietà della moltiplicazione

IL PROBLEMA Radaelli Nello spogliatoio di una palestra ci sono 8 armadietti portascarpe; ogni armadietto ha 4 ripiani e su ogni ripiano possono essere collocate 5 paia di scarpe. Quante paia di scarpe possono contenere tutti gli armadietti?

INDIVIDUIAMO LE INFORMAZIONI E LA RICHIESTA 8: n° armadietti 4: n° ripiani per ogni armadietto 5: n° paia di scarpe per ogni ripiano ?: n° paia di scarpe in tutti gli armadietti Radaelli

OSSERVIAMO ALCUNE RAPPRESENTAZIONI Radaelli

In questa rappresentazione si vedono i diversi elementi, ma non si vede la relazione tra loro e non si vede la soluzione (quante paia di scarpe ci stanno ?) Radaelli

In questa rappresentazione si vede che ogni armadietto ha 4 ripiani, il numero 5 scritto su ogni ripiano indica le paia di scarpe che si possono sistemare; stranamente si vedono solo cinque armadietti invece di 8. Radaelli

In questa rappresentazione si vedono gli 8 armadietti, i 4 ripiani in ogni armadietto e (a parte il primo) si vedono 5 caselle in ogni ripiano dove possono trovare posto le paia di scarpe Radaelli

Chi ha rappresentato in questo modo, ha poi calcolato così Radaelli x 8 = x 5 = 160 VEDIAMO ORA ANCHE I CALCOLI

Chi ha rappresentato in questo modo ha calcolato così 4 x 5 = x 8 = 160 Radaelli

Mettiamo a confronto le soluzioni 4 x 5 = x 8 = x 8 = x 5 = 160 Che cosa cambia? Che cosa non cambia? Radaelli

Nelle diverse soluzioni abbiamo lo stesso risultato finale ma risultati intermedi diversi Che cosa indica a che cosa corrisponde il risultato intermedio? Radaelli

4 x 5 = x 8 = corrisponde alle paia di scarpe in ogni armadietto 4 x 8 = x 5 = corrisponde ai ripiani di tutti gli armadietti Radaelli ABBIAMO GUARDATO LA STESSA SITUAZIONE DA DIVERSI PUNTI DI VISTA

FACCIAMO UN PASSO AVANTI! Possiamo scrivere le due moltiplicazioni come una sola operazione 4 x 8 x 5 = x 5 x 8 = 160 Ripensando al problema si può scrivere ancora in altri modi? Consideriamo l’ultima rappresentazione e osserviamola da diversi punti di vista. Radaelli

VEDIAMO LE DIVERSE POSSIBILITÀ 5 x 4 x 8 = x 8 x 4 = x 4 x 5 = x 5 x 4 = 160 Radaelli

Osservando le soluzioni di questo problema abbiamo visto che NELLA MOLTIPLICAZIONE SE SI CAMBIA L’ORDINE DEI FATTORI, IL RISULTATO NON CAMBIA Questa è una particolarità della moltiplicazione e si chiama PROPRIETÀ COMMUTATIVA Radaelli

IL PROBLEMA Le classi terze di una scuola, composte da 32 alunni, si recheranno a teatro; ciascun alunno dovrà pagare 7 euro per il biglietto e 4 euro per il trasporto. Quale sarà la spesa totale? Radaelli Anche questo problema può essere rappresentato in diversi modi e poteva essere risolto con percorsi diversi. Vediamo alcuni esempi

INDIVIDUIAMO LE INFORMAZIONI E LA RICHIESTA 32: n° alunni 7 €: spesa teatro per ogni alunno 4 €: spesa trasporto per ogni alunno ?: spesa totale Radaelli

Le operazioni possono essere 7 x 32 = x 32 = = 352 spesa totale in euro Questo procedimento si può riassumere così: 7 x x 32 = 352

Le operazioni in questo caso possono essere: = x 32 = 352 soldi spesi in totale Questo procedimento si può riassumere così: (7 + 4) x 32 = 352 Radaelli

OSSERVIAMO Anche in questo caso il risultato finale non cambia ma ci sono risultati intermedi diversi. Nel primo procedimento che cosa indicano i risultati intermedi 224 e 128 ? Nel secondo procedimento che cosa indica il risultato intermedio 11 ? Radaelli

7 x 32 = x 32 = = € spesa per l’ingresso 128 € spesa per il trasporto Radaelli = x 32 = soldi spesi da ciascun alunno SIAMO GIUNTI ALLO STESSO RISULTATO CON DUE PERCORSI DIVERSI

Osservando le diverse soluzioni di questo problema abbiamo visto che (7 + 4) x 32 = 7 x x 32 Questa particolarità della moltiplicazione rispetto all’addizione si chiama PROPRIETÀ DISTRIBUTIVA Radaelli

Il problema “per scoprire” Da un problema tanti problemi Classe prima/terza SSPG Trova due numeri consecutivi la cui somma vale 21 N S Sm

Il problema “per scoprire” Da un problema tanti problemi Classe prima/terza SSPG Osservando la tabella si può ricavare che - La somma di due numeri consecutivi deve essere dispari - Se la somma di due numeri consecutivi è pari non c’è soluzione

Il problema “per scoprire” Da un problema tanti problemi Classe prima/terza SSPG Osservando la tabella si può ricavare che -Il minore dei numeri si ottiene dividendo per 2 il precedente della somma - Il maggiore dei numeri si ottiene dividendo per 2 il successivo della somma

Il problema “per scoprire” Da un problema tanti problemi Classe prima/terza SSPG Osservando la tabella si può ricavare che -Il minore dei numeri si ottiene dividendo per 2 il precedente della somma n = (s-1)/2 - Il maggiore dei numeri si ottiene dividendo per 2 il successivo della somma m = (s+1)/2

Il problema “per scoprire” Classe prima SSSG Il lavoro di ChiaraChiara sulla proprietà distributiva e i prodotti notevoli

Dal problema all’equazione Alla voce algebra del Dizionario di matematica elementare di S. Baruk si legge: “Algebra: arte o scienza della risoluzione di problemi che generalizza i metodi dell’aritmetica mediante l’uso di lettere che rappresentano grandezze o numeri incogniti e permettono di stabilire delle formule. L’algebra quindi evoca problemi che si risolvono mediante equazioni che contengono le lettere.“ problema  equazioni  lettere

Dal problema all’equazione 1] Passaggio dal testo all’equazione Un numero sommato a 5 dà 18. Trovare il numero. La richiesta formulata in classe prima di tutto è tradurre questo problema in simboli non di risolverlo; peraltro si risolve a mente. Un numerosommatoa 5dà18 X+5=18

Dal problema all’equazione 2] La proprietà commutativa. Sommando a 10 un certo numero e successivamente ancora 8 si ottiene 27. Trovare il numero. Ancora la richiesta non è risolvere il problema ma tradurre in simboli il problema. Sommandoa 10un certo numero e successivamente sommando 10+x+ 8si ottiene27 8=27

Dal problema all’equazione 2] La proprietà commutativa. Si può modificare la scrittura in modo da passare da 10 + x + 8 = 27 a X = 27

Dal problema all’equazione 3] Un passaggio successivo verso la formalizzazione Successivamente assegno esercizi del tipo: Il doppio di un numero è 24. Trovare il numero. Il doppio di un numeroè24 2  x=24 In questo caso introduciamo il significato delle espressioni 2x, 3x ecc come doppio triplo ecc.

Dal problema all’equazione 4] La proprietà distributiva Il passo successivo è quello di affrontare esercizi dove è coinvolta la somma di quantità che dipendono dalla stessa incognita: Il triplo di un numero, aumentato del quadruplo dà 490. determinare il numero. Il triplo di un numeroaumentatodel quadruplodà490 3x+4x=490 In questo caso nasce il problema di formalizzare la scrittura 3x+4x.

Dal problema all’equazione Disegna un rettangolo avente per base 2 quadretti e altezza 3 quadretti, un rettangolo avente per base 2 quadretti e altezza 4 quadretti e uno avente per base 2 quadretti e altezza 7. Osservando le aree dei rettangoli possiamo scrivere che Generalizzando questa osservazione possiamo sciogliere il nodo precedente e ottenere

Dal problema all’equazione Raggiunta quindi un’abilità sulla traduzione in simboli di un problema e anche sulla manipolazione assegno semplici esercizi analoghi ai precedenti, ancora di contenuto prettamente numerico, e altri sulle proprietà dei numeri (somma di numeri pari, dispari, ecc.) in cui chiedo semplici “dimostrazioni”. Dimostrare che la somma di due multipli di 3 è sempre divisibile per 3, oppure Dimostrare che il prodotto di due multipli di 4 è sempre divisibile per 16.

Dal problema all’equazione 5] Verso altri insiemi Infine propongo esercizi del tipo: Il doppio di un numero più il suo triplo è pari a 1. Trovare il numero. oppure Trovare quel numero che sommato a 15 dia 3. che permettono l’apertura agli insiemi dei numeri razionali e interi relativi.

