Il Moto

Partendo da una quesito assegnato nei test di ingresso alla facoltà di medicina, si analizza il moto di un oggetto.

Quesito 63 - (2004) Il conducente di un treno, fra due fermate R e S, mantiene una velocità che è quella della figura sottostante in cui negli istanti t 1, t 2, t 3 si trova rispettivamente in R, nel punto intermedio M ed in S. Allora si può affermare che: 1) l'accelerazione è massima in S 2) l'accelerazione è minima in R 3) l'accelerazione è nulla in M 4) l'accelerazione è nulla in R ed in S 5) l'accelerazione tra R e M è uguale a quella tra M e S

5° Quesito (Evento) Un corpo è in moto se, rispetto ad un osservatore, la sua posizione cambia nel tempo. Il moto del corpo può essere rappresentato mediante un sistema di assi cartesiani ortogonali, tOs. Quindi ogni punto, A, del piano spazio-tempo, tOs, è individuato da due coordinate: la posizione, s A, occupata del corpo e l’istante di tempo t A che registra la posizione del corpo. Ogni punto, A, del piano rappresenta un evento. Un evento è qualcosa che accade in un certo luogo, s A, ad un certo istante di tempo, t A.

5° Quesito (Relazione spazio-tempo) Una successione di eventi, nel grafico spazio-tempo fornisce una relazione tra la posizione occupata dal corpo ed il corrispondente istante di tempo. La relazione spazio-tempo: s = f(t) è una generica curva la cui forma dipende da come si muove il corpo.

5° Quesito (Intervallo di tempo e distanza) Nel diagramma spazio-tempo, tOs, si prendono due eventi: e In un intervallo di tempo:  t AB = t B – t A lo spazio percorso dal corpo è:  s AB = s B – s A

5° Quesito (Intervallo di tempo e distanza) Si consideri il caso in cui il corpo si muove lungo una retta (moto rettilineo). In un diagramma spazio –tempo il moto è rappresentato, nel caso generale di un moto vario, da una curva. La curva è la rappresentazione grafica della relazione matematica che intercorre tra lo spazio percorso ed il corrispondente tempo: s=f(t) È necessario notare che la curva non rappresenta la traiettoria seguita dal corpo.

5° Quesito (Velocità) Sul grafico spazio-tempo si prendono due intervalli di tempo uguali. Dalla rappresentazione grafica si nota che, in questi due intervalli di tempo, gli spazi percorsi sono diversi. Poiché negli stessi intervalli di tempo il corpo si sposta in modo diverso, vuol dire che il moto è vario. Pertanto per indicare le modalità con cui il corpo si muove, si introduce il concetto di velocità.

5° Quesito (Velocità) Sul grafico spazio-tempo di un corpo, che si muove lungo una retta di moto vario, si prendono due punti-eventi, A e B. La velocità, v, viene definita come il rapporto incrementale tra le variazioni di posizioni,  s, ed il corrispondente intervallo di tempo,  t:

5° Quesito (Retta) Richiami di geometria analitica: la retta. Su di un sistema di assi cartesiani ortogonali, xOy, si prendono due punti, A e B. Le coordinate dei due punti sono: Per i due punti, A e B, passa una retta il cui coefficiente angolare, m, è: dove  y e  x sono gli incrementi o le variazioni delle variabili y e x.

5° Quesito (Coefficiente angolare) Significato del coefficiente angolare, m. Il coefficiente angolare, m, indica la pendenza della retta rispetto all’asse delle ascisse crescenti. Tale coefficiente è strettamente collegato all’angolo, , formato dalla retta e dall’asse della ascisse. Le relazione tra il coefficiente angolare, m, gli incrementi delle variabili x e y e l’angolo, , sono:

5° Quesito (Valori del coefficiente angolare) Valori del coefficiente angolare, m. Il coefficiente angolare, m, può assumere diversi valori: 1 ) m è negativo: m < 0 La retta, r, forma un angolo ottuso, , con l’asse delle ascisse.

5° Quesito (Valori del coefficiente angolare) Valori del coefficiente angolare, m. Il coefficiente angolare, m, può assumere diversi valori: 2 ) m è positivo: m > 0 La retta, s, forma un angolo acuto, , con l’asse delle ascisse.

5° Quesito (Valori del coefficiente angolare) Valori del coefficiente angolare, m. Il coefficiente angolare, m, può assumere diversi valori: 2 ) m è zero: m = 0 La retta, t, è parallela all’asse delle ascisse.

5° Quesito (Valori del coefficiente angolare) Valori del coefficiente angolare, m. Il coefficiente angolare, m, può assumere diversi valori: 2 ) m è infinito: m =  La retta, k, è parallela all’asse delle ordinate.

5° Quesito (Velocità media) Sul grafico spazio-tempo di un corpo che si muove lungo una retta di moto vario, dove la velocità non è costante ma varia ad ogni istante di tempo, si prendono due punti, A e B. Il rapporto incrementale tra le posizioni ed il tempo fornisce il valore della velocità media, v m, che è la velocità che avrebbe il corpo se si muovesse a velocità costante. Graficamente la velocità media non è altro che la misura della pendenza, , rispetto all’asse delle ascisse, t, della retta passante per i punti A e B.

5° Quesito (Velocità - retta) Analogia del grafico della retta con il grafico spazio-tempo. Le proprietà della retta si riflettono sul grafico spazio-tempo mediante le seguenti analogie:

5° Quesito (Velocità media) Sempre in analogia con la retta, in un generico grafico spazio-tempo si possono presentare tre casi: Primo caso: Presi due punti, A e B, sul grafico spazio-tempo, la retta passante per tali punti forma un angolo, , acuto, con l’asse delle ascisse, t. La velocità media, v m, tra i due eventi è positiva.

