Sistemi di equazioni lineari

Sistemi di primo grado di due equazioni a due incognite Risolvere un sistema significa trovare la coppia di valori x e y che, sostituita alle incognite, rende le equazioni delle identita'. Come prima cosa bisogna ridurre il sistema in forma normale, cioe' mettere i termini con la x e con la y prima dell'uguale ed i termini noti dopo l'uguale.

Sistemi lineari Si chiama sistema di m equazioni lineari in n incognite la struttura :

Sistemi lineari

Considereremo solo sistemi di equazioni lineari n xn (quadrato) perché ad essi ci si può sempre ricondurre. Un sistema di equazioni lineari può essere posto nella forma sintetica : In cui A è la matrice dei coefficienti del sistema, x è la matrice colonna delle incognite del sistema, b è la matrice colonna dei termini noti del sistema …..cos’è una «matrice»?????

Matrici e determinanti

Una matrice è una disposizione rettangolare ordinata di numeri, detti gli elementi della matrice. Questa è strutturata in righe e colonne. Una matrice rettangolare m x n contiene pertanto m righe ed n colonne. Le due scritture seguenti identificano la medesima matrice di 3 righe e 4 colonne 3 righe 4 colonne

Matrici e determinanti Una matrice con un egual numero di righe e colonne cioè del tipo nxn si dirà una matrice quadrata di ordine n. Allora le seguenti matrici sono, nell'ordine, una matrice quadrata di ordine 2 e 3

Matrici e determinanti In generale quindi una matrice potrà assumere la forma Ad esempio:

Matrici e determinanti Ad ogni matrice si può associare un numero: il determinante della matrice. Per esempio, i determinanti che contraddistinguono le due matrici sopra si simbolizzano come

Calcolo del determinante di una matrice Per il determinante di secondo ordine si pone ossia lo si considera pari alla differenza del prodotto dei termini appartenenti alla diagonale principale della matrice con quello dei termini della diagonale secondaria.

Calcolo del determinante di una matrice In seguito a questa definizione è facile verificare che, se nelle due righe compaiono elementi corrispondenti proporzionali, allora il determinante è nullo. Difatti le espressioni sono del tutto equivalenti: ma dalla a 11 a 22 = a 12 a 21, portando tutto a primo membro si ottiene l'espressione nulla del determinante.

Calcolo del determinante di una matrice Per estendere tale regola al calcolo di determinanti di matrici di ordine superiore al secondo osserviamo che per la matrice quadrata del terzo ordine possiamo costruire il numero e quindi procedere come nel caso dei determinanti del secondo ordine. Come si vede si è moltiplicato ciascun elemento della prima riga per il determinante di un ordine inferiore ottenuto omettendo la riga e la colonna del termine in considerazione e infine si sono sommati i tre prodotti così ottenuti. il secondo termine a differenza degli altri due possiede un coefficiente negativo

Calcolo del determinante di una matrice  il determinante non cambia se lo sviluppo viene eseguito rispetto agli elementi di una qualsiasi altra riga (e non solo della prima) o qualsiasi colonna  Il valore di un determinante non cambia se si scambiano le righe con le colonne, cioè  Lo scambio di due righe o due colonne di un determinante equivale a moltiplicarlo per -1.  Moltiplicare tutti gli elementi di una riga (o di una colonna) per un numero  equivale a moltiplicare  per il determinante  Se tutti gli elementi di una riga (o di una colonna) sono nulli allora lo è pure il determinante.

Calcolo di un determinante con il metodo di Laplace Il metodo di Laplace permette di calcolare il determinante di una matrice (quadrata) con un procedimento ricorsivo. Si hanno due metodi di Laplace, il primo cosiddetto "per righe" e il secondo "per colonne".

Calcolo di un determinante con il metodo di Laplace Sviluppo di Laplace (rispetto alla riga i-esima) La formula dello sviluppo di Laplace rispetto alla riga i-ma di una matrice A di ordine n è la seguente: |A| = a ij det A ij dove A ij è la sottomatrice ottenuta da A cancellando la i-ma riga e la j-ma colonna. Il determinante det A ij è detto minore complementare dell'elemento a ij ; il prodotto (-1) i+j det A ij è detto complemento algebrico.

