Triennio 1Preparazione giochi di Archimede - Triennio

PROBLEMA 1 Quante sono le coppie ordinate di interi (a, b), con 1 < a < 2000, 1 < b < 2000 tali che il minimo comune multiplo fra a e b è uguale a 2000? (A)14 (B) 20 (C) 24 (D) 40 (E) 48

CONSIDERIAMO CHE 2000= 2 4 x5 3 QUINDI a=2 x x5 y b=2 t x5 w DOVE x,t=0,1,2,3,4 E y,w=0,1,2,3 PRENDIAMO x=4, DUNQUE y NON PUÒ ESSERE 3, ALTRIMENTI a=2000, PERTANTO w SARÀ NECESSARIAMENTE 3. A QUESTO PUNTO y=0,1,2 E t=0,1,2,3. CI SONO QUINDI 3x4=12 COMBINAZIONI DIVERSE DI ESPONENTI. ACCADE LO STESSO SE INVECE t=4. QUINDI CI SONO 12x2=24 POSSIBILITÀ (C)

PROBLEMA 2 In quanti modi si possono disporre 3 ragazzi e 3 ragazze per una foto di gruppo, sistemando i 3 ragazzi accovacciati e le 3 ragazze in piedi dietro di loro? (A) 9 (B) 24 (C) 36 (D) 54 (E) 81

CONSIDERIAMO L’ORDINE DEI 3 RAGAZZI. IL PRIMO LO POSSIAMO SCEGLIERE FRA TUTTI E TRE, IL SECONDO FRA I DUE RIMANENTI E IL TERZO è UNA SCELTA OBBLIGATA (L’UNICO CHE RIMANE). QUINDI LI POSSO METTERE IN 3x2x1=6 MODI DIVERSI. LO STESSO VALE PER LE RAGAZZE. CI SONO QUINDI 6x6=36 COMBINAZIONI POSSIBILI (C)

PROBLEMA 3 Quanti sono gli anagrammi della parola TAVOLI? (A)72 (B) 266 (C) 480 (D) 652 (E) 720

IL RAGIONAMENTO è ANALOGO AL PROBLEMA 2 QUINDI POSSIAMO ORDINARE LE LETTERE IN 6x5x4x3x2x1=6!=720 MODI DIVERSI CHE CORRISPONDONO A 720 ANAGRAMMI (E)

PROBLEMA 4 Quanti anagrammi ha la parola MATEMATICA? (A) (B) (C) (D) (E) 10!

ANCORA UNA VOLTA SI RAGIONA COME PER I PROBLEMI 2 E 3. QUESTA VOLTA, PERÒ, ALCUNE LETTERE SONO UGUALI. CONSIDERIAMO COME SE FOSSERO DIVERSE: M 1 A 1 T 1 E M 2 A 2 T 2 I C A 3 DIVIDIAMO POI IL RISULTATO PER GLI ANAGRAMMI DI M 1 M 2, T 1 T 2, A 1 A 2 A 3 QUINDI ABBIAMO 10!/3!x 2!x 2!= ANAGRAMMI DIVERSI (A)

PROBLEMA 5 Un ladro ha visto Marco legare la propria bicicletta usando un lucchetto con una combinazione di 4 cifre (ciascuna cifra va da 0 a 9). Non è riuscito a vedere la combinazione ma ha scoperto che almeno due cifre consecutive sono uguali. Qual è il numero massimo di combinazioni che il ladro dovrà provare per rubare la bicicletta a Marco? (A) 2160 (B) 2710 (C) 2830 (D) 3000 (E) nessuna delle precedenti

CONTIAMO LE COMBINAZIONI DEL TIPO xyww CON x, y E w TUTTE DIVERSE. SONO 10x9x8 E SONO TANTE QUANTE QUELLE DEL TIPO xyyw E QUELLE DEL TIPO xxyw LE COMBINAZIONI xyyy SONO TANTE QUANTE LE xxxy E SONO 10x9 QUELLE DEL TIPO xxyx E xyxx SONO 90x2 = 180 INFINE LE xxyy SONO 10x9 (TANTE QUANTE LE xyyx) E LE xxxx SONO 10. PERTANTO IL NUMERO DI COMBINAZIONI È 720x3 + 90x2 + 90x2 + 90x = 2710 (B)

PROBLEMA 6 Carla si è dimenticata la password di accensione del suo nuovissimo computer! Si ricorda però che è una sequenza di 4 vocali, non necessariamente distinte, di cui due sono maiuscole e due sono minuscole. Quante password diverse deve provare Carla, al massimo, per accendere il computer? (A) 3x5 4 (B) 5 5 (C) 6x5 4 (D) 5 6 (E) 3x5 6

SCHEMATIZZIAMO LE LETTERE COSÌ: AAaa, AaAa, AaaA, aaAA, aAaA, aAAa ESSENDO LE VOCALI 5, AVREMO 6x5 4 COMBINAZIONI POSSIBILI (C)

PROBLEMA 7 Quante parole si possono scrivere con le lettere “T R A T T O R I A” aventi tutte le consonanti consecutive? (A) 600 (B) 704 (C) 1512 (D) 1704 (E) 15120

