DEFINIZIONE. Due grandezze si dicono proporzionali se il rapporto che le lega può essere espresso mediante una proporzione numerica. Le grandezze direttamente proporzionali Consideriamo il numero di riviste vendute da un’edicola. Se ogni rivista costa € 3 si ha che il ricavo è: 1 copia € 3 2 copie € 6 5 copie € 15 7 copie € 21 Poiché quando la prima grandezza raddoppia, raddoppia anche la seconda, quando la prima triplica, triplica anche la seconda e così via, possiamo dire che le grandezze hanno un rapporto costante. DEFINIZIONE. Due grandezze variabili x e y si dicono direttamente proporzionali se il rapporto tra x e y è costante. ESEMPIO 1 Le applicazioni della proporzionalità

Le grandezze direttamente proporzionali Il coefficiente k si chiama coefficiente di proporzionalità diretta e può assumere qualsiasi valore diverso da zero. REGOLA. Il grafico della proporzionalità diretta è una semiretta passante per l’origine x y y x = k In generale se indichiamo con k il coefficiente del rapporto, possiamo scrivere Per rappresentare due grandezze direttamente proporzionali possiamo utilizzare un diagramma cartesiano o una rappresentazione tabulare. Riferendoci all’esempio considerato otteniamo: 2 Le applicazioni della proporzionalità

DEFINIZIONE. Due grandezze variabili x e y si dicono inversamente proporzionali se il prodotto fra x e y è costante. Le grandezze inversamente proporzionali Consideriamo 50 ragazzi in un campeggio estivo con una scorta d’acqua di 400 litri. Se ogni ragazzo beve 0,5 litri a testa durata scorta 16 giorni 2 litri a testa durata scorta 4 giorni 1 litro a testa durata scorta 8 giorni ESEMPIO Se la prima grandezza (x) raddoppia, la seconda (y) dimezza e viceversa. Se la prima triplica, la seconda diventa 1/3 e così via. In questo caso le due grandezze hanno il prodotto costante cioè: 3 Le applicazioni della proporzionalità

Le grandezze inversamente proporzionali Il coefficiente k si chiama coefficiente di proporzionalità inversa e può assumere qualsiasi valore diverso da zero. REGOLA. Il grafico della proporzionalità inversa è un ramo di iperbole equilatera. 0,5 litri1 litro2 litri8 litri 16 gg8 gg4 gg1 gg x y x  y = k In generale se indichiamo con k il coefficiente del prodotto, possiamo scrivere Per rappresentare due grandezze inversamente proporzionali possiamo utilizzare un diagramma cartesiano o una rappresentazione tabulare. Riferendoci all’esempio considerato otteniamo: 4 Le applicazioni della proporzionalità

I problemi del tre semplice diretto ESEMPIO Stefano ha speso 8 € per l’acquisto di 10 quaderni. Se avesse acquistato 14 quaderni quanto avrebbe speso? Le grandezze in esame sono direttamente proporzionali in quanto raddoppiando, triplicando ecc… il numero dei quaderni, raddoppia, triplica ecc… il loro costo. Poiché quando due grandezze sono direttamente proporzionali il rapporto tra valori corrispondenti è costante, avremo: che si risolve con il calcolo Continua 5 Le applicazioni della proporzionalità

I problemi del tre semplice diretto Osserviamo che per costruire la proporzione risolvente si può seguire il seguente schema: Numero di quaderni Costo in Euro 8 x che è equivalente a quella del problema (10 : 8 = 14 : x) perché si ottengono una dall’altra applicando la proprietà del permutare i medi e poi dell’invertire. REGOLA. Per risolvere un problema del tre semplice diretto: si traccia lo schema dei dati; si disegnano due frecce aventi lo stesso verso; si costruisce la proporzione risolutiva seguendo il verso delle frecce. REGOLA. Per risolvere un problema del tre semplice diretto: si traccia lo schema dei dati; si disegnano due frecce aventi lo stesso verso; si costruisce la proporzione risolutiva seguendo il verso delle frecce. Seguendo il verso delle frecce è possibile scrivere la proporzione: 6 Le applicazioni della proporzionalità

