“ La coperta di Penelope ” : Una situazione problema dalla ricerca didattica Da una ricerca di C. Sabena, F. Arzarello, L. Bazzini, F. Ferrara e B. Villa RELAZIONI E FUNZIONI: DIDATTICA

Sperimentazione attuata nell ’ anno scolastico , all ’ interno di un Progetto Comenius denominato ‘ Dial:connect ’. Otto classi quinte delle scuole di San Mauro Situazione problematica ideata da E. Bulgarelli e S. Ghilardi per il Progetto collaborativo di Ricerca MIUR del 2002 e basata sulla storia di Penelope narrata nell ’ Odissea Attività: “ La coperta di Penelope ”

L ’ attività è composta di cinque parti: 1° parte  Risoluzione in piccoli gruppi della situazione problematica 2° parte  Discussione guidata dall ’ insegnante: costruzione di tabella e grafico (Excel) 3° parte  Interpretazione di vari grafici 4° parte  Costruzione di nuove tabelle e nuovi grafici 5° parte  Questionari valutativi

La storia La storia è un adattamento della nota vicenda omerica di Penelope, moglie di Ulisse, che nell ’ attesa del ritorno del marito, inganna i pretendenti, i Proci, tessendo di giorno una tela che poi di notte disfa. Nell ’ adattamento, si è evitato di parlare della notte, per non introdurre una ulteriore complessità al problema.

La storia Nell'isola di Itaca, Penelope attendeva da ormai dieci anni il ritorno dalla guerra del marito Ulisse. A Itaca, però, molti uomini volevano prendere il posto di Ulisse e sposare Penelope, per diventare re ed impadronirsi delle ricchezze di Ulisse.

La storia Penelope non voleva sposare un altro uomo, ma non sapeva come fare. Proprio quel giorno, però, la dea Minerva le disse che Ulisse stava tornando, ma che la sua nave avrebbe impiegato 50 giorni per arrivare ad Itaca. Penelope era felice, finalmente avrebbe potuto riabbracciare suo marito. I pretendenti, però, volevano che Penelope scegliesse tra loro il suo nuovo sposo e che stabilisse al più presto il giorno delle nozze. Per attendere il suo ritorno senza farli insospettire, doveva quindi riuscire a convincere i pretendenti ad aspettare ancora, ma come fare? Ad un tratto le venne un'idea....

La storia Penelope radunò subito i pretendenti e disse loro: "Ho deciso, sceglierò tra voi il mio sposo e le nozze si celebreranno quando avrò finito di tessere una nuova coperta per il letto matrimoniale. Incomincerò oggi e prometto di tessere ogni due giorni; quando avrò finito, la coperta sarà la mia dote di sposa". I pretendenti accettarono. La coperta doveva essere lunga 15 spanne. Penelope iniziò subito il lavoro, ma un giorno tesseva una spanna di coperta, mentre il giorno dopo, di nascosto, ne disfaceva la metà.... Liberamente tratto dall ’ Odissea Penelope dovrà sposare uno dei pretendenti, o Ulisse arriverà prima che la coperta sia completata?

Risoluzione in piccoli gruppi - La prima parte della storia viene letta dall ’ insegnante ad alta voce per verificare la comprensione del testo (i pretendenti, la dea Minerva, ecc.) - Agli allievi, divisi in gruppi di 2-4, viene quindi consegnato il testo e si chiede di cominciare il lavoro: devono produrre una soluzione e una giustificazione scritta - P ossano usare materiali a loro scelta (carta, colla, stoffa, ecc.) e organizzare la soluzione come preferiscono (disegni, grafici, operazioni..) 1° parte

Ora tocca a voi: 1) Risolvete il problema. 2) Pensate ad almeno due strategie che potrebbero seguire dei bambini di classe V primaria. 3) Quali conoscenze e competenze matematiche sono in gioco in questa attività?

