A proposito di geometria… Andrea Gorini 30 Settembre 2015 Pesaro

La Geometria a scuola La “Geometria geometrica” contro la “Geometria aritmetica” L’ambito è la geometria euclidea sintetica, ovvero senza l’uso della misura Alcune osservazioni sulla misura: discretizzazione, aritmetizzazione, intuizione del continuo

Geometria ‘geometrica’ Gli enti fondamentali Riconoscerne l’esigenza Impararne l’uso, questione di linguaggio (punto, vertice, origine, piede dell’altezza…) A proposito di figure La classificazione (riconoscere relazioni) La realizzazione uso degli strumenti, righello, compasso, quadrettatura

Verso la geometria euclidea ‘Vedere’ le figure Diversi livelli di osservazione Quanti angoli si formano a partire da 4 semirette con la stessa origine? Quante coppie di angoli consecutivi? Comporre figure

Verso la geometria euclidea Verso un ‘nuovo modo’ di vedere La geometria dello spazio al termine del primo ciclo

Dalle indicazioni nazionali

Dalle Indicazioni Nazionali per il primo ciclo Riportiamo alcuni Traguardi per lo sviluppo delle competenze nei diversi livelli scolastici del primo ciclo che sono maggiormente legati all’insegnamento della geometria. Osserviamo in particolare che la misura non è individuata come un ambito a se stante

Traguardi per lo sviluppo delle competenze al termine della scuola primaria Riconosce e rappresenta forme del piano e dello spazio, relazioni e strutture che si trovano in natura o che sono state create dall’uomo. Descrive, denomina e classifica figure in base a caratteristiche geometriche, ne determina misure, progetta e costruisce modelli concreti di vario tipo. Utilizza strumenti per il disegno geometrico (riga, compasso, squadra) e i più comuni strumenti di misura (metro, goniometro...).

Traguardi per lo sviluppo delle competenze al termine della scuola primaria Riesce a risolvere facili problemi in tutti gli ambiti di contenuto, mantenendo il controllo sia sul processo risolutivo, sia sui risultati. Descrive il procedimento seguito e riconosce strategie di soluzione diverse dalla propria. Costruisce ragionamenti formulando ipotesi, sostenendo le proprie idee e confrontandosi con il punto di vista di altri. Riconosce e utilizza rappresentazioni diverse di oggetti matematici (numeri decimali, frazioni, percentuali, scale di riduzione, ...).

Obiettivi di apprendimento al termine della classe terza della scuola primaria Spazio e figure Percepire la propria posizione nello spazio e stimare distanze e volumi a partire dal proprio corpo. Comunicare la posizione di oggetti nello spazio fisico, sia rispetto al soggetto, sia rispetto ad altre persone o oggetti, usando termini adeguati (sopra/sotto, davanti/dietro, destra/sinistra, dentro/fuori).

Obiettivi di apprendimento al termine della classe terza della scuola primaria Eseguire un semplice percorso partendo dalla descrizione verbale o dal disegno, descrivere un percorso che si sta facendo e dare le istruzioni a qualcuno perché compia un percorso desiderato. Riconoscere, denominare e descrivere figure geometriche. Disegnare figure geometriche e costruire modelli materiali anche nello spazio.

Obiettivi di apprendimento al termine della classe quinta della scuola primaria Descrivere, denominare e classificare figure geometriche, identificando elementi significativi e simmetrie, anche al fine di farle riprodurre da altri. Riprodurre una figura in base a una descrizione, utilizzando gli strumenti opportuni (carta a quadretti, riga e compasso, squadre, software di geometria). Utilizzare il piano cartesiano per localizzare punti. Costruire e utilizzare modelli materiali nello spazio e nel piano come supporto a una prima capacità di visualizzazione.

