Moti rettilinei e curvilinei Cinematica Moti rettilinei e curvilinei

Posizione di un punto materiale La posizione s è definita dalle coordinate del punto materiale nel sistema di riferimento fissato y S(3;4) S(2;3) S(4;3) S(5;2) x s=-1 s=1 s=2 s=3

Moto rispetto ad un sist. di rif. Un punto materiale si dice in moto rispetto ad un sistema di riferimento se la sua posizione (coordinate) cambia al passare del tempo

Velocità Si dice velocità media di un punto materiale il rapporto fra la variazione di posizione (spostamento) e l’intervallo di tempo necessario per compiere quello spostamento Se t è tendente a zero, la velocità così calcolata è detta velocità istantanea

Accelerazione Si dice accelerazione media di un punto materiale il rapporto fra la variazione di velocità e l’intervallo di tempo necessario per compiere quella variazione Se t è tendente a zero, l’accelerazione così calcolata è detta accelerazione istantanea

Traiettoria linea costituita da tutte le posizioni occupate dal corpo in esame

Legge oraria legge matematica che, per ogni particolare moto, permette di individuare la posizione s dell'oggetto al variare del tempo Legge oraria: s = f(t) Esempio: s = t2 – 10t

Moto rettilineo uniforme v= costante Quindi vm=v (cioè velocità media e velocità istantanea sono uguali) ACCELERAZIONE VELOCITÀ POSIZIONE (legge oraria) v t O a t O s t O s0 Se s0 = 0, s=vt Il grafico orario è una semiretta che passa per l’origine O(0,0)

Velocità = pendenza del grafico orario rette nel grafico s-t: quella con pendenza maggiore corrisponde al corpo con velocità maggiore s a s b D E c B F C A t t

Test Un’auto percorre 15 km in 10 minuti e, successivamente, 5 km in 5 minuti. La sua velocità media è: 50 km/h 60 km/h 70 km/h 80 km/h 90 km/h

Test Un’automobile percorre un tratto di strada in salita alla velocità v e lo stesso tratto in discesa alla velocità v’. La velocità media è: (v+v’)/2 vv’/2 vv’/(v+v’) 2vv’/(v+v’) vv’/(v+2v’)

Moto rettilineo uniformemente accelerato (e quindi , cioè accelerazione media e accelerazione istantanea sono uguali) ACCELERAZIONE VELOCITÀ POSIZIONE (legge oraria) a t O (a<0) v t O v0 (a<0) s t O s0 (a<0) Se s0 = 0, il grafico orario è un arco di parabola passante per l’origine O(0,0) Se v0 = 0, il grafico orario è un arco di parabola con vertice sull’asse delle ordinate (y) Se s0 = 0 e v0 = 0 il grafico orario è un arco di parabola con vertice nell’origine O(0,0) Se v0 = 0, il grafico orario è una semiretta che passa per l’origine O(0,0)

MRUA: legge ausiliaria Risolvendo il sistema è possibile eliminare la variabile tempo t e arrivare alla seguente equazione (utile se nei problemi non si conosce t, ma solo le altre grandezze):

Accelerazione = pendenza del grafico v-t b c t v b a c t

Spostamento deducibile dal grafico v-t Spazio percorso s fra t0 e t t0 t t

Caduta e salita di gravi esempio notevole di M.R.U.A.: moto di caduta dei gravi l'accelerazione ha: direzione verticale verso il basso modulo costante g= 9,8 m/s2

Test Un sasso viene lasciato cadere con velocità nulla in un pozzo. Il rumore del sasso che tocca il fondo giunge dopo 6 s dall’istante iniziale. La profondità del pozzo è circa: 0,018 km 90 m 45 m 450 m 180 m Essendo il suono molto veloce, il tempo di risalita del suono è trascurabile rispetto al tempo di discesa del sasso. Quindi consideriamo solo la fase di discesa, durante la quale: La profondità del pozzo è allora

