Geologia strutturale 2016 Strain Prof. Stefano Vitale

Cos’è lo strain? Per strain intendiamo qualsiasi variazione di lunghezze e angoli, ovvero la variazione della posizione delle particelle che formano il materiale Vettore spostamento Una deformazione si dice omogenea se trasforma una figura semplice in un’altra figura semplice, ad esempio un cerchio in ellisse o un quadrato in un parallelogramma o rettangolo.

In natura la deformazione spesso non è omogenea, tuttavia è possibile suddividere il corpo deformato in volumi più piccoli all’interno dei quali la deformazione può essere approssimata come omogenea. indeformato deformato

Esempi di strain omogeneo trilobite ooidi Oncoidi, intraclasti, peloidi clasti

Esempi di strain non omogeneo pieghe Esempi di strain non omogeneo Flexural slip Tangential-longitudinal strain Shear zone eterogenee

Tipi di deformazione z z z Traslazione Stato iniziale Rotazione x x x omogenea Distorsione z Tipi di deformazione Dilatazione z z Taglio semplice Taglio puro x x x z Distorsione non omogenea Generalmente sussistono tutti i tipi di deformazione, tuttavia possiamo stabilire quale domina, come la traslazione nei sovrascorrimenti, la rotazione nelle pieghe, aumento di volume nelle vene, diminuzione di volume nelle stiloliti, taglio semplice e puro nelle shear zone Non omogenea x

La scelta del sistema di riferimento è molto importante per studiare la deformazione perché da esso dipende il vettore spostamento!!!! Sistema di riferimento solidale ad un punto comune (spigolo) ed un asse parallelo ad un lato Sistema di riferimento solidale ad un punto comune Sistema di riferimento solidale alla stanza

Si può studiare la deformazione a diverse scale d’osservazione…. mega-scala macro-scala meso-scala milli-scala micro-nano-scala

deformazione Il concetto di deformazione omogenea o non omogenea dipende dalla scala di osservazione!!!! omogenea Non omogenea omogenea Non omogenea omogenea

ATTENZIONE! Il percorso deformativo (strain path) che ha portato ad una certa configurazione non è unico, inoltre i tipi di deformazione possono essere molteplici, sincroni o diacroni. compattazione Diminuzione di volume isotropa Taglio puro Taglio puro Diminuzione di volume isotropa

La storia deformativa può essere suddivisa in contributi incrementali dello strain la cui somma finale è chiamata strain finito. Stato iniziale Strain incrementale Strain finito n volte Lo strain finito può essere diverso dallo strain incrementale. Se lo strain incrementale si mantiene costante per tutta la durata della deformazione, questa è detta stato-stazionaria (steady state).

Estensione e o longitudinal strain deformazione Per definire la deformazione omogenea di un corpo ci servono una serie di parametri, i più importanti sono il longitudinal strain e lo shear strain Estensione e o longitudinal strain Raccorciamento e < 0 Strain in 1D L1 L1 < L0 L0 Allungamento e > 0 L1 L1-L0 e= L1 > L0 L0 La mela si è allungata o raccorciata (orizzontalmente)?

Strain in 2D deformazione z Lz-L0 ez= L0 Lx Lx-L0 ex= Lz L0 L0 x Questa deformazione è Pure Shear (taglio puro) se: (1+e1)(1+e2)=1 Altrimenti è Pure Shear+Volume Change (variazione di volume), in questo caso: (1+e1)(1+e2) =D+1 Dove D=variazione di area (in 2D)

deformazione Indicare in quale campo si trovano queste strutture

deformazione Lz-L0 -1<e<∞ Strain in 3D ez= L0 z Ly-L0 Lz y ey= L0 Ly L0 x Lx Lx-L0 ex= L0 In genere le estensioni lungo x, y e z sono denominate e1, e2, e3 Questa deformazione è Pure Shear se: (1+e1)(1+e2)(1+e3)=1 Altrimenti è Pure Shear+Volume Change , in questo caso: D = (1+e1) (1+e2) (1+e3) -1 Dove D=variazione di volume (in 3D)