Obiettivi di apprendimento al termine della classe quinta della scuola primaria Riconoscere figure ruotate, traslate e riflesse. Confrontare e misurare angoli utilizzando proprietà e strumenti. Utilizzare e distinguere fra loro i concetti di perpendicolarità, parallelismo, orizzontalità, verticalità, parallelismo. Riprodurre in scala una figura assegnata (utilizzando, ad esempio, la carta a quadretti).

Obiettivi di apprendimento al termine della classe quinta della scuola primaria Determinare il perimetro di una figura utilizzando le più comuni formule o altri procedimenti. Determinare l’area di rettangoli e triangoli e di altre figure per scomposizione o utilizzando le più comuni formule. Riconoscere rappresentazioni piane di oggetti tridimensionali, identificare punti di vista diversi di uno stesso oggetto (dall’alto, di fronte, ecc.).

Traguardi per lo sviluppo delle competenze al termine della SSPG Riconosce e denomina le forme del piano e dello spazio, le loro rappresentazioni e ne coglie le relazioni tra gli elementi. Riconosce e risolve problemi in contesti diversi valutando le informazioni e la loro coerenza. Produce argomentazioni in base alle conoscenze teoriche acquisite (ad esempio sa utilizzare i concetti di proprietà caratterizzante e di definizione).

Traguardi per lo sviluppo delle competenze al termine della SSPG Riconosce e denomina le forme del piano e dello spazio, le loro rappresentazioni e ne coglie le relazioni tra gli elementi. Confronta procedimenti diversi e produce formalizzazioni che gli consentono di passare da un problema specifico a una classe di problemi

Obiettivi di apprendimento al termine della classe terza della SSPG Spazio e figure Riprodurre figure e disegni geometrici, utilizzando in modo appropriato e con accuratezza opportuni strumenti (riga, squadra, compasso, goniometro, software di geometria). Rappresentare punti, segmenti e figure sul piano cartesiano. Conoscere definizioni e proprietà (angoli, assi di simmetria, diagonali, …) delle principali figure piane (triangoli, quadrilateri, poligoni regolari, cerchio).

Obiettivi di apprendimento al termine della classe terza della SSPG Descrivere figure complesse e costruzioni geometriche al fine di comunicarle ad altri. Riprodurre figure e disegni geometrici in base a una descrizione e codificazione fatta da altri. Riconoscere figure piane simili in vari contesti e riprodurre in scala una figura assegnata. Conoscere il Teorema di Pitagora e le sue applicazioni in matematica e in situazioni concrete.

Obiettivi di apprendimento al termine della classe terza della SSPG Determinare l’area di semplici figure scomponendole in figure elementari, ad esempio triangoli, o utilizzando le più comuni formule. Stimare per difetto e per eccesso l’area di una figura delimitata anche da linee curve. Conoscere il numero π, e alcuni modi per approssimarlo. Calcolare l’area del cerchio e la lunghezza della circonferenza, conoscendo il raggio, e viceversa.

Obiettivi di apprendimento al termine della classe terza della SSPG Conoscere e utilizzare le principali trasformazioni geometriche e i loro invarianti. Rappresentare oggetti e figure tridimensionali in vario modo tramite disegni sul piano. Visualizzare oggetti tridimensionali a partire da rappresentazioni bidimensionali. Calcolare l’area e il volume delle figure solide più comuni e darne stime di oggetti della vita quotidiana. Risolvere problemi utilizzando le proprietà geometriche delle figure.

Gli enti fondamentali

Dagli Elementi di Euclide Punto è ciò che non ha parte Questa non è una definizione – non può esserlo, come ha evidenziato l’analisi critica dell’opera di Euclide che ha avuto luogo nella seconda metà dell’Ottocento; sarebbe necessario definire che cos’è parte La linea è una lunghezza senza larghezza: i termini della quale sono due punti Anche in questo caso non sono definite lunghezza e larghezza La superficie è quella che ha solamente lunghezza e larghezza: li termini della quale sono linee Non è contemplata l’estensione all’infinito