Calcolo di un determinante con il metodo di Laplace Primo teorema di Laplace: il determinante di una matrice quadrata A è pari alla somma dei prodotti degli elementi di una riga qualsiasi per i rispettivi complementi algebrici.

Calcolo di un determinante con il metodo di Laplace Si consideri la matrice A = Calcoliamo il determinante sviluppando rispetto alla prima riga, ovvero det A = (-1) 1+1 1·det A 11 + (-1) ·det A 12 + (-1) 1+3 1·det A ·det det A = det - 0· det

Calcolo di un determinante con il metodo di Laplace Si ottiene così det A = (1)(1)(1·1 - 4·3) + (-1)(0)(2·1 - 0·3) + (1)(1)(2·4 - 0·1) = = -3 Verificare che applicando lo sviluppo di Laplace rispetto ad un'altra riga ad esempio la terza, si ottiene lo stesso numero.

Calcolo di un determinante con il metodo di Laplace Sviluppo di Laplace rispetto ad una colonna Si può dimostrare che lo sviluppo di Laplace rispetto ad una qualsiasi colonna individua sempre il determinante ovvero: |A| = a ij det A ij Secondo teorema di Laplace: il determinante di una matrice (quadrata) A è pari alla somma dei prodotti degli elementi di una colonna qualsiasi per i rispettivi complementi algebrici.

Calcolo di un determinante con il metodo di Laplace Osservazione Il calcolo del determinante di una matrice di dimensione 4 x 4, sviluppando ad esempio rispetto alla prima riga, è pari a: det A= a 11 det A 11 - a 12 det A 12 + a 13 det A 13 - a 14 detA 14 dove adesso le sottomatrici A 11, A 12, A 13,A 14 sono di dimensioni 3 x 3 quindi per completare il calcolo dobbiamo riapplicare lo sviluppo di Laplace a tali sottomatrici. Ovviamente nel selezionare una riga o una colonna per applicare lo sviluppo di Laplace si sceglierà quella che contiene il maggior numero di zeri allo scopo di ridurre al minimo i calcoli necessari. In ogni caso per matrici di grandi dimensioni il numero dei calcoli diviene enorme e il tempo richiesto per eseguirli può diventare lungo anche per un elaboratore elettronico.

Regola di Sarrus per le matrici quadrate di ordine 3 Nel caso di una matrice quadrata di ordine 3, è possibile calcolare il determinante con la regola di Sarrus: si accostano alla terza colonna della matrice la prima e la seconda colonna, ovvero:

Regola di Sarrus Quindi si esegue la somma dei prodotti degli elementi situati sulle diagonali di colore blu e si sottrae la somma dei prodotti degli elementi situati sulle diagonali di colore rosso, ovvero det A = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 - a 13 a 22 a 31 - a 11 a 23 a 32 - a 12 a 21 a 33

Prodotto di matrici righe per colonne Date due matrici A e B la prima di tipo mxn e la seconda di tipo nxp è possibile definire un prodotto, detto prodotto righe per colonne, nel modo seguente: si considera la prima matrice come un accostamento di righe e la seconda come un accostamento di colonne e si eseguono i prodotti dei vettori.

Prodotto di matrici righe per colonne Sia A una matrice m x n e B una matrice n x k, si definisce prodotto tra le matrici A e B la matrice C = A B il cui generico elemento c i,j è la somma dei prodotti degli elementi della i-esima riga di A per i corrispondenti elementi della j-esima colonna di B, ovvero = La matrice prodotto C ha tante righe quante sono le righe di A e tante colonne quante sono le colonne di B.

Prodotto di matrici righe per colonne Esempio Si considerino le matrici A= B= Poichè A ha dimensione (2 x 3) e B (3 x 4) è possibile eseguire il prodotto tra queste due matrici e la dimensione di C = A B è (2 x 4). L'elemento di posto c 11 è dato dal prodotto scalare tra la prima riga di A e la prima colonna di B ovvero: = (2·1+1·2+(-1)·(-1)) = 5 …….. = C = A B =

Prodotto di matrici righe per colonne

Matrice Trasposta Data una matrice, si chiama matrice trasposta la matrice che ha per colonne le righe di A La matrice che si ottiene dalla matrice A scambiandone le righe con le colonne si chiama matrice trasposta di A e si indica con A T. Se A è di tipo [m; n], A T e di tipo [n;m].

