Istituto Tecnico Nautico“Gen.Rotundi” Manfredonia Teoria E Tecnica Dei Trasporti Marittimi ELEMENTI GEOMETRICI E MECCANICI DELLE CARENE DRITTE Alunno POTA Domenico Prof. Giovanni TOTARO Classe IV T.M a.s 2011/2012

Mediante il piano di costruzione è possibile eseguire i calcoli per determinare: a) L’area delle varie linee d’acqua e delle varie ordinate b) I volumi delle carene dritte c) Le ascisse Xg dei centri dei galleggiamenti isoclini d) Le coordinate Xc e Zc dei baricentri dei volumi delle varie carene dritte e) I momenti d’inerzia delle singole linee d’acqua sia rispetto al loro asse baricentrico longitudinale, sia rispetto al loro asse baricentrico trasversale.

Considerato che la carena non è un solido matematicamente definito cioè non è possibile avere un’equazione matematica che esprima la sua superficie si ricorre a metodi di quadratura approssimata, di cui comunemente usati sono: Il Metodo Di Bèzout o dei trapezi e quello di Simpson o delle parabole (Coniche).

Étienne Bézout (Nemours, 31 marzo 1730 – Avon, 27 settembre 1783) è stato un matematico francese. Diventato matematico dopo aver letto dei lavori di Eulero, Bézout insegnò nelle scuole militari, divenendo anche esaminatore ai concorsi per l'ammissione in Marina; gli fu assegnato il compito di scrivere un libro di testo per questi corsi, che, con il nome di Cours de mathématiques à l'usage des Gardes du Pavillon et de la Marine, fu pubblicato in quattro volumi tra il 1764 e il 1769, e in seguito ampliato. Bézout si occupò di algebra, in particolare nel campo delle equazioni: nel 1764 pubblicò Sur le degré des équations résultantes de l'évanouissement des inconnues, uno scritto sulla risoluzione di sistemi di equazioni lineari, definendo per ricorrenza una quantità equivalente al determinante dei coefficienti del sistema. Nel suo lavoro Théorie générale des équations algébraiques, del 1779, dimostrò il teorema di Bézout, che afferma che due curve algebriche di grado (rispettivamente) m ed n si intersecano in generale in mċn punti. Formulò anche l'identità di Bézout per polinomi.

Si suddivide mezza linea d’acqua in n strisce, mediante ordinate equidistanti del valore Δx, ritenendo tali strisce trapezi.

Le ordinate Y₀, Y₁, ……. Y n rappresentano le semi larghezze della linea d’acqua rilevate dal piano di costruzione. A =  x ( Y₁ + Y₂ + ……. + Y n )

Thomas Simpson (Market Bosworth, 20 agosto 1710– Market Bosworth, 14 maggio 1761) è stato un matematico britannico. È noto soprattutto per il procedimento di calcolo approssimato integrali definiti chiamato comunemente regola di Simpson o anche regola di Cavalieri-Simpson. A lui viene attribuita pure la formulazione della variabile casuale di Simpson. Era figlio di un tessitore che desiderava che il figlio continuasse la sua attività, ma Simpson si appassiona agli studi e si dedica alla matematica da autodidatta, trascurando gli interessi paterni al punto da essere allontanato dalla famiglia. Dopo un'eclissi di sole si dedica alla astrologia e ottiene una certa fama locale di indovino. Dopo uno sfortunato tentativo di "scacciare un diavolo" da una ragazza presunta indemoniata, lui e la moglie sono costretti a fuggire a Derby. Nel 1734 o nel 1735 con la moglie si trasferisce a Londra dove lavora come tessitore a Spitalfields e si dedica all'insegnamento itinerante della matematica; come altri, la insegna nei locali pubblici. Si dice anche che frequentasse compagnie di bassa estrazione; alcuni hanno però sostenuto che fu costretto a causa del suo allontanamento dalla famiglia e che avesse comunque mantenuto una condotta irreprensibile. Nel 1737 scrive un primo libro di calcolo infinitesimale e nel 1740 viene ammesso alla Accademia Reale di Stoccolma. Dopo il 1743 Simpson insegna matematica alla Royal Military Academy in Woolwich. Prosegue nella redazione di vari libri che riguardano argomenti quali il calcolo infinitesimale, il calcolo delle probabilità, l'algebra, la geometria, la trigonometria a l'astronomia.

Ogni strisca compresa tra due ordinate di indice pari si ritiene limitata superiormente da un arco di parabola e quindi costituita da un trapezio e da un segmento parabolico. Risultando l’area di quest’ultimo uguale ai 2/3 dell’area del parallelogramma ad esso circoscritto, si avrà quale valore dell’area della prima striscia.

A = 2/3 Δx ( Y₀ + 4Y₁ + 2Y₂+ ….. + Y n )

Con analoghi procedimenti si ricavano le aree delle varie ordinate.

Metodo Bèzout: B= 2 Δz (Y₀/2 + Y₁+ Y₂+ … Y n ) Metodo Simpson: B= 2/3 Δz (Y₀ + 4Y₁ + 2Y₂+ … + Y n )

Le aree delle linee d’acqua e delle ordinate possono essere rappresentati mediante due grafici. Vediamo come, calcolando o l’area racchiusa dal grafico delle linee d’acqua rispetto all’asse x, e l’area racchiusa dal grafico delle ordinate rispetto all’asse y, si ottiene il volume di carena

Infatti, considerando una striscia elementare avente come lati B e dx si avrà quale valore del volume elementare di carena: dv= B dx

Considerando una striscia elementare avente per lati A e dx, si avrà come valore del volume elementare di carena: dv= A dz

V =  x ( B 0 /2+ B₁ + B₂ + ……. + B n /2 ) (Bézout) V =  z ( A 0 /2+ A₁ + A₂ + ……. + A n /2 ) (Bézout) V = 1/3 Δx ( B₀ + 4B₁ + 2B₂+ 4B3 + ….. + Bn/2 ) (Simpson) V = 1/3 Δz ( A₀ + 4A₁ + 2A₂ + ….. + 4A n-1 + A n ) (Simpson)

Un valore approssimato del volume di carena può essere determinato mediante la formula del NORMAND: V= 0.85 / 0.90 A B / l In cui: A è l’area della figura di galleggiamento; B è l’area della sezione maestra immersa; l è la larghezza massima della nave al galleggiamento; 0.85 va considerato per navi di forme fini e 0.90 va considerato per navi di forme piene.