D>0 dilatazione; D<0 contrazione deformazione Cubo di lato 10 cm Strain in 3D: esempio 7 cm 10 cm 30 cm L0=10cm Lx=30cm Ly=10cm Lz=7cm e1=(30-10)/10=2 e2=(10-10)/10=0 e3=(7-10)/10=-0.3 k1=1+e1=3 k2=1+e2=1 k3=1+e3=0.7 Variazione di volume D D>0 dilatazione; D<0 contrazione D=k1*k2*k3-1=(1+e1)(1+e2)(1+e3)-1 D=3*1*0.7-1=1.1 quindi aumento del volume del 110%

Ci sono dei parametri associati: Stiramento-elongazione k=1+e k=L/L0 deformazione Ci sono dei parametri associati: Stiramento-elongazione k=1+e k=L/L0 Estensione quadratica l=(1+e)2 Estensione naturale e=ln(1+e) 0<k<∞ 0< l <∞ -∞ < e <∞

deformazione Cubo di lato 10 cm Strain in 3D: esempio 7 cm 10 cm 30 cm L0=10cm Lx=30cm Ly=10cm Lz=7cm e1=(30-10)/10=2 e2=(10-10)/10=0 e3=(7-10)/10=-0.3 Rxz=(1+e1)/(1+e3)=3/0.7=4.3 Rxy=(1+e1)/(1+e2)=3/1=3 Ryz=(1+e2)/(1+e3)=1/0.7=1.4 k=(Rxy-1)/(Ryz-1)=2/0.4=8 d=((Rxy-1)2+(Ryz-1)2)1/2=2.04 =1/3((ln(Rxy))2+(ln(Ryz))2+(ln(Rxz))2)1/2=0.62

Algebra matriciale Descrizione matematica della deformazione La deformazione omogenea essendo una variazione della posizione dei punti di un corpo può essere descritta da un sistema di equazioni. Ad esempio in 2D: Che possono essere scritte come prodotto la matrice D che rappresenta la deformazione e il vettore posizione ovvero Prodotto riga per colonna tra una matrice ed un vettore Prodotto riga per colonna tra due matrici

kxky=1 kxkykz=1 TAGLIO PURO Nessuna variazione di volume kx kx D= D= kx D= D= ky ky kz kxky=1 kxkykz=1 Con uno degli stiramenti uguali a uno

Taglio puro deformazione Tipi di deformazione omogenea in 2D: e1=(Lx-L0)/L0 e2=(Lz-L0)/L0 Lz L0 Lx k1 Nel caso di taglio puro k2=1/k1 D= k2 e1=(25-10)/10=1.5 k1=1+e1=2.5 k2=1/k1=1/2.5=0.4 E2=k2-1=-0.6 (Lz-10)/10=-0.6 Lz=4cm Esempio: L0=10cm Lx=25cm Lz=?

deformazione Tipi di deformazione omogenea in 2D: aumento Variazione di volume (lungo l’asse z) perdita Lz e1=0 e2=(Lz-L0)/L0 Lz L0 L0 L0 1 Nel caso di dilatazione lungo l’asse z k2=1+D D= 1+D Esempio: L0=10cm Lz=35cm D=? e2=(35-10)/10=2.5 k2=1+e2=3.5 1+D=k2 D=2.5 (aumento del 250%) Esempio: L0=10cm Lz=4cm D=? e2=(4-10)/10=-0.6 k2=1+e2=0.4 1+D=k2 D=-0.6 (diminuzione del 60%)

VARIAZIONE DI VOLUME 1+D 1 1+D D= D= D= 1+D 1 1+D 1+D 1 1+D D= 1 1+D D= 1+D D= 1 1 1+D Variazione di volume isotropa

g shear strain 0<g<∞

TAGLIO SEMPLICE Nessuna variazione di volume 1 g 1 g D= D= 1 1 1

deformazione esempio: 0.5 2.1 Come si trasforma il punto di coordinate (1,2)? D= 1.8 0.5 2.1 1 0.5*1+2.1*2 4.7 X’=DX= = = 1.8 2 0*1+1.8*2 3.6 Quanto vale la dilatazione? 1+D=determinante(D)=0.5*1.8=0.9 D=0.9-1=-0.1

deformazione Consideriamo i tre tipi di deformazioni omogenee: Taglio Puro (pure shear) Taglio Semplice (simple shear) Cambio di Volume (volume change) Questi possono agire in momenti diversi o essere sincroni, o secondo direzioni differenti. La matrice dello strain in 3 dimensioni che rappresenta una deformazione omogenea generica (general shear) è: Strain in 3D Dove k1, k2 and k3 sono le longitudinal strain lungo gli assi x, y e z (sistema di riferimento), mentre G12, G13 and G23 sono le componenti dello shear strain, inoltre k1k2k3=1+D .