Matrice inversa Sia A una matrice quadrata di ordine n. Si definisce matrice inversa di A o più semplicemente inversa di A e si indica con il simbolo A -1 la matrice quadrata (se esiste) di ordine n tale che A A -1 = A -1 A = I

Matrici invertibili Se una matrice A ha inversa allora A è detta invertibile o non singolare - Se una matrice ha una riga di zeri (ad esempio la prima riga), il prodotto tra tale matrice ed una qualsiasi altra dello stesso ordine produrrà sempre la prima riga tutta nulla di conseguenza una tale matrice non è invertibile in quanto la definizione di inversa richiede che in ogni riga ci sia un elemento uguale ad 1.

Matrici invertibili Poiché due matrici sono uguali se hanno gli stessi elementi, deve risultare: in questo sistema le variabili sono x, y, z, t e si tratta in realtà di due sistemi di due equazioni in due incognite.

Matrici invertibili Esempio Si consideri la matrice A = e una qualsiasi matrice B dello stesso ordine, ad esempio B =. Risulta AB = diverso da e quindi A non è invertibile. - Se una matrice è diagonale allora è invertibile se e solo se gli elementi sulla diagonale a ii sono non nulli; in tal caso l'inversa è ancora una matrice diagonale con elementi uguali a 1/ a ii

Matrici invertibili anche se una matrice ha elementi tutti diversi da zero non è detto che sia invertibile Sia A= Verifichiamo utilizzando la definizione che la matrice A non è invertibile, ovvero che non esiste una matrice B tale che A B = B A = I. Denotiamo con B = La matrice cercata. Deve risultare: =

Matrici invertibili se e solo se x, y, z, t verificano i seguenti sistemi: Poichè il primo membro della seconda equazione è il doppio della prima, il sistema risulta impossibile e quindi A non ammette inversa.

Matrici invertibili Condizione necessaria e sufficiente per l’invertibilità di una matrice quadrata si consideri una matrice generica di dimensioni 2 x 2 A= E' possibile dimostrare che: Teorema La matrice A è invertibile se e solo se a 11 a 22 - a 21 a 12 ≠ 0, In tal caso la matrice inversa di A è

Minori di una matrice Sia A una matrice rettangolare m x n. Da questa matrice è possibile “estrarre” delle matrici quadrate p x p dove p ≤ min(m, n). Il determinate di ciascuna di queste matrici si chiama minore di ordine p della matrice A. Esempio: data la matrice 3x3 il suo unico minore di ordine 3 corrisponde al determinante della stessa mentre sono suoi minori di ordine 2 i seguenti determinanti :

Matrici, determinanti e sistemi lineari Nell'ambito della teoria riguardante i sistemi lineari di primo grado, queste regole facilitano la risoluzione dei sistemi contenenti 2 o più incognite.

Sistemi lineari In cui A è la matrice dei coefficienti del sistema, x è la matrice colonna delle incognite del sistema, b è la matrice colonna dei termini noti del sistema

Sistemi lineari Ovvero: Matrice nxn Matrice colonna (nx1)

Sistemi lineari Nel caso che det A ≠ 0 sia ha l’importante teorema: - se A è invertibile (det A ≠ 0) il sistema A x = b ha la sola soluzione Il sistema può essere risolto utilizzando il metodo della matrice inversa.

Sistemi lineari Il sistema, equivalentemente, può essere risolto utilizzando il metodi di Cramer:

Sistemi lineari Il sistema di equazioni lineari Ax = b ha una ed una sola soluzione se la matrice A è invertibile, ovvero se det A ≠ 0. Nei casi in cui la matrice A non è invertibile, cioè quando det A = 0, si può avere nessuna soluzione oppure infinite soluzioni (in funzione di uno o più parametri indipendenti).

Esempi si vogliano risolvere i sistemi :

Risolvere sia manualmente con il metodo di riduzione a gradini che al calcolatore, usando il metodo matriciale, i seguenti sistemi di equazioni lineari: