Equazioni Che cosa sono e come si risolvono

Osserva le seguenti uguaglianze: Equazioni Che cosa sono Queste uguaglianze sono «indeterminate», ovvero sono delle «frasi aperte» perché di esse si può dire se sono vere o false solo dopo aver sostituito un numero al posto della lettera. a 2 = 5 3 a = 12 a 1 = 8

Equazioni Che cosa sono Ti chiedi: ″qual è quel numero che aggiunto a 2 dà come risultato 5 ?“ Quando leggi l’uguaglianza: che cos’è che ti chiedi? a 2 = 5 Quando leggi l’uguaglianza: che cos’è che ti chiedi? 3 a = 12 Quando leggi l’uguaglianza: che cos’è che ti chiedi? a 1 = 8

Equazioni Che cosa sono La lettera contenuta nell’equazione viene chiamata incognita e di solito si rappresenta con una «x». I valori di x che rendono l’equazione una uguaglianza vera si chiamano soluzioni dell’equazione. Risolvere un’equazione significa allora trovarne le soluzioni. Uguaglianze come:,, sono chiamate equazioni. a 2 = 5 3 a = 12a 1 = 8

Equazioni Come si risolvono Le equazioni fin qui considerate sono tra le più semplici, tanto che si risolvono «a vista». Per equazioni più complesse esiste un procedimento di risoluzione che permette di trasformarle in equazioni semplici. Ogni equazione è costituita da due parti separate dal segno di « = », chiamate primo membro e secondo membro.

Equazioni Come si risolvono 1.Prendi il numero x Considera l’equazione: x 3 = 7 ed esamina le istruzioni che impartisce: Allora, basterà applicare a 7 l’operazione inversa di quella indicata nelle istruzioni per arrivare al valore della x! x = Aggiungi 3 3.Devi ottenere come risultato 7

Equazioni Come si risolvono Le cose vanno come se tu operassi contemporaneamente su entrambi i membri dell’equazione aggiungendo -3 x 3 3 = 7 3 da cui x = 4

Equazioni Come si risolvono Allora, basterà applicare a 4 l’operazione inversa di quella indicata nelle istruzioni per arrivare al valore della x! Considera l’equazione ed esamina le istruzione che impartisce: 3 x = 4 1.Prendi il numero x 2.Triplicalo 3.Devi ottenere come risultato 4

Equazioni Come si risolvono Le cose vanno come se tu operassi contemporaneamente su entrambi i membri dell’equazione dividendo per 3

Equazioni Come si risolvono Le equazioni fin qui considerate sono molto semplici, ma il metodo di analisi che hai visto è utile anche per equazioni più complesse. Considera l’equazione 2x 3 = 5. Quali istruzioni impartisce?

Equazioni Come si risolvono Se applichi a 5 le operazioni inverse di quelle contenute nelle istruzioni precedenti e nell’ordine inverso, arrivi a trovare la x. x = (5 3) 2 = 4 2x 3 = 5 1.Prendi un numero x 3.Togli 3 Devi ottenere 2x Devi ottenere 5 2.Raddoppialo

Equazioni Come si risolvono x = (5 3) 2 x 2x Cosa mette in evidenza il precedente grafo? 2x 3 = 5

Equazioni Come si risolvono Le cose vanno come se tu operassi contemporaneamente su entrambi i membri dell’equazione prima aggiungendo 3 e poi dividendo per 2

Equazioni Come si risolvono Per risolvere l’equazione 2x 3 = 5 si può procedere così: 1.Aggiungere +3 ad entrambi i membri 2x – = Dividere entrambi i membri per 2 3.Scrivere il risultato x = 4 2x = 8

Equazioni Come si risolvono 1.Prendi un numero x 3.Aggiungi 2 Devi ottenere 3x Devi ottenere 3x Triplicalo 4.Dividi per 4 Devi ottenere 5 Considera l’equazione. Quali istruzioni impartisce?

Equazioni Come si risolvono Se ora applichi a 5 le operazioni inverse di quelle indicate nelle istruzioni e nell’ordine inverso, trovi il valore di x x = (5 4 2) 3 = 18 3 = 6

Equazioni Come si risolvono Che cosa si ottiene operando con queste operazioni inverse contemporaneamente su entrambi i membri dell’equazione?

Equazioni Come si risolvono Per risolvere l’equazione si procede in questo modo: 1.Moltiplicare per 4 entrambi i membri: 2.Aggiungere -2 ad entrambi i membri 3x + 2 = 20 3x = x =

Equazioni Come si risolvono Per risolvere l’equazione si procede in questo modo: 3.Dividere per 3 entrambi i membri x = 6 1 1

Equazioni Ora tocca a te! Aiutandoti eventualmente con i grafi, risolvi sul tuo quaderno le equazioni: 3x – 2 = 9

Equazioni I procedimenti di risoluzione per le equazioni che hai visto applicano dei principi generali validi per tutte le equazioni. 1.Due equazioni sono equivalenti quando hanno la stessa soluzione. 6x = 12 4x = 8 x = 2 Le equazioni 6x = 12 e 4x = 8 sono equazioni equivalenti perché hanno la stessa soluzione: x = 2

Equazioni I procedimenti di risoluzione per le equazioni che hai visto applicano dei principi generali validi per tutte le equazioni. 2.Aggiungendo ad entrambi i membri di una equazione una stessa quantità si ottiene un’equazione equivalente alla data (primo principio di equivalenza delle equazioni). 2x - 3 = 5 2x = 8 +3 Dall’equazione 2x - 3 = 5 si passa all’equazione 2x = 8 aggiungendo +3 a entrambi i membri.

Equazioni I procedimenti di risoluzione per le equazioni che hai visto applicano dei principi generali validi per tutte le equazioni. 3.Moltiplicando o dividendo entrambi i membri di una equazione per uno stesso numero, diverso da zero, si ottiene un’equazione equivalente alla data (secondo principio di equivalenza delle equazioni). 2x = 10 x = 5 2 Dall’equazione 2x = 10 si passa all’equazione x = 5 dividendo per 2 entrambi i membri.

Equazioni La conoscenza di questi principi permette di risolvere agilmente equazioni, anche le più complesse. ax = b Comunque sia complessa l’equazione, occorre, applicando opportunamente i principi di equivalenza, operare su di essa fino a ridurla alla forma elementare: ax = b ax = b La scrittura ax = b si chiama forma tipica o forma normale. axa b L’espressione ax si chiama termine incognito, il numero a che moltiplica l’incognita si chiama coefficiente dell’incognita, il numero b si chiama termine noto.

Equazioni ax = b Circa i valori che può assumere l’incognita dell’equazione ax = b si hanno i seguenti casi: a)L’equazione è determinata, cioè ha una sola soluzione: a ≠ 0, b ≠ 0 1)se a ≠ 0, b ≠ 0; in tal caso: a ≠ 0, b = 0 2)se a ≠ 0, b = 0; in tal caso: oppure:

Equazioni ax = b Circa i valori che può assumere l’incognita dell’equazione ax = b si hanno i seguenti casi: b)L’equazione è indeterminata, cioè ha infinite soluzioni: a = 0, b = 0x se a = 0, b = 0, in tal caso x può assumere qualsiasi valore.

Equazioni ax = b Circa i valori che può assumere l’incognita dell’equazione ax = b si hanno i seguenti casi: c)L’equazione è impossibile : a = 0, b ≠ 0 se a = 0, b ≠ 0, cioè non ha soluzioni.

Fine Presentazione ripresa dal libro di Rosa Rinaldi Carini «MATEMATICA», ed. Zanichelli