Nella soluzione del problema gli allievi hanno usato materiali a piacimento. In generale tutti hanno disegnato molto, impiegando più e più fogli – come se la rappresentazione grafica fosse il più immediato strumento di espressione. Però alcuni gruppi hanno anche usato pennarelli, ad esempio raccogliendone 50 come i giorni da conteggiare. In altri casi sono stati impiegati fogli di scottex e pezzi di spugna, tagliati e sistemati per rappresentare il lavoro di Penelope Gr.1 Cl.5°B Costa Gr.4 Cl.5° B Morante Soluzioni: strumenti utilizzati

Le soluzioni al problema sono state molto diverse e fantasiose, ma quattro sono risultate prevalenti: - I blocchi di 2 o di 4 giorni - La linea dei 50 giorni - I giorni con segno di cancellazione - Il ‘dimezzare’ Le strategie risolutive

In ogni classe, qualche gruppo ha identificato o il ‘ blocco di 2 ’ o il ‘ blocco di 4 ’ ovvero ha compreso che Penelope tesse mezza spanna in 2 giorni o 1 spanna in 4 giorni. Ne sono risultate vere e proprie tabelle. Gr. 1 Cl. 5° A Costa I blocchi di 2 o di 4 giorni

Molti allievi hanno diligentemente disegnato tutti i 50 giorni, controllando giorno per giorno cosa avveniva Gr.2 Cl.5° A Costa La linea dei 50 giorni

Moltissimi gruppi hanno disegnato giorni e poi cancellato, come se dovessero in qualche modo riprodurre visivamente il lavoro effettivo Gr.6 Cl. 5°A Morante Gr.1 Cl.5° B Catti I giorni con segno di cancellazione

Infine, in alcune classi, alcuni gruppi di livello alto hanno prodotto soluzioni solo aritmetiche, basate su un ragionamento di dimezzamento/raddoppiamento “ Giorni 50 : 2 = 25 giorni che Penelope tesse, giorni lavorativi Spanne 1: 2 = 0,5 spanne, metà spanna scucita ogni giorno Giorni 25 X 0,5 = 12,5 costruito. Gr.1 Cl. 5° A Catti Il ‘ dimezzare ’

Un esempio di soluzione ‘ fantasiosa ’ Gr.4 Cl.5° A Costa Questa rappresentazione condensa sia il passare del tempo scandito dal ‘ fare ’ e dal ‘ disfare ’ – cerchi grandi e cerchi piccoli, in orizzontale –, sia la costruzione della coperta che procede per mezze spanne – lungo la linea verticale.

Discussione collettiva L ’ insegnante conduce una discussione di classe in cui: -fa esplicitare le diverse strategie e i ragionamenti che le hanno prodotte -vengono esplicitati ed analizzati gli errori commessi -Guida ad un confronto tra strategie: somiglianze, differenze, economicità - prepara un cartellone che riassume le soluzioni. Nello scambio tra gli allievi e nella interazione tra allievi ed insegnante, il nuovo sapere prende forma e si consolida 2° parte

Dalle varie soluzioni l ’ insegnante guida verso la costruzione di una tabella che illustra come Penelope lavori ogni giorno; con questa si costruisce il relativo grafico. 1)Costruite una tabella che illustri come Penelope lavori ogni giorno. 2)A partire dalla tabella, costruite il grafico. Discussione collettiva Tocca a voi:

2° parte La tabella e il grafico possono essere costruiti con Excel. L ’ uso di Excel è in molte classi un approccio a tecnologie nuove. L ’ approccio risulta agevolato perché si tratta di trasporre una vicenda già conosciuta. Discussione collettiva

La tabella.... e il grafico GIORNICOSA FA PENELOPESPANNE ,50,5 311,5 4-0, ,5 712,5 8-0, ,52,5 1113,5 12-0, ,53,5 eccetera…………..

3° parte Interpretare grafici Vengono forniti i seguenti tre grafici, che gli allievi devono interpretare individualmente 2 3 1

Discussione sui grafici e costruzione di tabelle Discussione delle interpretazioni dei grafici Costruzione delle relative tabelle 1)Interpretate i tre grafici dati e costruite le relative tabelle. 2)Quali prevedete che possano essere le difficoltà incontrate dagli allievi? Quale grafico risulterà di più difficile interpretazione? Tocca a voi:

Interpretare grafici 1 La linea orizzontale continua che segna il passare dei giorni mentre Penelope non lavora, è un ostacolo cognitivo di rilievo, perché contrasta con il senso comune (qualcosa che va avanti mentre si è fermi). Tale ostacolo inerente i grafici di funzione è riscontrabile anche in allievi più grandi. Sono sorte principalmente delle difficoltà sull ’ interpretazione del primo grafico, dove la linea continua orizzontale indica non un lavoro, ma il riposo di Penelope.

