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TEORIA ELEMENTARE DEGLI INSIEMI
Teoria degli insiemi - IISS "E.Medi" Galatone - Prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2010/2011
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Il concetto di insieme In matematica la parola “insieme” si usa per indicare un raggruppamento, una raccolta di elementi La nozione di insieme e di elemento di un insieme saranno considerate come concetti primitivi Teoria degli insiemi - IISS "E.Medi" Galatone - Prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2010/2011
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Il concetto di insieme Un insieme si può considerare definito solo se è possibile decidere inequivocabilmente se un elemento appartiene o no all’insieme. Teoria degli insiemi - IISS "E.Medi" Galatone - Prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2010/2011
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Esempi di insieme L’insieme delle vocali dell’alfabeto italiano
L’insieme degli stati europei L’insieme dei numeri interi relativi L’insieme degli alunni della 3B Teoria degli insiemi - IISS "E.Medi" Galatone - Prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2010/2011
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Non sono insiemi I grandi fiumi d’Italia
Gli alunni intelligenti della 3B Le persone simpatiche I libri piacevoli Teoria degli insiemi - IISS "E.Medi" Galatone - Prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2010/2011
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Insieme finito e infinito
Se gli elementi di un insieme sono in numero limitato, l’insieme si dice finito Se gli elementi di un insieme non sono in numero limitato, l’insieme si dice infinito Teoria degli insiemi - IISS "E.Medi" Galatone - Prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2010/2011
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Sono finiti L’insieme delle vocali dell’alfabeto italiano
L’insieme degli stati europei L’insieme dei pianeti del sistema solare Teoria degli insiemi - IISS "E.Medi" Galatone - Prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2010/2011
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Sono infiniti L’insieme dei punti di un piano
L’insieme dei numeri interi relativi L’insieme dei numeri naturali pari Teoria degli insiemi - IISS "E.Medi" Galatone - Prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2010/2011
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Come si indicano gli insiemi e gli elementi di un insieme
Gli insiemi si indicano con le lettere maiuscole : A, B, C...... Gli elementi di un insieme si indicano con le lettere minuscole a,b,c Teoria degli insiemi - IISS "E.Medi" Galatone - Prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2010/2011
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Il simbolo di appartenenza
Per indicare che un elemento a appartiene ad un insieme A si usa il simbolo di appartenenza Teoria degli insiemi - IISS "E.Medi" Galatone - Prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2010/2011
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Simbolo di non appartenenza
Per indicare che un elemento a non appartiene ad un insieme A si usa il simbolo di non appartenenza Teoria degli insiemi - IISS "E.Medi" Galatone - Prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2010/2011
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Rappresentazione di un insieme
Un insieme può essere rappresentato in tre modi diversi: 1) rapprersentazione mediante i diagrammi di Eulero-Venn 2) rappresentazione tabulare o estensiva 3)rappresentazione intensiva cioè mediante la proprietà caratteristica Teoria degli insiemi - IISS "E.Medi" Galatone - Prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2010/2011
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Diagrammi di Eulero-Venn
x Teoria degli insiemi - IISS "E.Medi" Galatone - Prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2010/2011
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Rappresentazione tabulare
Gli elementi di un insieme sono elencati uno a uno per esteso racchiusi tra parentesi graffe X={0;1;2;3;4;5;6;7;8;9} Z={... -3;-2;-1;0;1;2;3;...} Teoria degli insiemi - IISS "E.Medi" Galatone - Prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2010/2011
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Rappresentazione intensiva
Gli elementi di un insieme sono individuati mediante una legge di appartenenza cioè mediante una proprietà caratteristica che consente di stabilire se un elemento appartiene o no ad un insieme A = {x / x è vocale dell’alfabeto } Teoria degli insiemi - IISS "E.Medi" Galatone - Prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2010/2011
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Esempi di rappresentazione intensiva
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Insiemi uguali Diremo uguali due insiemi A e B quando hanno esattamente gli stessi elementi e scriveremo A=B Teoria degli insiemi - IISS "E.Medi" Galatone - Prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2010/2011
