Problema problemi… Andrea Gorini 9 Aprile 2015 Pesaro

PER INIZIARE…

Mi auguro di ricevere commenti, osservazioni, note, critiche, rilievi, correzioni, proposte, esempi, esercizi, attività, lavori…

- A. Gorini Matematica a sorpresa Principato -A. Davoli, A. Gorini, A. P. Longo, S. Sorgato Fare matematica Pearson

IL PROBLEMA IN CLASSE

Il problema in classe Per introdurre Per scoprire Per riassumere

Il problema “riassuntivo” Classe prima SSPG Disegnare un angolo di 75° usando solo la riga e il compasso

Il problema “riassuntivo” Classe prima SSPG Questo è un problema di costruzione, richiede: -La costruzione dell’angolo retto - La costruzione dell’angolo di 60° - La costruzione della somma degli angoli - La costruzione della bisettrice

FASI DELLA SOLUZIONE DI UN PROBLEMA

Momenti diversi… o no? - Comprensione del testo / decodifica dell’enunciato -Rappresentazione della situazione - Individuazione della strategia risolutiva -La redazione della soluzione - La verifica e l’interpretazione dei risultati

Comprensione del testo Classe prima SP Una scoiattolina raccoglie nel bosco 6 nocciole e 2 ghiande. Quanti frutti ha raccolto? Successivamente ne perde 3, quanti frutti porta nella sua tana? La difficoltà nella comprensione era dovuta alla mancata conoscenza del significato del termine ‘ghiande’

Comprensione del testo Classe prima SP In questo caso si è evidenziato una difficoltà legata al lessico Può esserci difficoltà più generali di ‘intendersi’ perché le esperienze cui si fa riferimento possono non essere condivise

Comprensione del testo Scuola Primaria Giovanni ha 5 macchinine verdi e 3 rosse. Quante macchinine ha in tutto? Marta ha una maglietta verde, una rossa e una bianca, una gonna nera e una blu. In tutto in quanti modi diversi può vestirsi?

Comprensione del testo Considera il triangolo isoscele ABC avente la base AB lunga 18 cm e l’altezza CH uguale a di AB e calcolane la misura dell’area e del perimetro. Considera il rettangolo PQRS avente la stessa base e la stessa altezza del triangolo ABC e calcolane la misura dell’area, del perimetro e della diagonale approssimata al centesimo. Avendo verificato che le misure delle aree sono una doppia dell'altra spiega perché era possibile prevedere tale relazione.

Comprensione del testo A) Esegui un disegno in scala del triangolo isoscele ABC con la base AB lunga 18 cm e l’altezza CH uguale a 2/3 di AB; Calcola l’area e il perimetro del triangolo. B) Disegna il rettangolo PQRS con le dimensioni uguali alla base e all’altezza del triangolo ABC Calcola l’area e il perimetro Calcola la misura della diagonale (approssima al centesimo) C) L’area del rettangolo PQRS è doppia di quella del triangolo ABC. Potevi prevederlo? Perché?

Rappresentazione Significa mostrare diversamente la situazione mettendo in evidenza gli elementi significativi e le relazioni che li legano - Forma verbale - Forma grafico - visiva - Forma simbolica Tre ooo3

Rappresentazione E’ importante perché - è una azione di trasformazione ed esplicitazione del dato in una forma più adeguata - aiuta a far affiorare gli elementi significativi -‘dice’ della comprensione del testo o dell’analisi della situazione - avvia il processo risolutivo (in qualche caso ne è la chiave)

Rappresentare È sbagliato guardare al contesto come ad un rumore che disturba il messaggio chiaro della matematica: il contesto è il messaggio, e la matematica è lo strumento per decodificarlo H. Freudenthal

Un esempio Scuola SSG Come si scrivono queste sequenze di numeri? 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64… n 2 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15… 2n+1

Un linguaggio potente Consideriamo la scrittura n 2 + 2n +1 Abbiamo scritto un numero infinito di addizioni di tra un numero quadrato e un numero dispari

Un linguaggio potente Sappiamo anche trasformare la scrittura n 2 + 2n +1 è uguale a (n + 1) 2 ovvero l’addizione tra un numero quadrato e un numero dispari è il quadrato successivo del numero. …ma è vero?