L ’ analisi quantitativa conferma questa analisi: neanche metà degli allievi sa render conto del lavoro di Penelope:

Anche nel produrre le tabelle, è la tabella del 1° grafico a creare difficoltà perché l ’ andamento è molto irregolare: 1 – – 0 – 1 – 0,5 – 0,5 – 0,5 – 1 – 0 – 0 – 0 – 1 -

2 La comprensione del 2° grafico è migliore: qui Penelope fa ogni giorno una spanna, senza mai disfare o fermarsi

3 La quasi totalità degli allievi lo interpreta correttamente, riconoscendo in esso il ‘ fare ’ e ‘ disfare ’ di Penelope della storia originaria

4° parte Costruire da soli tabelle e grafici nuovi Gli allievi devono costruire, individualmente o a gruppetti di 2, tabelle e grafici secondo queste indicazioni (in carta-matita o con Excel): - nei giorni pari non lavora, nei giorni dispari tesse due spanne. - fa due spanne di coperta nei giorni dispari e ne disfa una nei giorni pari PENELOPE Quest ’ ultima attività viene anche considerata una verifica delle conoscenze acquisite

Creare tabelle e grafici Penelope nei giorni pari non lavora, nei giorni dispari tesse due spanne. 1

Una buona percentuale di allievi (80%) comprende come lavora Penelope, ma la costruzione del grafico presenta più difficoltà: assi, segni di graduazione, linee, spaziature, sono difficoltà per la buona realizzazione del grafico. L ’ impressione è che gli allievi, nonostante il lungo lavoro, abbiano ancora poca dimestichezza con questo strumento. Però chi ha lavorato con Excel è più abile e fa meno errori.

Penelope fa due spanne di coperta nei giorni dispari e ne disfa una nei giorni pari 2

Anche la comprensione di questo secondo quesito è buona (78%) ma il grafico, pur più semplice – perché “ Penelope lavora come nella storia vera, soltanto che in quella originale inizia a cucire 1 spanna e non 2 come qui ” - continua a presentare difficoltà:

Sia nell ’ interpretare grafici che nel creare nuove tabelle nuovi grafici, il contesto della storia non viene dimenticato -“ Mentre disegnavo ho pensato che se Penelope avesse lavorato così avrebbe sposato un altro uomo perché Ulisse non arrivava in tempo ” Giada, 5°B Costa - “ Mentre disegnavo pensavo se Penelope ce la faceva a non sposare un altro, ma con questo metodo non ce l ’ avrebbe fatta ” Davide, 5° B Catti - “ Mi sono chiesto se Ulisse sarebbe tornato in tempo ” Vittorio, 5 A Catti - “ Pensavo che se Penelope avesse lavorato così Ulisse sarebbe stato deluso… Penelope avrebbe dovuto sposare un altro uomo. Povero Ulisse! ” Francesca, 5°B Costa

In tutte le classi la storia ha suscitato grande interesse perché: -intrigava come una soap opera (dovrà sposare o no un pretendente?) - si doveva scoprire la conclusione (quanta coperta fa in 50 giorni?) - era palese l ’ astuzia della protagonista (Penelope è arguta..) Penelope per noi è stata molto furba perché è riuscita a imbrogliare tutti. (Gr.3 5° A Morante)..l’ingegno di Penelope..era lì l’inganno della storia e abbiamo lavorato su quello, che era un punto simpatico. ( 5° B Morante)..era tutto un mistero sapere se sposa un pretendente o resta con Ulisse. ( 5° B Morante ) L ’ importanza del contesto

In tre classi è stata data una versione della storia dove si chiedeva agli allievi solo quante spanne di coperta sono tessute in 8 giorni (senza fare riferimento alla questione del matrimonio). In tali classi, la storia sembra essere meno coinvolgente, le risposte sono più tecniche, ‘ interne ’ alla matematica senza ‘ coinvolgimenti emotivi ’. L ’ importanza del contesto

La comprensione del testo: Spesso gli allievi hanno letto e riletto la storia per comprenderne tutti gli aspetti, ponendo attenzione anche ai particolari. Il ritorno continuo al testo: - perché è significativo e coinvolgente; - per collegare questi particolari all ’ aspetto matematico.