La loro individuazione è opera di un importante processo di astrazione Proporre gli Elementi? Sono detti non a caso fondamentali perché stanno a fondamento, come negli edifici le strutture portanti in genere sono nascoste La loro individuazione è opera di un importante processo di astrazione È opportuno imparare a utilizzarne correttamente i termini piuttosto che chiedere di memorizzare ‘definizioni’ A partire da situazioni concrete

I percorsi (in aula o in palestra) cl. I e II P Un esempio I percorsi (in aula o in palestra) cl. I e II P Svolgi il percorso Dai le istruzioni al tuo compagno Rappresenta il percorso (per tenerne memoria) Confronta i percorsi

A proposito di figure

Dalle prove Invalsi - Quadrato www.gestinv.it

Dalle prove Invalsi - Quadrato Ricerca per parole chiave: Quadrato

Cl. II P 2009 Risp. corrette 31%

Nel quesito è richiesto solo di riconoscere che il buco ha forma quadrata Non ha alcuna rilevanza la terminologia che non viene utilizzata

Cl. II P 2014 Risp. Corrette 54,1% Errate 45%

Nel quesito è richiesta la conoscenza della terminologia Ha rilevanza la relazione tra gli oggetti coinvolti nella situazione, può essere che la scelta dell’opzione A sia determinata da una lettura parziale della consegna

Cl. V P 2011 Risp. Corrette 70% Errate 24,5% NV 5,5% Classe Quinta Cl. V P 2011 Risp. Corrette 70% Errate 24,5% NV 5,5%

In questo quesito è richiesta la produzione, guidata, di un quadrato; per la sua realizzazione risulta essere fondamentale prestare attenzione agli angoli, poiché è facile disegnare figure con i lati congruenti

Cl. V P 2011 Risp. Corrette 88% Errate 11,8% NV 0,2% Classe Quinta Cl. V P 2011 Risp. Corrette 88% Errate 11,8% NV 0,2%

Classe Quinta Cl. V P 2011 Risp. Corrette 76% Errate 22% NV 1,5% Risp. Corrette 41% Errate 53% NV 5,3%

Osservare meglio

Osservare o interpretare? Questa immagine può essere interpretata differentemente: esagono o cubo?

Rappresentare una figura solida - Il passaggio alla geometria solida richiede un notevole passaggio nella rappresentazione perché viene meno la possibilità di realizzare modelli che presentano fedelmente tutte le caratteristiche degli oggetti geometrici cui si riferiscono

“Si vede dal disegno” non basta più Osserviamo i triangoli rossi Non si vede dal disegno che sono equilateri e congruenti

È necessario argomentare Il disegno può essere ingannatore: di che tipo è il triangolo ABC?

A proposito di misura

Da un quesito Invalsi

Che cosa è successo Prima di procedere ho chiesto quali azioni avessero fatto per rispondere a queste domande. Molti hanno detto “ho immaginato”, “ho pensato”, “ho fatto una ipotesi”. Solo una bambina ha detto di aver disegnato una figurina in dimensioni secondo lei reali, di averne prese le misure e effettuato i calcoli applicando le formule che conosce.

Questa è la figurina in grandezza reale. Che cosa è successo Questa è la figurina in grandezza reale.

Misurare o stimare? Cl V P Risp esatte C 57% B 24% Oltre ad occasione di calcolo la misura è anche un’occasione di “aggancio” al mondo reale

Misurare o stimare? 41%

Comporre e scomporre figure

Verso il concetto di area Equiscomponibilità ed equivalenza alla scuola primaria Il lavoro di Lucia in quinta primaria

Il punto di partenza

Il punto di partenza La soluzione del problema introduce la necessità di misurare la superficie, primo avvio verso la definizione di area, termine che non viene utilizzato. Dopo la soluzione commentata in classe del problema è stato chiesto ai bambini di inventare altre decorazioni

Il tangram Durante il mese di aprile abbiamo giocato con il tangram. In classe ognuno ha realizzato il proprio su cartoncino, seguendo le mie indicazioni. Li ho guidati in un lavoro di piegatura, cioè abbiamo lavorato come si fa con gli origami. Foglio A4, prima piega: far combaciare due lati non opposti, tagliare la parte eccedente in modo da ottenere un quadrato, colorare in arancio uno dei due triangoli formati dalla piega (diagonale del quadrato ottenuto)…. E così via. Durante la spiegazione ho usato solo i termini della geometria (diagonale, angoli opposti, punto medio…). Il lavoro è stato lungo, ma tutti hanno capito che cosa dovevano fare.