I problemi del tre semplice inverso ESEMPIO Per coprire il tetto di una casa servono 2000 tegole di 800 cm 2 ciascuna. Se usassimo tegole da 500 cm 2 ciascuna, quante ne occorrerebbero? Le grandezze in esame sono inversamente proporzionali in quanto raddoppiando la superficie di ciascuna tegola, si dimezza il numero delle tegole. Poiché quando due grandezze sono inversamente proporzionali il prodotto tra valori corrispondenti è costante, avremo: che si risolve con il calcolo Continua cioè la proporzione 7 Le applicazioni della proporzionalità

I problemi del tre semplice inverso Osserviamo che per costruire la proporzione risolvente si può seguire il seguente schema: Superficie di una tegola 800 cm cm 2 Numero di tegole 2000 x REGOLA. Per risolvere un problema del tre semplice inverso: si traccia lo schema dei dati; si disegnano due frecce aventi verso opposto; si costruisce la proporzione risolutiva seguendo il verso delle frecce. REGOLA. Per risolvere un problema del tre semplice inverso: si traccia lo schema dei dati; si disegnano due frecce aventi verso opposto; si costruisce la proporzione risolutiva seguendo il verso delle frecce. Seguendo il verso delle frecce è possibile scrivere la proporzione: che è equivalente a quella del problema. 8 Le applicazioni della proporzionalità

I problemi di ripartizione semplice diretta ESEMPIO Tre fratelli devono dividersi un’eredità di € in parti proporzionali alle loro età. Quanto spetterà a ciascuno sapendo che hanno rispettivamente 36, 32 e 28 anni? a)Indichiamo con x, y, z le quote che spettano a ciascun fratello. Poiché devono essere direttamente proporzionali ai numeri 36, 32 e 28, possiamo scrivere la seguente serie di rapporti b)Applichiamo la proprietà del comporre relativa ad una serie di rapporti Continua 9 Le applicazioni della proporzionalità

I problemi di ripartizione semplice diretta c)Poiché x + y + z = e = 96: da cui : 96 = y : 32 x =  36 : 96 = (€) 10 Le applicazioni della proporzionalità da cui (€) : 96 = y : 32y =  32 : 96 = da cui (€) : 96 = y : 32 z =  28 : 96 = 43750

I problemi di ripartizione semplice inversa ESEMPIO Tre comuni investono € per costruire un ponte. La somma va divisa in parti inversamente proporzionali alle distanze dei comuni dal ponte. Quale sarà la spesa sostenuta da ogni comune sapendo che distano rispettivamente 5 km, 6 km e 12 km? b)Applichiamo la proprietà del comporre Continua a)Indichiamo con x, y, z le quote di denaro che devono pagare i tre comuni. Tali quote sono inversamente proporzionali a 5, 6 e 12, di conseguenza direttamente proporzionali agli inversi di questi numeri 11 Le applicazioni della proporzionalità

c)Poiché x + y + z = e da cui (€) da cui (€) da cui (€) 12 I problemi di ripartizione semplice inversa Le applicazioni della proporzionalità

DEFINIZIONE. La percentuale è un rapporto che ha come conseguente 100. Le percentuali 13 Le applicazioni della proporzionalità Per risolvere un problema sulle percentuali si deve impostare e risolvere la proporzione Parte percentuale Totale Tasso percentuale

Le percentuali Nel corso di un’intervista presso una scuola è risultato che su 300 studenti 120 praticano sport. ESEMPIO Possiamo esprimere lo stesso rapporto in relazione a 100 mediante l’uguaglianza Possiamo dire che il 40% degli studenti pratica uno sport. 14 Le applicazioni della proporzionalità Risolvendola otteniamo 120  100 : 300 = 40 che equivale alla proporzione 120 : 300 = x : 100