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Esempio A = B Teoria degli insiemi - IISS "E.Medi" Galatone - Prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2010/2011
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{ } Insieme vuoto oppure
Un insieme la cui proprietà caratteristica non è soddisfatta è privo di elementi ed è vuoto Tutti gli insiemi vuoti coincidono Esiste, quindi, un solo insieme vuoto e lo indicheremo con i simboli oppure { } Teoria degli insiemi - IISS "E.Medi" Galatone - Prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2010/2011
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Insieme universo Quando si assegna un insieme mediante la proprietà caratteristica occorre indicare l’insieme universo da cui trarre gli elementi x dell’insieme. Teoria degli insiemi - IISS "E.Medi" Galatone - Prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2010/2011
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Insieme universo Consideriamo l’insieme
La sua caratterizzazione non è completa. Se x è un numero naturale A={2;3;4;5} Se x è un numero razionale A contiene infiniti elementi Teoria degli insiemi - IISS "E.Medi" Galatone - Prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2010/2011
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Esempio di insieme universo
t b c d f g h l m n p q r s v z A a e i o u Teoria degli insiemi - IISS "E.Medi" Galatone - Prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2010/2011
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Insieme universo Nel caso di insiemi numerici si conviene, se non si dice nulla, che l’insieme ambiente sia l’insieme dei numeri reali R Teoria degli insiemi - IISS "E.Medi" Galatone - Prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2010/2011
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Insieme di insiemi Gli elementi di un insieme possono essere a loro volta degli insiemi. Si ha allora un insieme di insiemi Teoria degli insiemi - IISS "E.Medi" Galatone - Prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2010/2011
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Esempio di insieme di insiemi
Sia C l’insieme delle classi della nostra scuola Ogni elemento di C è, a sua volta, un insieme di studenti Teoria degli insiemi - IISS "E.Medi" Galatone - Prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2010/2011
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Sottoinsiemi Considerati due insiemi A e B , si dice che B è un sottoinsieme di A quando ogni elemento di B appartiene anche ad A A B Teoria degli insiemi - IISS "E.Medi" Galatone - Prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2010/2011
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Sottoinsiemi L’insieme B può essere eventualmente uguale ad A oppure all’insieme vuoto In questo caso B è detto sottoinsieme improprio B è detto sottoinsieme proprio di A quando B non è vuoto ed esistono elementi di A che non appartengono a B Teoria degli insiemi - IISS "E.Medi" Galatone - Prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2010/2011
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Sottoinsiemi Da quanto detto si conviene che ogni insieme ammette come sottoinsiemi impropri se stesso e l’insieme vuoto Teoria degli insiemi - IISS "E.Medi" Galatone - Prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2010/2011
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Proprietà transitiva dell’inclusione
Siano A, B e C tre insiemi Teoria degli insiemi - IISS "E.Medi" Galatone - Prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2010/2011
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Proprietà transitiva dell’inclusione
B A Teoria degli insiemi - IISS "E.Medi" Galatone - Prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2010/2011
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Proprietà antisimmetrica dell’inclusione
A=B Teoria degli insiemi - IISS "E.Medi" Galatone - Prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2010/2011
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Insieme delle parti Dato un insieme A, si definisce insieme delle parti di A quell’insieme, indicato con P(A), che ha per elementi tutti i possibili sottoinsiemi di A (compresi quelli impropri ) Teoria degli insiemi - IISS "E.Medi" Galatone - Prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2010/2011
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Insieme delle parti : esempio
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Insieme delle parti Non indica l’insieme vuoto ma un insieme unitario il cui unico elemento è l’insieme vuoto Teoria degli insiemi - IISS "E.Medi" Galatone - Prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2010/2011
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Insieme delle parti Se con An indico in insieme con n elementi allora P(An) ha 2n elementi Teoria degli insiemi - IISS "E.Medi" Galatone - Prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2010/2011