Test Consideriamo un tram nel percorso rettilineo fra due fermate. Se per metà percorso l’accelerazione è a=a1 mentre nella seconda metà è a=-a1, quale sarà il grafico della velocità? (a1 è costante e positiva) 1 2 3 4 Nessuno t v v t v v t t

Test Un’automobile si muove con velocità v=v0+at, dove v0=6m/s, a=2m/s2 e t è misurato in s. Il grafico dello spazio percorso in funzione del tempo, nel caso di spazio iniziale uguale a zero, rappresenta: Una retta non passante per l’origine degli assi Una retta passante per l’origine degli assi Un arco di parabola con il vertice nell’origine degli assi Un arco di parabola con il vertice posto fuori dall’origine degli assi Una funzione indeterminata (non elementi per rispondere) È un MRUA. Quindi s = s0+v0t+1/2at2=6t+t2 s = 6t+t2 è una parabola con vertice non nell’origine

Test Un’automobile percorre un rettilineo infinitamente lungo. Esprimo lo spazio in km e il tempo in h. La velocità dell’auto sia costante e uguale a 100km/h. A partire da un certo istante in poi l’auto subisce un’accelerazione negativa costante, uguale a -200km/h2. Dopo quanti minuti si inverte il senso di marcia? 1 5 30 60 mai Il senso di marcia si inverte quando la velocità si azzera e cambia segno. L’espressione della velocità è: v = 100 -200t Essa si azzera quando t = 0,5 h = 30 min

Moti curvilinei Quando i moti avvengono su una traiettoria curva, tutte le grandezze cinematiche (s, s0, s, v, a) diventano vettori: P0 = vettore posizione: unisce l’origine O(0,0) con il punto in cui si trova il punto mobile = vettore spostamento: unisce il punto iniziale con il punto finale del moto P O(0;0)

Moti curvilinei = vettore velocità media: ha la stessa direzione e verso del vettore spostamento = vettore velocità istantanea: è tangente alla traiettoria nel punto in cui si trova il punto mobile P0 P O(0;0)

Moti curvilinei = vettore accelerazione istantanea: è diretto verso l’interno della curva. Tale vettore può sempre essere scomposto in due componenti: 1) = accelerazione tangenziale, tangente alla traiettoria. È responsabile della variazione del modulo e del verso della velocità. Se non c’è la componente tangenziale, il moto è uniforme. 2) = accelerazione centripeta, perpendicolare alla traiettoria e orientata verso il centro di curvatura. È responsabile della variazione della direzione della velocità. Essa è la causa della curvatura della traiettoria. Se non c’è la componente centripeta, il moto è rettilineo. at an a v

Moto parabolico (o dei proiettili) Composizione di un Moto Rettilineo Uniforme e di un Moto Rettilineo Unif. Accel. in direzioni perpendicolari v vx vy g vy v g vx

Moti periodici a intervalli di tempo regolari, le grandezze cinematiche (s, v, a) riassumono gli stessi valori cioè posizione, velocità e accelerazione ritornano uguali ai valori iniziali, dopo un tempo T, detto periodo del moto

MOTO CIRCOLARE UNIFORME Moto periodico che avviene su traiettoria circolare, con velocità costante in modulo (N.B.: non è costante in direzione e verso). Velocità: tangente alla circonferenza, in ogni istante Accelerazione: non ha la componente tangenziale, ma solo la componente centripeta, responsabile della curvatura della traiettoria Poiché il raggio di curvatura nel moto circolare non cambia, deve essere costante il modulo della componente centripeta dell’accelerazione. A C B

Parametri del M.C.U.: R = raggio della circonferenza T = periodo = tempo necessario per compiere un giro completo (s) f = frequenza = numero di giri in un secondo (s-1 = hertz = Hz) v = velocità tangenziale = rapporto fra lo spazio percorso sulla traiettoria circolare dal punto mobile ed il tempo impiegato per percorrere tale spazio (m/s) v = s/t  = velocità angolare = rapporto fra l’angolo descritto dal raggio mobile ed il tempo impiegato per descrivere tale angolo (rad/s)  = /t ac = accelerazione centripeta (m/s2)