I prodotti notevoli Osservando la tavola pitagorica

I prodotti notevoli I numeri della diagonale principale sono i numeri quadrati. I numeri in blu della diagonale parallela sono prodotti di particolari moltiplicazioni 1  32  43  54  6… Chiedo quindi ai ragazzi di proseguire con la successione dei prodotti e di determinare la legge con cui sono ottenuti.

I prodotti notevoli Risulta evidente che la legge è "moltiplicare un precedente per un successivo", ovvero moltiplicare il precedente ed il successivo di uno stesso numero. La richiesta successiva perciò è quella di formalizzare quest'espressione, ottenendo: Senza sforzo ricaviamo che

I prodotti notevoli A questo punto propongo, chiedendo un ragionamento per analogia, il seguente prodotto simile a quello appena visto: Alcuni ragazzi sostengono che questo prodotto dia come risultato mentre altri invece correggono e immaginano l'espressione giusta Giunta a questo punto eseguo il prodotto notevole mediante il prodotto di polinomi e verifico che l'intuizione è corretta.

I prodotti notevoli Quadrato di binomio La difficoltà maggiore per quanto riguarda il quadrato del binomio è il doppio prodotto: spesso nei calcoli viene dimenticato, e anche la dimostrazione per via algebrica della necessità di questo termine per alcuni ragazzi non è convincente. Anche in questo caso parto dalla tavola pitagorica. Come primo esempio considero. Poiché le parentesi indicano la priorità con cui bisogna eseguire le operazioni, eseguo prima la somma e poi faccio il quadrato ottenendo il quadrato di 5 cioè 25. Riportiamo in tabella 25. E' evidente che 25 non è la somma dei quadrati di 2 e di 3: infatti

I prodotti notevoli Quadrato di binomio La difficoltà maggiore per quanto riguarda il quadrato del binomio è il doppio prodotto: spesso nei calcoli viene dimenticato, e anche la dimostrazione per via algebrica della necessità di questo termine per alcuni ragazzi non è convincente. Anche in questo caso parto dalla tavola pitagorica. Come primo esempio considero. Poiché le parentesi indicano la priorità con cui bisogna eseguire le operazioni, eseguo prima la somma e poi faccio il quadrato ottenendo il quadrato di 5 cioè 25. Riportiamo in tabella 25. E' evidente che 25 non è la somma dei quadrati di 2 e di 3: infatti

I prodotti notevoli Osservando la tavola pitagorica

I prodotti notevoli Guardando la tabella i ragazzi si accorgono che il termine che manca per arrivare a 25 da 13 è la somma delle celle (in rosa in figura) che completano il quadrato aventi due vertici in 4 e 9, infatti, 6 è proprio il prodotto di 2 e 3.

Il problema “riassuntivo” Classe prima SSPG Scrivi l’espressione che risolve il problema

Il problema “riassuntivo” Classe prima SSPG

Il problema “riassuntivo” Classe prima SSPG Disegnare un angolo di 75° usando solo la riga e il compasso

Il problema “riassuntivo” Classe prima SSPG Questo è un problema di costruzione, richiede: -La costruzione dell’angolo retto - La costruzione dell’angolo di 60° - La costruzione della somma degli angoli - La costruzione della bisettrice

LAVORARE CON I PROBLEMI

Un problema, diverse richieste Classe seconda SSPG La parte colorata della figura misura 9 cm 2. Che cosa puoi ricavare?

Un problema, diverse abilità Classe seconda SSPG 1. Un rettangolo ha la base uguale ai 4/3 dell’altezza e il perimetro di 112 cm. Quanto misura l’area? 2. La scatola raffigurata nel disegno presenta quattro scomparti con le stesse dimensioni. Se il perimetro della scatola è di 112 cm, quale è la sua area? (Pitagora si diverte, Paravia, pag. 9)

Un problema, diverse soluzioni Classe prima SSPG Quale è il percorso più breve? A B

Un problema, diverso contesto Classe prima SSPG Scrivi tutti i numeri che si possono formare con le cifre 1, 0, 8. Classe seconda SSPG Scrivi tutti i numeri che si possono formare con le cifre 1, 0, 8.

Il problema in geometria Classe terza Disegnare un tetraedro regolare in assonometria

Il problema in geometria Risolvere un problema è un allenamento a progettare: richiede un'azione libera e consapevole, cioè allarga l'orizzonte della razionalità. Raffaella Manara - La matematica e la realtà