Noise Non ci riferiremo in particolare al rumore nei rivelatori

Il termine “Rumore” o “Noise ” viene usato per ogni tipo di fluttuazione statistica Qui lo definiamo come il valore quadratico medio ( rms) delle fluttuazioni del parametro sottoposto a misura: Normalmente contribuiscono al rumore molte cause diverse. Alcune possono essere calcolate

Se le diverse componenti si sovrappongo in modo incoerente, le deviazioni quadratiche medie di S dovute alle singole cause si sommano: Il termine noise, a volte viene usato anche per indicare il segnale di fondo o il rumore del segnale di fondo. Ma si tratta di concetti molto diversi

L’accuratezza di una misura è determinata dal rapporto segnale-rumore Generalmente si usa considerare il valore S/N=1 come il requisito minimo per la rivelazione del segnale. Poiché spesso il segnale ha una dinamica molto ampia, SNR viene espresso in decibel (scala logaritmica)

Il rumore può essere intrinseco al segnale e/o essere generato nel (dal ) apparato sperimentale. In molti casi predomina il rumore del segnale, in alcuni di essi il rumore è proporzionale a P 1/2. Anche in questi casi la condizione S/N =1 puo’ essere usata per definire la condizione limite per la rivelazione, ma il rapporto segnale-rumore è allora proporzionale a P 1/2 Se il rumore è generato nell’apparato, puo’ essere usato il concetto di “noise- equivalent power”, che corrisponde alla potenza dell’ingresso che produce una uscita equivalente al rumore. In questi casi il rumore è indipendente dal segnale ed il rapporto segnale-rumore è proporzionale alla potenza P del segnale di ingresso.

Come già detto, i limiti di rivelabilità sono determinati dal rumore. Ma ci sono tipi di rumore che possono essere ridotti con il miglioramento delle prestazioni ed altri che sono ineliminabili. Consideriamo ancora i casi nei quali il rumore è indipendente dal segnale, si definisce “noise-equivalent power” la quantità: NEP= N/R Avendo indicato con R ( Responsivity…~sensibilità) il rapporto: R= (segnale di uscita)/( potenza di ingresso) Ne deriva che il rapporto-segnale rumore sarà dato da:

CLASSIFICAZIONE Additive White Gaussian Noise (AWGN) È il modello di rumore usato in teoria dell’informazione per simulare l’effetto di numerosi processi random che avvengono in natura Additivo: il segnale ricevuto è la somma del segnale trasmesso ed il rumore, ed il rumore è statisticamente indipendente dal senale White: La densità spettrale della potenza è uniforme su tutta la banda di frequenza: l’autocorrelazione del rumore nel dominio del tempo e sempre nulla per ogni delta t diverso da 0 Gaussiano: il rumore ha una distribuzione gaussiana

Un aspetto particolarmente importante nella trasmissione di segnali è l’influenza del AWGN nel transito per lo zero di un segnale

Atmospheric noise Rumore radio causato da processi atmosferici naturali ( fulmini circa 40/s su tutta la terra). E’ una combinazione di rumore bianco e rumore ad impulsi. E’ il rumore dominante a frequenze basse ( < 0.1MHz), mentre a frequenze più alte domina il rumore generato dalle attività antropiche

Brownian noise Detto anche red noise Mentre il rumore bianco puo’ essere considerato costituito da campioni casuali indipendenti, nel brownian noise ciascun campione è generato aggiungendo un rumore casuale al precedente campione La densità spettrale è inversamente proporzionale al quadrato della frequenza ( la potenza è molto alta alle basse frequenze).

Burst noise E’ un tipo di rumore elettronico generato nei semiconduttori Chiamato anche : rumore impulsivo, rumore bistabile Consiste in variazioni rapide della corrente o della tesnione tra due livelli a tempi causali Si osserva tipicamente negli amplificatori operazionali. Comunemente viene attribuito alla intrapolamento e rilascio casuale di portatori di carica alle interfacce di film sottili.