L ’ importanza del contesto In tre classi c ’ erano esperienze pregresse di tessitura: lì gli allievi hanno risolto il problema più velocemente, sovente anche disegnando la coperta. Gr.3 Cl. 5° B Costa Per afferrare il ‘ fare ’ ‘ disfare ’ di Penelope è stato fondamentale conoscere il processo di tessitura; senza questa conoscenza ‘ extra- matematica ’ la comprensione del problema non avviene.

L ’ importanza del contesto Il contesto (della storia, delle situazioni problematiche) non è neutro, ma è declinato emotivamente a seconda delle esperienze pregresse e pertanto va scelto con grande attenzione

5° parte Autovalutazioni Insegnanti ed allievi esprimono un giudizio sul lavoro svolto rispondendo a dei questionari. Per gli allievi della classe dell ’ ins. Villa (la classe pilota della sperimentazione) il questionario è di trenta domande aperte. Per gli allievi delle altre classi, di altrettante domande a risposta chiusa individuate sulla base delle risposte al primo questionario Per gli insegnanti i questionari sono due, prima e dopo l ’ attività, per misurare aspettative e risultati

Cosa emerge dai questionari Cosa ti è piaciuto di più della storia? n% L’astuzia di Penelope 9162,3 Immaginare come finiva la storia 2517,1 Il fare e disfare Altro149,6 Quali principali questioni o concetti hai imparato attraverso la storia ? n% Che dietro una tabella c’è una regola matematica Ad usare Excel A scoprire regole matematiche altro1913

l ’ utilizzo di Excel, usato in molte classi per la prima volta, è piaciuto ai bambini: Luigi: “La parte che mi è piaciuta di più è stata..quando facevamo le tabelle con Excel, perché una volta che hai imparato ti viene facile e io poi, non so gli altri, ci ho preso gusto”. Tiziana: “La risoluzione dei problemi con Excel: è stata una cosa divertente perché metteva in pratica tutte le conoscenze matematiche nuove”. Cosa emerge dai questionari

Alcuni aspetti emersi dai questionari l ’ utilizzo di Excel ha anche fornito una nuova prospettiva sulla matematica: Simona: “..ho scoperto che si possono fare delle tabelle su Excel e che si possono animare i grafici. Francesca: “ho scoperto che ci sono delle leggi da mettere per fare le tabelle sul computer e che per la soluzione dei problemi i grafici sono utili. Stefania: “adesso so capire i grafici cioè cosa vogliono dire, così poi sappiamo risolvere i problemi in un altro modo.

L ’ utilizzo di Excel L ’ uso di Excel connota positivamente l ’ attività, aggiunge delle abilità (legate all ’ interpretazione di grafici) e cambia quindi la comprensione delle conoscenze matematiche coinvolte nell ’ attività.

Cosa emerge dai questionari Hai fatto delle scoperte all ’ interno del progetto ? n% La discussione è utile per risolvere problemi Le regole matematiche dietro i problemi Le regole matematiche dietro le tabelle altro Cosa ti ha motivato di più in questo progetto? n% Sapere la fine della storia Curiosità L’uso del computer altro42.7

Le opinioni delle insegnanti Questo progetto ha avuto successo? Si, mi è piaciuto molto; anche agli allievi è piaciuto. La storia ha colpito la loro immaginazione; qualcuno la conosceva, ma questa versione era diversa perché conteneva aspetti matematici e contenuti avvincenti Quali fattori hanno contribuito al successo del progetto? La storia stessa, il personaggio di Penelope; qualche gruppo addirittura ha inventato parti aggiuntive…;l ’ uso del computer; tabelle e grafici con Excel

Le opinioni delle insegnanti In quali modi gli allievi sono stati attivamente coinvolti nell ’ apprendimento? Gli allievi hanno discusso molto durante il lavoro di gruppo: hanno imparato a discutere, a formulare congetture. Quali particolari requisiti richiede all ’ insegnante questo tipo di approccio ? Questo approccio richiede sia agli insegnanti che agli allievi più cooperazione e più tempo perché le soluzioni sono costruite lentamente con l ’ apporto di tutti. E ’ utile dividere la classe in piccoli gruppi