EQUAZIONI Prendiamo in considerazione delle funzioni reali in una variabile reale Una equazione è una uguaglianza tra due funzioni eventualmente verificata.

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1 EQUAZIONI Prendiamo in considerazione delle funzioni reali in una variabile reale Una equazione è una uguaglianza tra due funzioni eventualmente verificata per particolari valori attribuiti alla variabile f(x) = g(x) La variabile è detta incognita dell’equazione

2  SOLUZIONI   I particolari valori per cui questa è verificata sono detti soluzioni o radici dell’equazione Le soluzioni vanno cercate nell’intersezione dei domini delle due funzioni. Una equazione che ammette come soluzione ogni valore di x per il quale le due espressioni non perdono di significato si dice equazione indeterminata o identità in x. Una equazione per la quale non esistono soluzioni si dice equazione impossibile Equazione possibile

3 PRINCIPI DI EQUIVALENZA
Due equazioni si dicono equivalenti se hanno le stesse soluzioni oppure se sono entrambe impossibili f(x) = g(x) mf(x) = mg(x) con m numero qualsiasi diverso da zero. f(x) +h(x) = g(x) +h(x) con h(x) espressione qualsiasi nella variabile x.

4 EQUAZIONI DI PRIMO GRADO
Si dice equazione di primo grado nell'incognita x ogni equazione del tipo: a x + b = 0 con a, b coefficienti numerici , a ¹ 0. Soluzione: x = - b / a Esempio: 2x - 3 = 0 x = 3 / 2

5 EQUAZIONI DI 2o GRADO Si dice equazione di secondo grado nell'incognita x ogni equazione del tipo: a x2 + b x + c = 0 con a, b, c coefficienti numerici e  a ¹ 0. SPURIA: a x2 + b x = 0 x(a x + b) = 0 x = 0 x = - b / a PURA: a x2 + c = 0

6 COMPLETA D = 0 2 soluzioni coincidenti
a x2 + b x + c = 0 D > 0 2 soluzioni reali e distinte D = 0 2 soluzioni coincidenti D < 0 nessuna soluzione in R

7 ESEMPI 2 x2 - 7 x + 3 = 0 D = 49 – 24 > 0 x1=3 x2=1/2

8 ESEMPI 25x2 + 10x +1 = 0 D = 25 – 25 = 0 x2 - 3 x + 8 = 0
non ha soluzioni in R.

9 RELAZIONE TRA I COEFFICIENTI E LE SOLUZIONI
a x2 + b x + c = 0

10 ESERCIZI Determinare i due numeri la cui somma sia s = - 4 ed il cui prodotto sia p = - 5: ex: a = 1 x2 + 4 x - 5 = 0 x1 = 1 x2 = -5 Determinare a meno di un coefficiente di proporzionalità l’equazione di 2o grado le cui soluzioni hanno per somma s= -3/10 p = -1/10 x2 + (3/10) x - 1/10 = 0

11 FATTORIZZAZIONE D > 0 a · (x - x1) · (x - x2) D = 0 a · (x - x1)2
a x2 + b x + c = 0 D > 0 a · (x - x1) · (x - x2) D = 0 a · (x - x1)2 D <

12 EQUAZIONI DI GRADO SUPERIORE AL SECONDO
Fattorizzare il polinomio mediante raccoglimenti: ES: x3 + x2 + x + 1 = 0 x2 (x + 1) + x + 1 = 0 (x2 + 1) (x + 1) = 0 x = - 1 RUFFINI

13 BIQUADRATICHE ax4 + bx2 + c = 0 (1) Pongo x2 = t at2 + bt+ c = 0 (2)
Se la (2) ha soluzioni reali t1 e t2 ponendo: x2 = t1 e x2 = t2 si ottengono le soluzioni dell’equazione (1). Se la (2) non ha soluzioni reali, anche la (1) non ha soluzioni reali

14 ESEMPIO x4 - 3x2 - 4 = 0 t2 - 3t - 4 = 0 x2 = t t1= -1 t2 = 4
x2 = -1 non ammette soluzioni reali x2 = 4 x1 = 2 x2 = -2

15 EQUAZIONI FRATTE Una equazione in cui l’incognita compare almeno una volta al denominatore I = D(f) D(g)  {xR: g(x)  0}

16 ESEMPIO I = {xR: x  0}  {xR: x 2} 5x – 10x + 20 = 0 x = 4