Rumore cosmico Ha caratteristiche simili al rumore termico. Frequenze >15MHz Micoonde cosmiche e radiazione di fondo (quasi isotropa, picco nelle microonde) sono una forma di rumore cosmico

Flicker noise E’ un rumore elettronico con densità spettrale inversamente proporzionale alla frequenza ( rumore rosa) E’ dovuto a fluttuazioni della resistenza che generano fluttuazioni di corrente o tensione. Dominante a bassa frequenza ed a frequenze vicine alla frequenza centrale degli i oscillatori

Pink noise La densità di potenza è proporzionale a 1/f α con 0<α<2 α~1 corrisponde al flicker noise, con uguale potenza per ottava ( raddoppio di frequenza). Generato nei solidi in condizioni di quasi-equilibrio α‡1 si trova in un gran numero di sistemi dinamici tenuti lontano dall ’equilibrio Il rumore rosa si ritrova nelle fluttuazioni ddi moltissimi sistemi in funzione del tempo: Fluttuazioni delle maree e profondità dei fiumi, emissioni dei quasars, battito cardiaco, attivazione di neuroni, e resistività nei solidi E’ presente nelle serie di dati meteorologici, nelle emissioni elettromagnetiche di oggetti astronomici, ma anche nei sistemi finanziari Difficile darne un modello matematico ed anche fare una teoria sulla sua origine

Rumore gaussiano Rumore statistico con una densità di probabilità distribuita normalmente. Il white gaussian noise è un caso speciale ( campioni a tempi diversi con medesima distribuzione e statisticamente indipendenti). Molto rilevante nelle telecomunicazioni a causa di processi naturali, moto termico nei semiconduttori ecc.

Grey noise Il rumore grigio ha rilevanza in acustica. E’ un rumore casuale che, tradotto in suono, produce la stessa sensazione sonora a tutte le frequenze. ( questa condizione non è verificata dal rumore bianco- white noise). Dalla definizione discende che non e’ univocamente determinato. Una approssimazione è costituita dal rumore rosa, che corriponde ad uguale energia per ottava ( non per unità di frequenza).

Spettro del rumore grigio

Phase noise Corrisponde a fluttuazioni casuali della fase di una forma d’onda, provocate da una qualche instabilità dipendente dal tempo. Per segnai continui si parla di rumore di fase, mentre per segnali digitali si definisce il jitter temporale Si consideri un segnale sinusoidale privo di rumore: v(t) = Acos(2πf 0 t). Il rumore di fase consiste nella somma di una fase random: v(t) = Acos(2πf 0 t + φ(t)).

Jitter E’ la deviazione da una perfetta periodicità. ( può essere osservato nella frequenza, nella ampiezza e nella fase) Si puo’ definire un periodo di jitter: intervallo tra due massimi nell’effetto risultante Cause: interferenza elettromagnetica, crosstalk di altri segnali… Spesso ha distribuzione non gaussiana Random jitter: noise nel timing. Distribuzione tipicamente gaussiana Jirret deterministico: riproducibile ( valori picco-picco limitati. Distribuzione non gaussiana

Rumore di quantizzazione Arrotondamento e troncamento, sono tipici errori di quantizzazione. Si riscontra sempre nel trattamento di segnali in forma digitale E’ la differenza fra il valore el segnale di ingresso e la sua rappresentazione quantizzata Generalmente si assume che il rumore di quantizzazione interviene in modo simile a quello di un rumore bianco additivo ( correlazione trascurabile con il segnale e densità spettrale uniforme)

Shot noise – Poisson noise Deriva dalla natura discreta di numerosi processi (carica elettrica nei circuiti, conteggio di singole particelle..) E’ associato con la struttura particellare della materia. Per numeri grandi la distribuzione di Poisson approssima una distribuzione normale, quindi lo shot noise diventa indistinguibile dal rumore gaussiano Poiché la deviazione standard è pari alla radice quadrata del numero medio di eventi, il rapporto segnale rumore:

In ottica lo shot noise è generato dalla fluttuazione del numero di fotoni osservati ( eventi indipendenti) In un rivelatore di fotoni ( fotomoltiplicatore) il processo di conversione di fotoni in elettroni dipende dalla efficienza quantica del rivelatore. Se l’efficienza quantica è molto minore di 1 lo shot noise è molto grande. Solo se i fotoni si trovano in stati coerenti ( squeezed) il numero di fotoni puo’ fluttuare meno della radice del numero di fotoni aspettato per unità di tempo.