Il tangram… Compito a casa: tagliare i pezzi del tangram e con essi formare delle figure utilizzandoli tutti, cercare di scrivere un promemoria per riproporre in classe le figure realizzate a casa. La difficoltà è stata quella di mantenere, disegnando, le proporzioni fra i pezzi del tangram. In classe ne abbiamo scelte alcune con cui abbiamo fatto un cartellone su cui abbiamo incollato un tangram ricomposto e alcune figure realizzate. Più avanti ho proposto il lavoro che segue. Ormai i ragazzi sapevano riconoscere i pezzi del tangram, anche se ruotati, ci avevano fatto un po’ l’occhio.

La definizione viene proposta quando i bambini hanno già incontrato il …e oltre La definizione viene proposta quando i bambini hanno già incontrato il concetto

La definizione viene proposta quando i bambini hanno già incontrato il …e oltre La definizione viene proposta quando i bambini hanno già incontrato il concetto

…e oltre

Il passo successivo La richiesta successiva è stata quella di considerare i poligoni che loro conoscono. Si sceglie un poligono, lo si disegna, se ne crea una copia su carta colorata. Si scompone il poligono e se ne deve trovare un altro ad esso equiscomponibile. Ho lasciato che proponessero i poligoni da cui partire, se la classe era d’accordo si proseguiva. Così hanno scelto il triangolo isoscele acutangolo e il triangolo isoscele generico, che quasi tutti però hanno disegnato acutangolo. Li ho lasciati fare. Individualmente hanno diviso in parti e ricomposto, poi abbiamo confrontato le varie soluzioni. Alla fine ho chiesto di individuare un concetto ricorrente, un fatto che si proponeva sempre uguale. Tanti hanno identificato la parola “rettangolo” come ricorrente: l’abbiamo sottolineata per non scordarla.

Il passo successivo

L’introduzione dei termini

Misurare le aree Abbiamo riguardato la definizione di area. Ho chiesto ai bambini quali azioni si possono eseguire con delle quantità. Mi hanno detto: contare, addizionare, frazionare, misurare. Fra le varie azioni indicate abbiamo scelto “misurare” come quella più indicata, quindi abbiamo scritto il titolo. Ho dato a ciascun bambino una coppia di poligoni, qualcuno ha ricevuto due quadrati, qualcuno due triangoli, in questo caso due trapezi. Ho usato una carta rossa per il poligono con estensione maggiore e una carta verde quadrettata per quello meno esteso. Ho dato loro poligoni sovrapponibili

Misurare le aree

Misurare le aree

Misurare le aree L’idea che il quadrato (il quadretto) sia l’unità di misura della superficie nasce naturalmente

Misurare le aree

Misurare le aree

Verso le formule Il lavoro prosegue con l’introduzione delle unità di misura coinvenzionali Successivamente si è recuperato il lavoro sugli schieramenti e la moltiplicazione facendo realizzare dei rettangoli componendo quadrati congruenti Solo dopo aver ripetutamente trovato aree di diversi poligoni sono state introdotte le formule

Nella scuola secondario di I grado Lo stesso lavoro si può proporre ad un diverso livello nella scuola media (cfr. Matematica a sorpresa – Geometria 2, A. Gorini, Casa editrice Principato cap. 1, 3, 4) In particolare il lavoro sulle formule permette di costruire un repertorio di esempi che facilmente consentono di verificare l’equivalenza di scritture algebriche, ad es.