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Operazioni fondamentali
Intersezione Unione Complementare Differenza Teoria degli insiemi - IISS "E.Medi" Galatone - Prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2010/2011
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Insieme intersezione Dati due insiemi A e B si chiama loro intersezione l’insieme degli elementi appartenenti sia ad A che a B In forma simbolica si scrive : Teoria degli insiemi - IISS "E.Medi" Galatone - Prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2010/2011
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Insieme intersezione B A
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Esempio A={-4;4} B={-4;1/3}
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Insieme unione Dati due insiemi A e B si chiama loro unione l’insieme degli elementi appartenenti ad A oppure a B In forma simbolica si scrive : Teoria degli insiemi - IISS "E.Medi" Galatone - Prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2010/2011
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Insieme unione A B Teoria degli insiemi - IISS "E.Medi" Galatone - Prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2010/2011
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Esempio Teoria degli insiemi - IISS "E.Medi" Galatone - Prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2010/2011
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Insieme complementare
Si definisce complementare di un insieme A rispetto ad un insieme ambiente U, l’insieme degli elementi di U che non appartengono ad A In forma simbolica si scrive : Teoria degli insiemi - IISS "E.Medi" Galatone - Prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2010/2011
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Insieme complementare
U CUA A Teoria degli insiemi - IISS "E.Medi" Galatone - Prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2010/2011
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Esempio Teoria degli insiemi - IISS "E.Medi" Galatone - Prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2010/2011
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Insieme differenza Si definisce differenza di due insiemi A e B considerati nell’ordine , l’insiene costituito dagli elementi di A che non appartengono a B In forma simbolica si scrive : Teoria degli insiemi - IISS "E.Medi" Galatone - Prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2010/2011
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Insieme differenza A-B A B
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Esempio Teoria degli insiemi - IISS "E.Medi" Galatone - Prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2010/2011
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Proprietà delle operazioni
proprietà di idempotenza Teoria degli insiemi - IISS "E.Medi" Galatone - Prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2010/2011
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Proprietà delle operazioni
proprietà commutativa Teoria degli insiemi - IISS "E.Medi" Galatone - Prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2010/2011
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Proprietà delle operazioni
proprietà associativa Teoria degli insiemi - IISS "E.Medi" Galatone - Prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2010/2011
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Proprietà delle operazioni
Legge di assorbimento Teoria degli insiemi - IISS "E.Medi" Galatone - Prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2010/2011
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Proprietà delle operazioni
proprietà distributiva Teoria degli insiemi - IISS "E.Medi" Galatone - Prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2010/2011
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Proprietà delle operazioni
complementarietà Teoria degli insiemi - IISS "E.Medi" Galatone - Prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2010/2011
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Proprietà delle operazioni
leggi di De Morgan Teoria degli insiemi - IISS "E.Medi" Galatone - Prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2010/2011
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Coppia ordinata Definizione Si dice coppia ordinata un insieme di due elementi, presi in un certo ordine. La scrittura (a;b) indica la coppia ordinata di primo elemento a e di secondo elemento b Teoria degli insiemi - IISS "E.Medi" Galatone - Prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2010/2011
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Prodotto cartesiano Definizione Dati due insiemi A e B, si chiama prodotto cartesiano di A e B, e si indica con la scrittura AxB l’insieme di tutte le coppie ordinate con primo elemento in A e secondo elemento in B Teoria degli insiemi - IISS "E.Medi" Galatone - Prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2010/2011