Johnson-Nyquist noise E’ dovuto all’agitazione termica dei portatori di carica Il rumore termico in un resistore ideale è generalmente rumore bianco ( densità spettrale uniforme). Se pero’ la banda di frequenza è limitata, allora assume una distribuzione di ampiezza gaussiana. Si puo’ osservare, in modo equivalente, in R, I o V:

Fissata la banda passante, si ha per la deviazione quadratica media della tensione: Per la potenza dissipata dal rumore in una resistenza: E per la intensità di corrente: Esprimendo in dB la potenza in mW: Oppure:

Il rumore termico affetta anche i capacitori. Per un circuito RC il valore RMS della tensione di rumore generato, puo’ essere espresso come: R si elimina in quanto aumentando R aumenta il rumore, ma aumenta anche l’effetto del filtro in frequenza. Il rumore è dovuto all’equilibrio termodinamico della carica del condensatore. In altre parole, se il condensatore viene sconnesso dal circuito le fluttuazioni termodinamiche della carica sono “congelate” ad un valore casuale la cui deviazione standard e’: (KTC noise)

White noise E’ un segnale random con una densità spettrale costante. Per segnali discreti puo’ essere considerato come una sequenza di variabili casuali non correlate, con media nulla e varianza finita. Se ogni campione ha una distribuzione normale con media nulla, parliamo di rumore bianco gaussiano. Sebbene in teoria abbia una larghezza di banda infinita, nella pratica la larghezza di banda è limitata dai meccanismi di generazione, dalla trasmissività del mezzo e dalle caratteristiche dei rivelatori. L’attributo “bianco” deriva dalla “luce bianca”, anche se la luce bianca non ha una densità spettrale piatta nella regione del visibile

Coherent noise E’ un tipo di rumore pseudorandom E’ un rumore lentamente variabile di natura frattale, che costituisce un modello efficace per molti fenomeni naturali È generato da un meccanismo che: -Dà lo stesso output in corrispondenza dello stesso input -Au una piccola variazione dell’ingresso fa corripondere na piccola variazione dell’uscita -Ad una grande variazione dell’ingresso fa corrispondere una variazione casuale dell’uscita

Come si puo’ generare artificialmente ( trattamento delle immagini) Consideriamo ll’uscita di una integer-noise function, come ad esempio la funzione rand() in C: Possiamo ora generare un rumore coerente applicando una interpolazione lineare per generare una funzione continua

In 2DIn 3D Interpolazione cubica Interpolazione di ordine 5Int. lineare

Le prestazioni di un rivelatore I concetti relativi al rumore generato in un rivelatore o causati dalla radiazione ( termica ad esempio) dall’ambiente circostante sono di assoluta rilevanza per tutti i rivelatori, ma perdono significato se il rumore dominante è dovuto alle fluttuazioni del segnale di ingresso ( ad esempio del numero di particelle- fotoni incidenti)

Sensibilita ( Responsivity) R= segnale di uscita/ segnale di ingresso Per un rivelatore di radiazione elettromagnetica il segnale di ingresso puo’ essere una potenza R dipende da molti fattori, per un rivelatore di radiazione elettromagnetica uno di questi è la lunghezza d’onda della radiazione incidente

In generale ( sensibilità media): Con funzione che descrive il flusso spettrale

Rivelabilita’ ( Detectivity) D= (NEP) -1 = R/N Il valore quadratico medio delle fluttuazioni di tutti i tipi di rumore è proporzionale alla larghezza di banda > D  (Δf) -1/2 D  A -1/2 con A = area della superficie sensibile del rivelatore

Detectivity per differenti tipi di rumore dominante Signal noisenon usata Backgound noise & response noiseindip. dalla frequenza di modul Jhonson noisediminuisce alle alte frequenze 1/f noisediminuisce alle basse frequenze