Proviamo… Consideriamo le sequenze dei numeri quadrati e dei numeri dispari… n … n2n … 2n …

Proviamo… … e facciamo le somme di un numero quadrato e di un numero dispari n … n2n … 2n … Somma …

Che cosa si ottiene? Osserviamo le somme… … Non sono numeri quadrati!

Se n vale 1 … n … n2n … 2n …

È necessaria una modifica Scriviamo le sequenze in un altro modo… n n2n n

Strategia risolutiva È la parte più creativa del processo di risoluzione e viene spesso identificata con esso. Molto lavoro è svolto a livello inconscio. Solo alcuni spunti

Cambiare punto di vista Il parallelogramma ha la base di 18 cm e l’altezza di 12 cm. Qual è l’area del triangolo?

Cambiare punto di vista

Trovare la strategia migliore Per la visita ognuno dei 32 alunni paga 4 € per il trasporto e 7 € per l’ingresso 7 x x 32 (7 + 4) x 32

La redazione della soluzione Anche questo è un momento importante e spesso viene lasciato in secondo piano … si vede che ha capito … il procedimento è corretto, anche se… … il risultato però è giusto…

L’importanza di scrivere I compiti di italiano ci dicono che i ragazzi non riescono a usare la lingua italiana per collegare, saldare, ordinare le idee e le esperienze; con una dinamica assolutamente parallela, i compiti di matematica ci dicono che non riescono a usare il linguaggio matematico (e il linguaggio naturale) per collegare, ordinare le informazioni e i risultati parziali, costruire una argomentazione; verificare i propri risultati… 32Andrea Gorini - Varese - 5 marzo 2015

L’importanza di scrivere …Impiegano casualmente connettivi e quantificatori, non utilizzano mai esempi o controesempi a sostegno delle proprie argomentazioni, fanno raramente asserzioni dichiarative riguardo al proprio lavoro, non rispondono esplicitamente alle consegne poste ma delegano ai calcoli la risposta…. 33Andrea Gorini - Varese - 5 marzo 2015

L’importanza di scrivere …Peraltro, molti di loro fanno calcoli inutili e mettono in campo un linguaggio tecnico-formale superfluo (e spesso scorretto). Abbondare in calcoli, utilizzare parolone simil-matematiche, sembra essere un modo per mascherare la mancanza di argomentazione. Invalsi: l'italiano manda in crisi anche la matematica Giorgio Bolondi - Ilsussidiario.net - 2 aprile Andrea Gorini - Varese - 5 marzo 2015

Per esempio… (3^ liceo) 35Andrea Gorini - Varese - 5 marzo 2015

La redazione della soluzione

La verifica e l’interpretazione dei risultati 3737 L'Insegnamento della matematica per competenze - Andrea Gorini - Pesaro - 7 marzo 2014

La verifica e l’interpretazione dei risultati In questo caso trovare l’area delle facce interne non è sufficiente

LAVORARE CON I PROBLEMI

Un problema, diverse richieste Classe seconda SSPG La parte colorata della figura misura 9 cm 2. Che cosa puoi ricavare?

Un problema, diverse abilità Classe seconda SSPG 1. Un rettangolo ha la base uguale ai 4/3 dell’altezza e il perimetro di 112 cm. Quanto misura l’area? 2. La scatola raffigurata nel disegno presenta quattro scomparti con le stesse dimensioni. Se il perimetro della scatola è di 112 cm, quale è la sua area? (Pitagora si diverte, Paravia, pag. 9)

Un problema, diverse soluzioni Classe prima SSPG Quale è il percorso più breve? A B

Un problema, diverso contesto Classe prima SSPG Scrivi tutti i numeri che si possono formare con le cifre 1, 0, 8. Classe seconda SSPG Scrivi tutti i numeri che si possono formare con le cifre 1, 0, 8.

Il problema in geometria Classe terza SSPG Disegnare un tetraedro regolare in assonometria

Il problema in geometria Risolvere un problema è un allenamento a progettare: richiede un'azione libera e consapevole, cioè allarga l'orizzonte della razionalità. Raffaella Manara - La matematica e la realtà

BUON LAVORO!