Paradossi in matematica e dintorni Vito Fragnelli Università del Piemonte Orientale Alessandria 1 Febbraio 2016

PARADOSSO Proposizione formulata in apparente contraddizione con l'esperienza comune, ma che all'esame critico si dimostra valida

PARADOSSO GEOMETRICO Considerando una scacchiera suddivisa e riordinata si ha:

PARADOSSO GEOMETRICO Ma osservando più attentamente:

PARADOSSO DELL’ALABAMA (1880) E’ dovuto a C.W. Seaton, incaricato di rivedere la ripartizione dei seggi della Camera degli Stati Uniti (resti con il metodo di Hamilton) PartitoVotiQuotaSeggi A B9 2 C QuotaSeggi seggi6 seggi

PARADOSSO DI RUSSELL ( ) Insiemi che comprendono se stessi come elemento "l'insieme delle greggi" è un gregge Insiemi che non comprendono se stessi come elemento "l'insieme delle pecore" non è una pecora Sia R l'insieme di tutti gli insiemi che non comprendono se stessi come elemento Il problema posto da Bertrand Russell è: R appartiene ad R?

PARADOSSO DI RUSSELL ( ) Supponendo che R vi appartenga, si avrebbe che: R non comprende sé stesso; quindi R non appartiene ad R; contraddizione Supponendo che R non vi appartenga, si avrebbe che: R comprende sé stesso; quindi R appartiene ad R; contraddizione

PARADOSSO DI RUSSELL ( ) Teoremi di incompletezza di Kurt Gödel (1931) Paradosso del barbiere (Russell, 1918) In ogni formalizzazione coerente della matematica sufficientemente potente da poter assiomatizzare la teoria elementare dei numeri naturali è possibile costruire una proposizione sintatticamente corretta che non può essere né dimostrata né confutata all'interno dello stesso sistema. Nessun sistema coerente può essere utilizzato per dimostrare la sua stessa coerenza.

PARADOSSO DI SIMPSON (1951) Proposto da George Udny Yule (1903) Nella prima ci sono una ragazza e cinque ragazzi le cui medie sono 28 per la ragazza e 27, 26, 25, 24, 23 per i ragazzi La ragazza è più brava dei ragazzi Nella seconda ci sono due ragazze e un ragazzo le cui medie sono 21, 20 per le ragazze e 19 per il ragazzo Ancora le ragazze sono più brave del ragazzo Due classi scolastiche

PARADOSSO DI SIMPSON (1951) Considerando tutte e due le classi la media delle ragazze è 23 e quella dei ragazzi è 24 Aggregazione di dati (se nella prima classe ci fossero tre ragazze con la media di 28 la media delle 5 ragazze sarebbe 25) Elementi estranei introdotti o omessi Manipolazione di dati

PARADOSSO DI SAN PIETROBURGO (1713) E’ dovuto a Nicolas Bernoulli ed è riportato in Commentarii Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae di Daniel Bernoulli (1738) E’ un gioco da casinò

PARADOSSO DI SAN PIETROBURGO (1713) C2 TC4 TTC8 TTTC16 TTTTC32 TTTTTC64 TTTTTTC128 1/2 1/4 1/8 1/16 1/32 1/64 1/

PARADOSSO DELLA CARTA PIEGATA 0,096 mm 10,19 20,38 30,77 41,54 53,07 66,14 712,29 824,58 949, , , , , ,86 1,57 m 153,15 166, , , , , , , , ,61 1,61 Km 253,22 266, , , , , , , , , , , , , , , , ,47 Terra-Luna km , , , , , , , , ,11 Terra-Sole km