Il rumore determina i limiti di rivelazione Ci sono tipi di rumore che possono essere ridotti migliorando la tecnologia dei rivelatori ed altri che sono ineliminabili Il rumore 1/f puo’ essere ridotto migliorando il progetto del rivelatore Il rumore Johnson può essere ridotto raffreddando il rivelatore Il background noise dovuto alla radiazione del contenitore del rivelatore può anch’esso essere ridotto abbassando la temperatura

Un caso molto interessante: rivelatore signal-noise limited In molti casi le fluttuazioni del segnale seguono la statistica di Poisson (almeno con buona approssimazione) Il valore quadratico medio della fluttuazione sarà: ed il rapporto segnale rumore: In questo caso la richiesta minima S/N=1 corrisponde ad n=1 E la minima potenza ottica ( fotoni) rivelabile : Un caso speciale si verifica nella rivelazione di radiazione coerente ( diversa statistica)

Fotomoltiplicatori Corrente di buio Corrente che fluisce in un fototubo in assenza di radiazione incidente In generale determina il più basso livello di radiazione rivelabile. E’ dovuta all’emissione termoionica dal fotocatodo Ma anche a cause secondarie: -Perdite ohmiche Imperfetto isolamento elettrico all’interno del tubo e nei contatti esterni -Effetti rigenerativi Processi di feedback negli ultimi stadi ( elettroni, ioni o fotoni posso tornare verso i primi stadi) Esempi: a) bombardamento del catodo e dei primi dinodi da ioni positivI ( gas residuo) b) Emissione di fotoni nell’urto di elettroni con l’involucro c) Emissione di luce da scariche

Il valore quadratico medio della corrente di shot- noise di uscita è dato da: Dove: I = corrente totale del fotocatodo  = guadagno dovuto all’emissione secondaria M k =  1 ….  k guadagno totale  f = larghezza di banda e = carica dell’elettrone

Va considerato anche il rumore introdotto dall’elettronica di lettura ed elaborazione del segnale di uscita.

Conteggio di singola particella (fotoconteggio) E’ una delle applicazioni più frequenti Per sottrarre il rumore il rivelatore,viene misurato il segnale una volta con il rivelatore esposto al flusso di radiazione incidente e una seconda volta escludendola N  frequenza di conteggio con la radiazione incidente N d freq. di conteggio senza radiazione t  durata della prima misura t d durata della seconda misura

N  t  numero di conteggi totali con radiazione N d t d numero di conteggi di buio Il segnale è : N  -N d La varianza : N  /t  +N d /t d Rapporto segnale-rumore:

Fissato il tempo totale t= t  +t d La condizione di massimo per il rapporto segnale-rumore si ottiene differenziando l’equazione rispetto a t d

Background e rumore del background Sottrazione background e suo rumore (rivelazione per differenza)

Tempo morto Intervallo di tempo durante il quale il rivelatore ( o l’elettronica o l’intero sistema di acquisizione dei dati) risulta incapace di risposta. Va analizzato caso per caso. Classificazione generale Rivelatore Paralizzabile (eventi persi e prolungamento del tempo morto) Rivelatore Non paralizzabile (eventi persi durante il tempo morto)

Una analisi semplice può essere fatta per i rivelatori non paralizzabili d T numero di particelle rivelate nel tempo T t T numero di particelle incidenti nel tempo T  Tempo morto del rivelatore non paralizzabile E quindi: Ma occorre conoscere ( misurare) il tempo morto

Quindi, noto il tempo morto, i dati possono essere corretti. La correzione è applicabile fino a frequenze di conteggio per le quali la relazione fra frequenza misurata e frequenza delle particelle incidenti, non lineare, è almeno monotona. Ma quale interazione c’e’ con il rumore e con il background? Background e rumore del rivelatore si sommano al segnale, quindi aumentano la frequenza degli eventi La correzione per il tempo morto va quindi fatta PRIMA di sottrarre il contributo del background e del rumore