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Esempio Teoria degli insiemi - IISS "E.Medi" Galatone - Prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2010/2011
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Prodotto cartesiano Se A contiene m elementi e B ne contiene n, allora AxB contiene m*n elementi Il prodotto cartesiano non è commutativo Se uno dei due insiemi è vuoto prodotto cartesiano è vuoto Teoria degli insiemi - IISS "E.Medi" Galatone - Prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2010/2011
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Rappresentazione cartesiana del prodotto
B A (a1,b2) (a2,b2) (a3,b2) (a1,b1) (a2,b1) (a3,b1) a1 a2 a3 b1 b2 Teoria degli insiemi - IISS "E.Medi" Galatone - Prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2010/2011
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Intervalli Siano a e b due numeri reali con a<b ; si chiama intervallo chiuso di estremi a e b e lo si denota con [a, b], l’insieme di tutti i numeri reali x compresi tra a e b, inclusi a e b In simboli : Teoria degli insiemi - IISS "E.Medi" Galatone - Prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2010/2011
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Intervalli Siano a e b due numeri reali con a<b ; si chiama intervallo aperto di estremi a e b e lo si denota con (a, b), l’insieme di tutti i numeri reali x compresi tra a e b, esclusi a e b In simboli : Teoria degli insiemi - IISS "E.Medi" Galatone - Prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2010/2011
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Intervalli Si può parlare anche di intervalli aperti a sinistra e chiusi a destra oppure chiusi a sinistra e aperti a destra In simboli : Teoria degli insiemi - IISS "E.Medi" Galatone - Prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2010/2011
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Intervalli illimitati
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Esercizio 1 Dire, specificandone il motivo, se formano un insieme
gli studenti diligenti di una classe le città più importanti d’Italia l’insieme dei numeri naturali minori di 30 l’insieme dei numeri naturali pari l’insieme delle lettere della parola PANE Teoria degli insiemi - IISS "E.Medi" Galatone - Prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2010/2011
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Esercizio 2 Grecia appartiene ad A ? Atene appartiene ad A ?
Sia A l’insieme degli stati europei; si può scrivere : Grecia appartiene ad A ? Atene appartiene ad A ? Teoria degli insiemi - IISS "E.Medi" Galatone - Prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2010/2011
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Esercizio 3 Scrivere l’insieme dei numeri dispari minori di 14 e rappresentarlo in più modi Indicare l’insieme dei numeri pari compresi tra 9 e 20 in più modi diversi Rappresentare l’insieme dei numeri naturali divisibili per 5 Teoria degli insiemi - IISS "E.Medi" Galatone - Prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2010/2011
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Esercizio 4 Enunciare la proprietà che caratterizza l’insieme A={6, 8, 10, 12} Rappresentare in modo intensivo l’insieme A={3, 4, 5, 6, 7} Rappresentare l’insieme A={x/2<x<13, x numero naturale} Teoria degli insiemi - IISS "E.Medi" Galatone - Prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2010/2011
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Esercizio 5 B = {0; 1; 2; 3} C = {0;2;3}
Quali dei seguenti insiemi sono uguali ? B = {0; 1; 2; 3} C = {0;2;3} F = { y / y è un triangolo con 5 lati} Teoria degli insiemi - IISS "E.Medi" Galatone - Prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2010/2011
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Esercizio 6 Dato l’insieme A ={a;b;c}, dire quali tra le seguenti affermazioni sono errate : Teoria degli insiemi - IISS "E.Medi" Galatone - Prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2010/2011
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Esercizio 7 Dati gli insiemi A = { a;b;c} B = { b;d} C = {a;b} dire se le seguenti affermazioni sono vere o false : Teoria degli insiemi - IISS "E.Medi" Galatone - Prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2010/2011
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Esercizio 8 Stabilire se i seguenti insiemi sono uguali :
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Esercizio 9 Dato l’insieme A = {m;n;p}, indicare l’insieme delle parti P(A) Dare un esempio di insieme A il cui insieme delle parti abbia 2 elementi Se A= {a}, è esatto scrivere Teoria degli insiemi - IISS "E.Medi" Galatone - Prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2010/2011
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Esercizio 10 Se A={0;3;5} e P(A) è l’insieme delle parti di A, dire quali delle seguenti scritture sono vere : Teoria degli insiemi - IISS "E.Medi" Galatone - Prof. Giuseppe Frassanito - a.s. 2010/2011
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