SCRIVIAMO “(TRTTR) AOIA” E FACCIAMO GLI ANAGRAMMI CONSIDERANDO UN UNICO BLOCCO LE PARENTESI VENGONO 60 ANAGRAMMI FACCIAMO POI GLI ANAGRAMMI DELLE LETTERE INTERNE ALLA PARENTESI CHE SONO 10 QUINDI OTTENIAMO UN TOTALE DI 10x60=600 ANAGRAMMI (A)

PROBLEMA 8 Un papà ha 10 monete da 1 Euro. In quanti modi diversi (anche ingiusti) può distribuire le monete ai suoi 4 figli? (A)86 (B)186 (C)286 (D)386 (E)486

IN PROBLEMI COME QUESTO È MOLTO UTILE IL METODO DEI SEPARATORI INDICHIAMO LE MONETE CON “O” E I SEPARATORI CON “I” AVREMO 3 SEPARATORI CHE DIVIDONO LE MONETE PER I 4 FIGLI AD ESEMPIO “OOIOOOIIOOOOO” VUOL DIRE CHE IL PRIMO RICEVE 2 MONETE, IL SECONDO 3 IL TERZO 0 E IL QUARTO 5 ANAGRAMMANDO QUESTA STRANA PAROLA OTTENIAMO TUTTI I CASI POSSIBILI,OVVERO 286 (C)

PROBLEMA 9 Un papà ha 10 caramelle (uguali). In quanti modi (anche ingiusti) può distribuirle alle sue 4 figlie tenendone eventualmente anche qualcuna per se (anche tutte!)? (A)286 (B)514 (C)816 (D)1001 (E)4004

CONSIDERIAMO COME SE IL PAPÀ FOSSE UN ALTRO FIGLIO… 1001 MODI (D)

PROBLEMA 10 Vogliamo regalare una scatola contenente 15 cioccolatini. I gusti disponibili sono: caffè, fragola, latte, mandorla e nocciola. Inoltre vogliamo che ce ne siano almeno 3 al caffè, 1 al latte, 2 alla mandorla, 3 alla nocciola e non più di 2 alla fragola. In quanti modi possiamo comporre la scatola? (A)144 (B) 175 (C) 230 (D) 263 (E) 345

CONSIDERIAMO CHE 9 CIOCCOLATINI SONO GIÀ DETERMINATI DEGLI ALTRI 6 SOLO 0,1,2 POSSONO ESSERE ALLA FRAGOLA SE SONO 0 ABBIAMO 6 CIOCCOLATINI DA DIVIDERE IN 4 TIPI (84 MODI) SE SONO 1 ABBIAMO 5 CIOCCOLATINI PER 4 TIPI (56 MODI) SE SONO 2 ABBIAMO 4 CIOCCOLATINI PER 4 TIPI (35 MODI) PER UN TOTALE DI 175 MODI (B)

PROBLEMA 11 Quanti sono i monomi nelle variabili x, y, z, w aventi tutti coefficiente 1 e grado non superiore a 10? (A) 286 (B) 572 (C) 888 (D) 1001 (E) 1554

QUESTI MONOMI SONO DEL TIPO x a y b z c w d DOVE a+b+c+d AL MASSIMO È 10 IL PROBLEMA EQUIVALE QUINDI A DETERMINARE IN QUANTI MODI POSSIAMO DISTRIBUIRE 10 ELEMENTI A 4 PERSONE TENENDONE EVENTUALMENTE ALCUNI PER NOI LA SOLUZIONE È QUINDI 1001 (D)

PROBLEMA 12 Ho a disposizione cinque cifre uguali a 1 ed una cifra uguale a 2. Usando tutte o alcune di queste cifre, quanti numeri diversi posso costruire? (A)15 (B) 21 (C) 24 (D) 26 (E) 27

USANDO SOLO CIFRE “1” SI POSSONO SCRIVERE 1, 11, 111, 1111, UTILIZZANDO LA CIFRA “2” POSSIAMO COSTRUIRE UN NUMERO DA UNA CIFRA (2) DUE NUMERI DA DUE CIFRE (12, 21) TRE NUMERI DI TRE CIFRE, E COSÌ VIA… PER UN TOTALE DI = 26 (D)

PROBLEMA 13 Qual è la probabilità che, estratti due numeri interi a caso (anche uguali) compresi fra 1 e 12 (estremi inclusi), il loro prodotto sia multiplo di 5? (A)1/5 (B)11/36 (C)5/24 (D)1/4 (E) nessuna delle precedenti

IL PRODOTTO SARÀ MULTIPLO DI 5 SE ALMENO UNO DEI DUE NUMERI È MULTIPLO DI 5 I CASI SFAVOREVOLI SONO 10/12 OGNI VOLTA QUINDI 10X10/12X12=100/144=25/36 I RESTANTI CASI FAVOREVOLI SONO 1-25/36=11/36 (B)

GRAZIE DELL’ATTENZIONE A GIOVEDÌ PROSSIMO Matteo Passafiume