Rappresentazione matriciale del pure shear (+volume change) deformazione Rappresentazione matriciale del pure shear (+volume change) K1 0 0 0 1 0 0 0 k3 Pure shear lungo x e z se k1k3=1 Pure shear lungo x e z + volume change se k1k3=1+D K1 0 0 0 k2 0 0 0 1 lungo x e y 1 0 0 0 k2 0 0 0 k2 lungo y e z K1 0 0 0 k2 0 0 0 k3 lungo x, y e z

Rappresentazione matriciale del simple shear deformazione Rappresentazione matriciale del simple shear Simple shear lungo X Thrust con direzione X Simple shear lungo Y Shear zone trascorrente con direzione X Simple shear lungo Z Thrust con direzione Y

In natura possono sussistere tutti e tre i tipi di deformazione omogenea cioè TAGLIO SEMPLICE, TAGLIO PURO e VARIAZIONE DI VOLUME. Tali deformazioni possono agire anche in modo sincrono. Per poter definire una deformazione omogenea così definita dobbiamo conoscere i parametri fondamentali di ogni tipo: Simple shear= shear strain g Pure shear= elongazioni kx, ky, kz (lungo le tre direzioni del sistema di riferimento) Volume change= D In definitiva ne bastano solo 4, es: kx,ky,D,g Taglio puro (prima)+taglio semplice (dopo) D= 1 g kx ky = gky Non vale la proprieta commutativa per il prodotto matriciale!! D= 1 g kx ky = gkx Taglio semplice (prima)+ taglio puro (dopo)

Taglio puro+taglio semplice+variazione di volume (SINCRONI) kx G Γ= 𝛾 𝑘 𝑥 − 𝑘 𝑧 𝑙𝑛 𝑘 𝑥 𝑘 𝑧 (thrust in direzione x) D= ky kz Wrench zone in direzione x) kx G D= ky kz Ci sono 12 combinazioni di kx,ky,kz e g senza variazione di volume

=? =? =? =? =? =? =? =? =? deformazione Stabilire i tipi di deformazione sapendo la matrice dello strain finito: 0.5 0 0 0 1 0 0 0 2 0.5 0 0 0 2 0 0 0 1 0.5 0 0 0 0.5 0 0 0 4 =? =? =? 0.5 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1.5 0 0 0 1 0.5 0 0 0 3 0 0 0 2 =? =? =? 1 0 2 0 1 0 0 0 1 0.5 0 2 0 2 0 0 0 1 0.5 0 2 0 2 0 0 0 2 =? =? =?

deformazione Scrivere la matrice dello strain nel caso di una shear zone tipo thrust caratterizzato da: Allungamento lungo y, raccorciamento lungo x e assenza di variazione di volume Raccorciamento lungo x e z, allungamento lungo y e riduzione di volume Allungamento lungo x, deformazione piana, raccorciamento lungo z Nessun allungamento lungo x e y, raccorciamento lungo z

Angolo tra il piano XY a il piano di taglio (xy) deformazione Attraverso la matrice dello strain in 2D possiamo conoscere vari parametri molto utili come: Angolo tra il piano XY a il piano di taglio (xy) q’=atan(2(gk3)/(k12+ g2 – k32) ) (eq. 1) Strain finito (ellitticità) R=((k12+ g2 + k32+((k12+ g2 + k32)2-4(k1k3)2)1/2/(k12+ g2 + k32-((k12+ g2 + k32)2-4(k1k3)2)1/2)1/2 (eq2) Variazione di volume D=k1k3-1 (eq. 3) k1 G 0 k3 Esercizio: scrivere un programma con matlab o excell che calcola questi tre parametri partendo da k1, k3e g

deformazione Simple shear + pure shear z X k1 G Z D= L0 k3 L0 x IMPORTANTE: il sistema di riferimento solidale alla shear zone è indicato dalle lettere minuscole x y z, mentre quello dell’ellissoide dalle lettere maiuscole X Y Z, inoltre solo se la SZ è a simmetria monoclina (in generale in natura è così) i due sistemi di riferimento hanno in comune solo lgli assi y e Y! Le elongazioni k1 k2 e k3 della matrice dello strain si riferiscono alla componente di pure shear secondo il sistema di riferimento xyz, e sono uguali a 1+e, mentre i semiassi dell’ellissoide finita corrispondono alle elongazioni k1’, k2’ e k3’ ovvero 1+e’, perché si riferiscono al sistema di riferimento XYZ, quindi non sono la stessa cosa!