Relazioni matematiche nel M.C.U.:

Test Se un corpo di massa M è animato di moto circolare uniforme, allora si verifica che varia: Il modulo della velocità Il modulo dell’accelerazione La velocità angolare Il modulo dell’accelerazione centripeta La direzione dell’accelerazione centripeta

Test Sia dato un moto rettilineo in cui la velocità passa da 4m/s a 6m/s in 2s. L’accelerazione centripeta vale: zero 2 m/s2 (6/2 – 4/2) m/s2 (4/2 – 6/2) m/s2 4 m/s2

Test Un sasso ruota attorno a un centro fisso trattenuto da un filo lungo 1m con velocità angolare  = 10rad/s. Se g è l’accelerazione di gravità, qual è (entro il 2%) la giusta proposizione? È sottoposto ad accelerazione pari a 1g È sottoposto ad accelerazione pari a 10g La velocità periferica è 10 m/s La velocità periferica è 2 m/s La frequenza del moto è 2 Hz ac=2R=10*1=10m/s2 1g

Moto armonico È la proiezione ortogonale (moto ombra) di un moto circolare uniforme su un diametro o su una retta parallela ad un diametro della circonferenza. Si tratta di un moto oscillatorio su traiettoria rettilinea. A C B

Parametri del moto armonico R = ampiezza dell’oscillazione (m) s = posizione o elongazione (m) T = periodo = tempo necessario per compiere un’oscillazione completa (s) f = frequenza = numero di oscillazioni compiute in un secondo (Hz) v = velocità (m/s)  = pulsazione (è la velocità angolare del moto circolare uniforme associato) (rad/s) a = accelerazione (m/s2) Leggi matematiche:

Caratteristiche di s, v, a il moto armonico non è uniforme: la velocità del punto “ombra” è massima al centro, nulla agli estremi, dove il moto si inverte l’accelerazione è massima agli estremi, dove è massima anche la posizione, ed è nulla al centro, così come la posizione l’accelerazione e la posizione sono due vettori con verso opposto l’accelerazione e la posizione sono direttamente proporzionali

Grafici del moto armonico s t E1 O E2 v t a t

Pendolo semplice Pendolo semplice: pallina di massa m appesa con un filo di lunghezza l ad un punto fisso O. Si dimostra che per piccole oscillazioni, cioè se l’angolo di apertura dell’oscillazione  è minore di 5°, il moto della pallina, che avviene lungo un arco di circonferenza, è circa armonico.  l O

Pendolo semplice per piccole oscillazioni, il periodo T del pendolo è dato dalla formula: Il tempo per compiere un’oscillazione completa è quindi direttamente proporzionale alla radice della lunghezza del filo

Proprietà del pendolo (sempre nell’ipotesi di piccole oscillazioni) isocronismo delle piccole oscillazioni: il periodo T non dipende dall’ampiezza di  il periodo T non dipende dalla massa m della pallina il periodo T è direttamente proporzionale alla radice della lunghezza del filo Il periodo T è inversamente proporzionale alla radice dell’accelerazione di gravità g Il piano di oscillazione di un pendolo non varia rispetto ad un sistema di riferimento inerziale Il piano di oscillazione di un pendolo varia rispetto ad un sistema di riferimento non inerziale (pendolo di Foucault)

Test Foucault nel 1851 sospese con un filo di 67 m una sfera di 28 kg al soffitto della cupola del Panthéon di Parigi e la fece oscillare per una famosa dimostrazione. Trovate fra le seguenti l’affermazione sicuramente ERRATA. Il moto era parabolico Il piano di oscillazione mutava rispetto al pavimento L’ampiezza di oscillazione si riduceva con le ore La frequenza di oscillazione si riduceva con le ore Il periodo sarebbe stato lo stesso usando un’altra massa

Test Durante l’oscillazione di un pendolo, il modulo dell’accelerazione è massimo quando il pendolo: Ha la velocità massima Ha velocità nulla Ha velocità uguale alla media delle velocità Ha velocità intermedia Transita nella posizione di equilibrio