DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE Algebra di Boole, elementi di logica e Mappe di Karnaugh Marco D. Santambrogio – Ver. aggiornata al 18 Marzo 2016

DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONEProgetti Meeting  Quando: 22  Dove: Sala 2

DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONEProgetti Meeting  Quando: 22  Dove: Sala Problemi     3

DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONEProgetti Meeting  Quando: 22  Dove: Sala Problemi     4

DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE Problema: caratteri MaIuScOli Si scriva un programma che, preso un carattere minuscolo da tastiera, ne riporta a video l’equivalente maiuscolo 5

DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE HELP: errori sull’input 6

DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE Problema: errori sull’input Problema  Preso un dato inserito da tastiera  Per potervi applicare la trasformazione di nostro interesse  Dobbiamo prima verificare che il dato sia coerente con quanto ci aspettiamo Soluzione  Definire l’insieme dei caratteri validi  Verificare l’appartenenza del carattere inserito, all’insieme dei caratterei validi 7

DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONEPseudocodice Dati  L’insieme dei caratteri ammissibili {a, b, c, …, z} 1. Richiedere l’inserimento di un carattere 2. Se carattere inserito corretto 3. Allora stampa a video carattere Altrimenti stampa a video un messaggio di errore 8

DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE Condizione da verificare Dati  L’insieme dei caratteri ammissibili {a, b, c, …, z} Il carattere inserito deve essere  =>a  <= z 9

DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONEObiettivi Algebra di Boole  Algebra di boole a due valori: algebra di commutazione  Operazioni logiche  Espressioni logiche Funzioni booleane Forme canoniche Karnaugh e Mappe di Karnaugh 10

DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE 11 L’algebra di Boole (inventata da G. Boole, britannico, seconda metà ’800), o algebra della logica, si basa su operazioni logiche Le operazioni logiche sono applicabili a operandi logici, cioè a operandi in grado di assumere solo i valori vero e falso Si può rappresentare vero con il bit 1 e falso con il bit 0 (convenzione di logica positiva) Cenni all’algebra di Boole

DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE Algebra Booleana: definizione Algebra Booleana B è un sistema algebrico identificato dalla sestupla (B,+,*,’,0,1) dove:  B è l'insieme su cui vengono definite le operazioni (supporto)  +, *,’ sono le operazioni binarie OR e AND e l’operazione unaria NOT  0, 1 sono elementi speciali di B. 0 è l’elemento neutro rispetto a + 1 è l’elemento neutro rispetto a *  Assiomi

DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE Algebra Booleana a due valori: Algebra di Commutazione “Tra tutte le algebre booleane, l'algebra booleana a due valori è la più utile. Essa è la base matematica della analisi e progetto di circuiti di commutazione che realizzano i sistemi digitali.” [Lee, S.C., Digital Circuit And Logic Design. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 1976]

DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE 14 Operatori logici binari (con 2 operandi logici)  Operatore OR, o somma logica  Operatore AND, o prodotto logico Operatore logico unario (con 1 operando)  Operatore NOT, o negazione, o inversione Poiché gli operandi logici ammettono due soli valori, si può definire compiutamente ogni operatore logico tramite una tabella di associazione operandi-risultato Operazioni logiche fondamentali

DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE Le variabili dell’algebra booleana a due valori possono assumere solo i due valori 0 e 1  precisamente, se x indica una variabile, è x = 0 se e solo se x  1 x = 1 se e solo se x  0 Algebra Booleana a due valori: ({0,1},+,*,’,0,1) dove + (OR) e * (AND) sono definiti come Mentre l’operazione a un solo elemento (unary operation) detta complementazione o negazione ( NOT ) è definita come  Nota: il simbolo associato al NOT è spesso indicato come ’ (esempio x’ ), ! (esempio !x ) o sopra segnando la variabile * Operazioni logiche fondamentali ‘

DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE 16 Operatori logici di base e loro tabelle di verità A B A and B (prodotto logico) A B A or B (somma logica) A not A (negazione) Le tabelle elencano tutte le possibili combinazioni in ingresso e il risultato associato a ciascuna combinazione

DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE 17 Come le espressioni algebriche, costruite con:  Variabili logiche (letterali): p. es. A, B, C  0 oppure 1  Operatori logici: and, or, not Esempi: A or (B and C) (A and (not B)) or (B and C) Precedenza: l’operatore “not” precede l’operatore “and”, che a sua volta precede l’operatore “or” A and not B or B and C  (A and (not B)) or (B and C) Per ricordarlo, si pensi OR come “  ” (più), AND come “  ” (per) e NOT come “  ” (cambia segno) Espressioni logiche (o Booleane)

DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE A and B or not C A B C X = A and B Y = not C X or Y and 0 = 0 not 0 = 1 0 or 1 = and 0 = 0 not 1 = 0 0 or 0 = and 1 = 0 not 0 = 1 0 or 1 = and 1 = 0 not 1 = 0 0 or 0 = and 0 = 0 not 0 = 1 0 or 1 = and 0 = 0 not 1 = 0 0 or 0 = and 1 = 1 not 0 = 1 1 or 1 = and 1 = 1 not 1 = 0 1 or 0 = 1 Tabella di verità di un’espressione logica

DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE 19 A B NOT ((A OR B) AND (NOT A)) A B C ( B OR NOT C) AND (A OR NOT C) Due esercizi

DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE 20 A modellare alcune (non tutte) forme di ragionamento  A  è vero che 1 è maggiore di 2 ? (sì o no, qui è no)  0  B  è vero che 2 più 2 fa 4 ? (sì o no, qui è sì)  1  A and B  è vero che 1 sia maggiore di 2 e che 2 più 2 faccia 4 ? Si ha che A and B  0 and 1  0, dunque no  A or B  è vero che 1 sia maggiore di 2 o che 2 più 2 faccia 4 ? Si ha che A or B  0 and 1  1, dunque sì OR, AND e NOT vengono anche chiamati connettivi logici, perché funzionano come le congiunzioni coordinanti “o” ed “e”, e come la negazione “non”, del linguaggio naturale Si modellano ragionamenti (o deduzioni) basati solo sull’uso di “o”, “e” e “non” (non è molto, ma è utile) A che cosa servono le espressioni logiche?

DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE 21 Le espressioni logiche (booleane) non modellano:  Domande esistenziali: “c’è almeno un numero reale x tale che il suo quadrato valga  1 ?” (si sa bene che non c’è)  x | x 2   1 è falso  Domande universali: “ogni numero naturale è la somma di quattro quadrati di numeri naturali ?” (si è dimostrato di sì)  x | x  a 2  b 2  c 2  d 2 è vero (“teorema dei 4 quadrati”) Più esattamente andrebbe scritto:  x  a,b,c,d | x  a 2  b 2  c 2  d 2  e  sono chiamati “operatori di quantificazione”, e sono ben diversi da or, and e not La parte della logica che tratta solo degli operatori or, and e not si chiama calcolo proposizionale Aggiungendo gli operatori di quantificazione, si ha il calcolo dei predicati (che è molto più complesso) Che cosa non si può modellare tramite espressioni logiche?

DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE 22

DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE Problema: caratteri MaIuScOli Si scriva un programma che, preso un carattere minuscolo da tastiera, ne riporta a video l’equivalente maiuscolo 23

DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONEPseudocodice Dati  L’insieme dei caratteri ammissibili {a, b, c, …, z} 1. Richiedere linserimento di un carattere 2. Se carattere inserito corretto 3. Allora stampa a video carattere Altrimenti stampa a video un messaggio di errore 24

DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE Condizione da verificare Dati  L’insieme dei caratteri ammissibili {a, b, c, …, z} Il carattere inserito deve essere  =>a  <= z 25

DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE Maiuscolo: solo if 26

DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE Maiuscolo: esecuzione 27

DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE Condizione da verificare Il carattere inserito deve essere  X: =>a  Y: <= z Come vogliamo che si comporti il nostro modello rispetto a X e Y? 28

DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE Condizione da verificare Il carattere inserito deve essere  X: =>a  Y: <= z Come vogliamo che si comporti il nostro modello rispetto a X e Y?  Se X = 0? 29

DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE Condizione da verificare Il carattere inserito deve essere  X: =>a  Y: <= z Come vogliamo che si comporti il nostro modello rispetto a X e Y?  Se X = 0? Vogliamo una uscita FALSA 30

DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE Condizione da verificare Il carattere inserito deve essere  X: =>a  Y: <= z Come vogliamo che si comporti il nostro modello rispetto a X e Y?  Se X = 0? Vogliamo una uscita FALSA  Se Y = 0? 31

DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE Condizione da verificare Il carattere inserito deve essere  X: =>a  Y: <= z Come vogliamo che si comporti il nostro modello rispetto a X e Y?  Se X = 0? Vogliamo una uscita FALSA  Se Y = 0? Vogliamo una uscita FALSA 32

DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE Condizione da verificare Il carattere inserito deve essere  X: =>a  Y: <= z Come vogliamo che si comporti il nostro modello rispetto a X e Y?  Se X = 0? Vogliamo una uscita FALSA  Se Y = 0? Vogliamo una uscita FALSA  Se X = 1 e Y = 1? Uscita VERA! 33

DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE Condizione da verificare Il carattere inserito deve essere  X: =>a  Y: <= z Come vogliamo che si comporti il nostro modello rispetto a X e Y? 34 X Y USCITA

DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE Condizione da verificare Il carattere inserito deve essere  X: =>a  Y: <= z Come vogliamo che si comporti il nostro modello rispetto a X e Y? 35 X Y USCITA Vi ricorda qualche cosa?

DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE Condizione da verificare Il carattere inserito deve essere  X: =>a  Y: <= z Come vogliamo che si comporti il nostro modello rispetto a X e Y? 36 X Y USCITA Vi ricorda qualche cosa? AND!!!

DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE Condizione da verificare Il carattere inserito deve essere  X: =>a  Y: <= z Come vogliamo che si comporti il nostro modello rispetto a X e Y? 37 Vi ricorda qualche cosa? AND!!! X Y X AND Y (prodotto logico)

DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE Maiuscolo: AND 38

DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE Maiuscolo: codice ottimizzato 39

DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE Maiuscolo: esecuzione 40

DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE Qualche cosa di più complesso… Si accettano soltanto numeri dispari, primi, oppure maggiori di tre  a: dispari  b: primi  c: maggiori di 3 41

DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE Qualche cosa di più complesso… Si accettano soltanto numeri dispari, primi, oppure maggiori di tre  a: dispari  b: primi  c: maggiori di 3 42 a b c f(a,b,c)

DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE Qualche cosa di più complesso… Si accettano soltanto numeri dispari, primi, oppure maggiori di tre  a: dispari  b: primi  c: maggiori di 3 43 a b c f(a,b,c)

DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE Qualche cosa di più complesso… Si accettano soltanto numeri dispari, primi, oppure maggiori di tre  a: dispari  b: primi  c: maggiori di 3 44 a b c f(a,b,c) Come calcoliamo il legame tra a, b, e c?

DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE Per farlo… 45 Qualche definizione

DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONELetterale Un letterale è una coppia (Variabile,Valore)  (x,1) è indicato come x (variabile in forma naturale);  (x,0) rappresenta la variabile x in forma negata (complementata) ed è indicato come x’ (oppure !x). 46

DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE Termine prodotto Un termine prodotto è il prodotto logico o congiunzione (AND) di più letterali. Un termine prodotto in cui compaiono letterali corrispondenti a tutte le variabili della funzione e tale per cui la configurazione di valori delle variabili definite dai letterali genera un valore 1 della funzione stessa nella tabella delle verità, costituisce un mintermine della funzione  Ad esempio, a’b’c e ab’c rappresentano due mintermini della funzione di cui si è prima data la tabella delle verità Un termine prodotto in cui compaiono solo alcuni dei letterali e che corrisponda a un insieme di 1 della funzione è denominato implicante. 47

DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE Termine somma (duale) Un termine somma è la somma logica o disgiunzione (OR) di più letterali. Un termine somma in cui compaiono letterali corrispondenti a tutte le variabili della funzione e tale per cui la configurazione di valori delle variabili definite dai letterali genera un valore 0 della funzione stessa nella tabella delle verità, costituisce un maxtermine della funzione  Ad esempio, a+b+c e a+b’+c rappresentano due maxtermini della funzione data Un termine somma in cui compaiono solo alcuni dei letterali e che corrisponda a un insieme di 0 della funzione è denominato implicato. 48

DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONEFunzioni Una funzione booleana di n variabili può essere espressa attraverso una espressione booleana di n variabili costituita da letterali, costanti, operatori AND, OR e NOT. 49

DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONEFunzioni Una funzione booleana di n variabili può essere espressa attraverso una espressione booleana di n variabili costituita da letterali, costanti, operatori AND, OR e NOT. Esempio di espressione booleana: f(a,b,c)=ab+a’c’ 50

DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONENota Il numero di espressioni booleane di n variabili definite su una algebra booleana B è infinito.  La relazione tra espressioni booleane e funzioni booleane non è 1 a 1 51

DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONENota Il numero di espressioni booleane di n variabili definite su una algebra booleana B è infinito.  La relazione tra espressioni booleane e funzioni booleane non è 1 a 1 52 a b c f(a,b,c)

DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONENota Il numero di espressioni booleane di n variabili definite su una algebra booleana B è infinito.  La relazione tra espressioni booleane e funzioni booleane non è 1 a 1 53 a b c f(a,b,c) f(a,b,c)= (a’*b’)’*a f(a,b,c)= a f(a,b,c)=...

DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE Ma quindi… 54

DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE Ma quindi… Si accettano soltanto numeri dispari, primi, oppure maggiori di tre  a: dispari  b: primi  c: maggiori di 3 55 Come calcoliamo il legame tra a, b, e c? a b c f(a,b,c)

DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE Ma quindi… Data una funzione booleana  ad esempio, mediante la tabella delle verità  il problema è identificare almeno una espressione booleana ad essa corrispondente 56 Come calcoliamo il legame tra a, b, e c? a b c f(a,b,c)

DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE Ma quindi… diventa... Data una funzione booleana  ad esempio, mediante la tabella delle verità  il problema è identificare almeno una espressione booleana ad essa corrispondente 57 Come calcoliamo l’espressione boolena? a b c f(a,b,c)

DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE Come calcolare l’espressione booleana Data una funzione booleana, la soluzione iniziale al problema di determinare una sua espressione consiste nel ricorso alle forme canoniche Le forme canoniche sono:  la forma somma di prodotti (SoP)  quella prodotto di somme (PoS) 58

DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE Prima forma canonica Mettendo in OR i mintermini della funzione si ottiene l’espressione booleana della funzione stessa (SoP) 59 a b f(a,b) f(a,b) = =

DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE Prima forma canonica Mettendo in OR i mintermini della funzione si ottiene l’espressione booleana della funzione stessa (SoP) 60 a b f(a,b) a b f 2 (a,b) a b f 1 (a,b) =+ f(a,b) =

DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE Prima forma canonica Mettendo in OR i mintermini della funzione si ottiene l’espressione booleana della funzione stessa (SoP) 61 a b f(a,b) a b f 2 (a,b) a b f 1 (a,b) =+ a’babf(a,b) +=

DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE Seconda forma canonica Mettendo in AND i maxtermini della funzione si ottiene l’espressione booleana della funzione stessa (PoS) 62 a b f(a,b) = f(a,b) =

DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE Seconda forma canonica Mettendo in AND i maxtermini della funzione si ottiene l’espressione booleana della funzione stessa (PoS) 63 a b f(a,b) a b f 2 (a,b) a b f 1 (a,b) =* f(a,b) =

DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE Seconda forma canonica Mettendo in AND i maxtermini della funzione si ottiene l’espressione booleana della funzione stessa (PoS) 64 a b f(a,b) a b f 2 (a,b) a b f 1 (a,b) =* a+ba’+b f(a,b) = *

DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE Il problema di partenza Si accettano soltanto numeri dispari, primi, oppure maggiori di tre  a: dispari  b: primi  c: maggiori di 3 65 a b c f(a,b,c)

DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE Prima forma canonica !a!bc 66 a b c f(a,b,c)

DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE Prima forma canonica !a!bc + !abc 67 a b c f(a,b,c)

DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE Prima forma canonica !a!bc + !abc + a!bc 68 a b c f(a,b,c)

DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE Prima forma canonica !a!bc + !abc + a!bc + ab!c 69 a b c f(a,b,c)

DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE Prima forma canonica !a!bc + !abc + a!bc + ab!c + abc 70 a b c f(a,b,c)

DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE Prima forma canonica !a!bc + !abc + a!bc + ab!c + abc 71 a b c f(a,b,c)

DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE Il problema Ridurre la complessità di una (o più) funzione(i) booleana(e) espressa(e) in forma di Prodotto di Somme o di Somma di Prodotti (SOP). Si considerano le forme canoniche come soluzioni iniziali 72

DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE Il problema Ridurre la complessità di una (o più) funzione(i) booleana(e) espressa(e) in forma di Prodotto di Somme o di Somma di Prodotti (SOP). Si considerano le forme canoniche come soluzioni iniziali Obiettivi  Riduzione del numero dei termini prodotto (principale)  Riduzione del numero di letterali (secondario) 73

DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE Si propone di identificare forme minime a due livelli applicando la regola di riduzione a Z + a' Z = (a+a') Z = Z con Z termine prodotto di n-1 variabili.  Esempio: abcd’ + ab’cd’ = acd’ Karnaugh

DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE Si propone di identificare forme minime a due livelli applicando la regola di riduzione a Z + a' Z = (a+a') Z = Z con Z termine prodotto di n-1 variabili.  Esempio: abcd’ + ab’cd’ = acd’ La riduzione può essere applicata iterativamente  Esempio: abc’d’+abc’d+abcd’+abcd= abc’(d’+d)+abc(d’+d) = abc’+abc = ab(c’+c) = ab Karnaugh

DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE Si propone di identificare forme minime a due livelli applicando la regola di riduzione a Z + a' Z = (a+a') Z = Z con Z termine prodotto di n-1 variabili.  Esempio: abcd’ + ab’cd’ = acd’ La riduzione può essere applicata iterativamente  Esempio: abc’d’+abc’d+abcd’+abcd= abc’(d’+d)+abc(d’+d) = abc’+abc = ab(c’+c) = ab Nota: si osservi che la applicazione della relazione identificata è applicata ad un numero di termini pari a 2 n quindi 2, 4, 8, Karnaugh

DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE Karnaugh sul nostro esempio f(a,b,c)= !a!bc + !abc + a!bc + ab!c + abc 77

DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE Karnaugh sul nostro esempio f(a,b,c)= !a!bc + !abc + a!bc + ab!c + abc !ac (!b + b) + a!bc + ab!c + abc 78

DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE Karnaugh sul nostro esempio f(a,b,c)= !a!bc + !abc + a!bc + ab!c + abc !ac (!b + b) + a!bc + ab!c + abc !ac + a!bc + ab!c + abc 79

DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE Karnaugh sul nostro esempio f(a,b,c)= !a!bc + !abc + a!bc + ab!c + abc !ac (!b + b) + a!bc + ab!c + abc !ac + a!bc + ab!c + abc !ac + a!bc + ab (!c + c) 80

DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE Karnaugh sul nostro esempio f(a,b,c)= !a!bc + !abc + a!bc + ab!c + abc !ac (!b + b) + a!bc + ab!c + abc !ac + a!bc + ab!c + abc !ac + a!bc + ab (!c + c) !ac + a!bc + ab 81

DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE 82

DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE Una mappa di Karnaugh è uno schema deducibile dalla rappresentazione geometrica delle configurazioni binarie. Definizione utili:  Distanza di Hamming: numero di bit che cambia nel passare da una configurazione binaria ad un’altra Esempio: la distanza di Hamming tra le configurazioni e è 3 poiché cambiano 3 bit. L’applicazione della regola di riduzione consiste nell’identificare le configurazioni binarie associate ai termini prodotto che sono a distanza di Hamming unitaria.  Esempio: i termini prodotto abcd’ e ab’cd’ corrispondono a 1110 e 1010 e sono a distanza di Hamming pari ad Mappe di Karnaugh

DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE Una funzione booleana a n variabili f: {0,1} n  {0,1} può essere rappresenta in modo comodo utilizzando una tabella della funzione o tabella della verità. In modo assolutamente equivalente una funzione a n variabili può essere associata ad una rappresentazione cartesiana in uno spazio a n dimensioni f(a,b,c)=ON set ( 001,011,101,110,111 ) Funzione in uno spazio n-D ON set = insieme di 1 della funzione

DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE Punti a distanza di Hamming 1 in n-D Nella rappresentazione cartesiana di una funzione in uno spazio a n dimensioni, collegando i vertici le cui configurazioni sono a distanza di Hamming unitaria si ottiene un n-cubo.  Spazio a 1 dimensione (1 variabile) È una linea, e l’ 1-cubo è un segmento: i due vertici sono associati alle configurazioni 0 e 1  Spazio a 2 dimensioni (2 variabili): È il piano, il 2-cubo è un quadrato che si ottiene dall’ 1-cubo per proiezione. Si premette 0 alle configurazioni dei vertici originali, 1 a quelle dei vertici proiettati

DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE  Spazio a 3 dimensioni (3 variabili) Il 3-cubo è un solido, che si ottiene dal 2- cubo per proiezione, premettendo 0 alle configurazioni dei vertici originali, 1 a quelle dei vertici proiettati Punti a distanza di Hamming 1 in n-D

DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE f(a,b,c)=ON set ( 001,011,101,110,111 ) Funzione in uno spazio n-D ON set = insieme di 1 della funzione

DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE f(a,b,c)=ON set ( 001,011,101,110,111 ) Funzione in uno spazio n-D a b c 1 0 dove ON set = insieme di 1 della funzione

DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE Di fatto, la rappresentazione in uno spazio a n dimensioni non è maneggevole  Quindi, si passa allo sviluppo nel piano dei cubi  Lo sviluppo nel piano di un 3-cubo implica il taglio del cubo  Il taglio deve mantenere intatta, concettualmente, la adiacenza fra vertici. Si presti molta attenzione all’ordinamento delle coordinate Ordinamento delle coordinate mantiene le distanze di Hamming e non coincide con la numerazione consecutiva Sviluppo nel piano dei cubi

DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE Di fatto, la rappresentazione in uno spazio a n dimensioni non è maneggevole  Quindi, si passa allo sviluppo nel piano dei cubi  Lo sviluppo nel piano di un 3-cubo implica il taglio del cubo  Il taglio deve mantenere intatta, concettualmente, la adiacenza fra vertici. Si presti molta attenzione all’ordinamento delle coordinate Ordinamento delle coordinate mantiene le distanze di Hamming e non coincide con la numerazione consecutiva a b c 1 0 dove a,b c    Sviluppo nel piano dei cubi

DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE Si ricorda che: un implicante è un termine prodotto in cui compaiono solo alcuni dei letterali a,b c,d F(a,b,c,d)=a’b’c’d’+a’b’cd’+a’bc’d’+ab’c’d+ ab’cd+ab’cd’ F(a,b,c,d)=a’b’d’+a’c’d’+... raggruppamento 1 raggruppamento2 Implicante 1 Implicante 2 raggruppamento 1 raggruppamento 2 Caratteristiche delle mappe

DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE 1.Individuare gli implicanti primi e primi essenziali;  Implicante primo Termine prodotto associato ad un raggruppamento di dimensione massima.  implicante primo essenziale Implicante primo che copre uno o più 1 non coperti da nessun altro implicante primo. 2.Copertura:  Scelta del minor numero di implicanti primi e primi essenziali implicanti implicanti primi implicanti primi essenzialiMetodo

DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE I dentificare una forma SoP che includa il numero minimo di implicanti e – a parità di numero di prodotti – gli implicanti col minimo numero di letterali (definita come forma minima) garantendo la copertura di tutti gli 1 della funzione. Teorema:  Esiste sicuramente una forma minima costituita da soli implicanti primi sulla mappa di Karnaugh si identificano tutti gli implicanti primi. –Nota: la somma di tutti gli implicanti primi è spesso ridondante.  Implicanti primi essenziali devono essere inclusi nella forma minima.  Una forma minima costituita da soli implicanti primi essenziali è unica Condizione sufficiente Scopo delle mappe

DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONEEsempio a,b c,d raccoglimento Raccoglimento di dimensione massima ERRORE: valido raccoglimento solo di 2,4,... 

DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE a,b c,d Raccoglimento di dimensione massima essenziale 1 appartenente ad un solo implicante primo Raccoglimento di dimensione massima  Esempio: continua

DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE Ad ogni raccoglimento è associato un termine prodotto. Il termine prodotto (implicante) è ottenuto:  identificando le variabili che non cambiano mai di valore  riportando ogni variabile in modo naturale (esempio: a) se il valore che essa assume è 1 in modo complementato (esempio: a’) se il valore da essa assunto è Definizione del termine prodotto

DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE a,b c,d a,b c,d b e d cambiano valore: non compaiono nel termine prodotto. a e c compaiono come 0 quindi a’ e c’. Il termine prodotto è a’c’. b e d cambiano valore: non compaiono nel termine prodotto. a e c compaiono come 0 quindi a’ e c’. Il termine prodotto è a’c’. d cambia valore b cambia valore  Identificazione del termine prodotto

DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE Sotto insieme degli implicanti identificati tale per cui nessun 1 della funzione rimane scoperto.  Poiché ogni implicante scelto aumenta il costo della realizzazione della funzione, il numero di implicanti da scegliere deve essere il minore possibile.  L’obiettivo è la riduzione del costo; questo si traduce nella identificazione della copertura di minima cardinalità: sotto insieme degli implicanti primi e primi ed essenziali identificati che realizza una copertura della funzione che è di cardinalità minima Copertura

DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE 1.Si scelgono tutti gli implicanti primi essenziali.  Gli implicanti primi essenziali devono essere parte della copertura poiché “sono essenziali” e, quindi, non è possibile fare a meno di loro. 2.Si eliminano tutti gli implicanti primi che sono coperti da quelli essenziali (eliminazione implicanti completamente ridondanti)  gli implicanti eliminati, detti completamente ridondanti, coprono degli 1 che sono già ricoperti da quelli essenziali e, quindi, non servono ed aumentano il costo. 3.Si seleziona il numero minore degli implicanti primi che sono rimasti.  gli implicanti residui sono detti parzialmente ridondanti Copertura: scelta implicanti

DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE E quindi, il nostro esempio… a b c f(a,b,c) a,b c

DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE E quindi, il nostro esempio… a b c f(a,b,c) Implicanti primi essenziali a,b c c

DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE E quindi, il nostro esempio… a b c f(a,b,c) c ab Implicanti primi essenziali a,b c

DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE E quindi, il nostro esempio… a b c f(a,b,c) c ab Implicanti primi essenziali a,b c f(a,b,c)= ab + c Forma minima

DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONEOsservazione Ma se la forma minima è f(a,b,c) = ab + c a,b c

DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONEOsservazione Ma se la forma minima è f(a,b,c) = ab + c La soluzione (S78) f(a,b,c) = !ac + a!bc + ab ? a,b c

DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONEOsservazione Ma se la forma minima è f(a,b,c) = ab + c La soluzione (S78) f(a,b,c) = !ac + a!bc + ab ? a,b c a,b c

DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE Problemi di fine giornata… Si scriva un programma in C che richiede l’inserimento di un numero intero positivo, se l’inserimento e’ errato ritorna un messaggio di errore Si scriva un programma in C che, dati due caratteri, li ordina in ordine alfabetico “inverso” 107

DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE Appendice (utile per la prox exe) 108

DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE 109 Tautologia  Una espressione logica che è sempre vera, per qualunque combinazione di valori delle variabili Esempio: principio del “terzo escluso”: A or not A (tertium non datur, non si dà un terzo caso tra l’evento A e la sua negazione) Contraddizione  Una espressione logica che è sempre falsa, per qualunque combinazione di valori delle variabili Esempio: principio di “non contraddizione”: A and not A (l’evento A e la sua negazione non possono essere entrambi veri) Tautologie e Contraddizioni

DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE 110 Due espressioni logiche si dicono equivalenti (e si indica con  ) se hanno la medesima tabella di verità. La verifica è algoritmica. Per esempio: A B not A and not B  not (A or B) and 1 = 1 not 0 = and 0 = 0 not 1 = and 1 = 0 not 1 = and 0 = 0 not 1 = 0 Espressioni logiche equivalenti modellano gli stessi stati di verità a fronte delle medesime variabili Equivalenza tra espressioni

DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE 111 Proprietà dell’algebra di Boole L’algebra di Boole gode di svariate proprietà, formulabili sotto specie di identità  cioè formulabili come equivalenze tra espressioni logiche, valide per qualunque combinazione di valori delle variabili

DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE Algebra Booleana a due valori: Assiomi Gli operatori descritti godono delle proprietà definite dai seguenti assiomi (postulati di Huntington):  Le operazioni di disgiunzione (+) e congiunzione (·) sono commutative, cioè per ogni elemento a,b  B a+b = b+a a·b = b·a  Esiste un elemento neutro (o identità) rispetto a + (indicato con 0) e un elemento neutro rispetto a · (indicato con 1), cioè: a+0=a a·1=a  Le due operazioni sono distributive rispetto all’altra, cioè per ogni a,b,c  B, risulta: a+(b·c)=(a+b)·(a+c) a·(b+c)=(a·b)+(a·c)  Per ogni a  B esiste l’elemento a ’  B, detto negazione logica o complemento di a, tale che: a+a ’ =1 a·a ’ =0 Vale per la somma rispetto al prodotto come per il prodotto rispetto alla somma – non esiste precedenza fra le due operazioni, occorre sempre immaginare le parentesi “sottintese” intorno a ogni applicazione di un’operazione.

DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE Algebra di Commutazione: Proprietà 1 1: associativa a+(b+c)=(a+b)+c a*(b*c)=(a*b)*c 2: idempotenza a+a=a a*a=a 3: elemento nullo a+1=1 a*0=0 4: unicità elemento inverso: il complemento di a, a’, è unico 5: assorbimento a+(a*b)=a a*(a+b)=a

DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE : Semplificazione a+a’b = a+b a*(a’+b) = a*b 7: involuzione ((a)’)’ = a 8: Leggi di De Morgan (a+b)’ = a’*b’ (a*b)’ = a’+b’ 9: consenso a*b+a’*c+b*c = a*b + a’*c (a+b)*(a’+c)*(b+c)=(a+b)*(a’+c) Algebra di Commutazione: Proprietà 2

DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE 115 Trasformare un’espressione logica in un’altra, differente per aspetto ma equivalente: not A and B or A  (assorbimento)  not A and B or (A or A and B)  (togli le parentesi)  not A and B or A or A and B  (commutativa)  not A and B or A and B or A  (distributiva)  (not A or A) and B or A  (legge dell’elemento 1)  true and B or A  (vero and B  B)  B or Aè più semplice dell’espressione originale Si può verificare l’equivalenza con le tabelle di verità Occorre conoscere un’ampia lista di proprietà e si deve riuscire a “vederle” nell’espressione (talvolta è difficile) Uso delle proprietà

DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE Fonti per lo studio + Credits Fonti per lo studio  Introduzione ai sistemi informatici, D. Sciuto, G. Buonanno, L. Mari, 4a Ed, McGrawHill Capitolo 2 Credits  Daniele Braga  Cristiana Bolchini htm