In 3D la matrice dello strain presenta 4 incognite: k1, k2, k3 e G deformazione In 3D la matrice dello strain presenta 4 incognite: k1, k2, k3 e G Allo stato delle nostre conoscenze possiamo solo risolvere il problema in 3 incognite, per cui una elongazione deve essere uguale a 1 (in natura generalmente è così), quindi dobbiamo trovare 3 equazioni in 3 incognite. k1 G D= k2 k3 Poniamo ad esempio k2=1 e ricordando che k1k3=1+D, una incognita può essere D al posto di una k, inoltre ricordando che un’altra incognita può essere g al posto di G, quindi abbiamo le tre incognite k1, g, D che serviranno per costruire la matrice: Quali sono gli strumenti “geologici” per avere informazioni su questi tre parametri? Indagini geochimiche isotopiche sull’interazione di fluidi per valutare D; Misurazione della giacitura di foliazione sigmoidale e dei piani di taglio per valutare q’ (serve solo una bussola o un PC per l’analisi d’immagine); Valutazione di R o di G tramite analisi d’immagine. k1 g(k1-(1+D)/k1 Ln(k12/(1+D)) D= 1 (1+D)/k1 Tramite le eq. 1, 2 e 3 si possono ottenere tutte le informazioni necessarie per costruire la matrice dello strain!

Un altro parametro dello strain molto usato è il numero della vorticità cinematica Wk che da una stima della partizione tra taglio puro e taglio semplice

Non possiamo sapere quale o quali tipi di deformazione hanno agito senza ulteriori informazioni!! Possiamo solo valutare l’entità della deformazione finita, ma come?

𝑹= 𝟏+ 𝒆 𝑿 𝟏+ 𝒆 𝒀 Ellisse della deformazione finita Deformazione omogenea!!! Ellitticità=valutazione dello strain finito (detto anche strain ratio) R 𝑹= 𝟏+ 𝒆 𝑿 𝟏+ 𝒆 𝒀

𝑹 𝑿𝒁 = 𝟏+ 𝒆 𝑿 𝟏+ 𝒆 𝒁 𝑹 𝑿𝒀 = 𝟏+ 𝒆 𝑿 𝟏+ 𝒆 𝒀 𝑹 𝒀𝒁 = 𝟏+ 𝒆 𝒀 𝟏+ 𝒆 𝒁 Ellissoide della deformazione finita 𝑹 𝑿𝒁 = 𝟏+ 𝒆 𝑿 𝟏+ 𝒆 𝒁 𝑹 𝑿𝒀 = 𝟏+ 𝒆 𝑿 𝟏+ 𝒆 𝒀 X, Y e Z e tre piani XZ, YZ e XY sono detti assi e piani principali dell’ellissoide della deformazione finita 𝑹 𝒀𝒁 = 𝟏+ 𝒆 𝒀 𝟏+ 𝒆 𝒁

DIAGRAMMA DI FLINN deformazione piana

ellissoide della deformazione finita L’ellissoide è caratterizzato da tre ellissi della deformazione finita lungo i tre piani principali. Ogni ellisse è definita da una ellitticità che definisce il rapporto della deformazione lungo quel piano Ellitticità=rapporto della deformazione Rxz=(1+e1’)/(1+e3’) Rxy=(1+e1’)/(1+e2’) Ryz=(1+e2’)/(1+e3’) Dove e’ è l’estensione (positiva o negativa) e1’=estensione lungo asse x e2’=estensione lungo asse y e3’=estensione lungo asse z

Classificazione dell’ellissoide della deformazione finita Fattore di forma k k=(Rxy-1)/(Ryz-1) Intensità della deformazione d d=((Rxy-1)2+(Ryz-1)2)1/2 Strain logaritmico naturale e = 1/3((ln(Rxy))2+(ln(Ryz))2 +(ln(Rxz))2)1/2 prolati oblati Diagramma di Flinn (nel diagramma di Ramsay si usa il ln di R)