5° Quesito (Velocità media) Sempre in analogia con la retta, in un generico grafico spazio-tempo si possono presentare tre casi: Secondo caso: Presi due punti, A e B, sul grafico spazio-tempo, la retta passante per tali punti forma un angolo, , ottuso con l’asse delle ascisse, t. La velocità media, v m, tra i due eventi è negativa.

5° Quesito (Velocità media) Sempre in analogia con la retta, in un generico grafico spazio-tempo si possono presentare tre casi: Terzo caso: Presi due punti, A e B, sul grafico spazio-tempo, la retta passante per tali punti forma un angolo, , nullo con l’asse delle ascisse, t, cioè la retta è parallela all’asse delle ascisse. La velocità media, v m, tra i due eventi è zero.

5° Quesito (Velocità istantanea) Nel moto vario, il valore della velocità media dipende dai punti eventi che si prendono sul grafico spazio-tempo. Se l’intervallo di tempo,  t, diminuisce, ovvero se i punti-eventi si avvicinano tra di loro, i valori della velocità media cambiano. Graficamente le velocità medie sono individuate dalle pendenze delle rette che passano per due eventi rispetto all’asse delle ascisse.

5° Quesito (Velocità istantanea) Al diminuire dell’intervallo di tempo, la corda intercettata dalla curva e dalla retta tende a sovrapporsi con il corrispondente arco di curva. Se l’intervallo di tempo tende a zero, i due punti-eventi tendono a sovrapporsi e la retta, la cui pendenza è collegata alla velocità, diventa tangente alla curva.

5° Quesito (Velocità istantanea) Se l’intervallo di tempo tende a zero, la velocità che viene calcolata eseguendo il rapporto incrementale tra lo spazio percorso ed il corrispondente intervallo di tempo si chiama velocità istantanea, v i. Poiché i due punti-eventi, A e B, coincidono, la retta, la cui pendenza determina il valore della velocità istantanea, è tangente alla curva. L’espressione è il limite per  t che tende a zero del rapporto incrementale  s e  t.

5° Quesito (Velocità istantanea) Se si ha il grafico spazio-tempo del moto vario di un corpo che si muove su di una retta le velocità istantanee sono individuate tracciando le tangenti alla curva negli istanti di tempo presi in considerazione.

5° Quesito (Calcolo velocità istantanea) Dato il grafico spazio-tempo di un moto vario, per calcolare la velocità istantanea ad un certo istante di tempo si eseguono le seguenti operazioni: 1) Sul grafico si individua il punto-evento, A, in cui calcolare la velocità istantanea. 2) Nel punto-evento, A, si traccia la tangente, r, alla curva. 3) Sulla retta tangente, r, si individuano due punti arbitrari, B e C. 4) Dei due punti, B e C, si individuano graficamente le loro coordinate. 5) Per trovare la velocità istantanea, v i, si calcola il seguente rapporto incrementale:

5° Quesito (Grafico velocità-tempo) In un moto vario ad ogni istante di tempo le velocità istantanee hanno valori diversi. Pertanto si possono rappresentare in un grafico velocità-tempo i valori delle velocità istantanee in funzione dei corrispondenti istanti di tempo. Siano A, B, C, D …. alcuni di questi punti Collegando i punti velocità-tempo si ottiene il grafico della velocità in funzione del tempo Il grafico, che è la traduzione grafica di dati sperimentali, evidenzia che la velocità cambia nel tempo.

5° Quesito (Accelerazione) Per comprendere come varia la velocità nel si introduca una grandezza fisica chiamata accelerazione. Si prendono due punti, A e B, del grafico velocità-tempo. Nell’intervallo di tempo L’accelerazione viene definita come il rapporto tra la variazione di velocità subita dal corpo in un certo intervallo di tempo. la velocità ha subito una variazione

5° Quesito (Accelerazione media) Sul grafico velocità-tempo di un corpo, che si muove lungo una retta e che ha una velocità che varia ad ogni istante di tempo, si prendono due punti, A e B. Il rapporto incrementale tra le velocità ed il tempo fornisce il valore della accelerazione media, a m, che è la accelerazione che avrebbe il corpo se si muovesse di moto uniformemente vario Graficamente la accelerazione media non è altro che la misura della pendenza, , rispetto all’asse delle ascisse, t, della retta passante per i punti A e B.

5° Quesito (Accelerazione - retta) Analogia del grafico della retta con il grafico velocità-tempo. Le proprietà della retta si riflettono sul grafico spazio-tempo mediante le seguenti analogie:

5° Quesito (Accelerazione media) Sempre in analogia con la retta, in un generico grafico velocità-tempo si possono presentare tre casi: Primo caso: Presi due punti, A e B, sul grafico velocità-tempo, la retta passante per tali punti forma un angolo, , acuto, con l’asse delle ascisse, t. La accelerazione media, a m, tra i due eventi è positiva.

5° Quesito (Accelerazione media) Sempre in analogia con la retta, in un generico grafico velocità-tempo si possono presentare tre casi: Secondo caso: Presi due punti, A e B, sul grafico velocità-tempo, la retta passante per tali punti forma un angolo, , ottuso con l’asse delle ascisse, t. La accelerazione media, a m, tra i due eventi è negativa.

5° Quesito (Accelerazione media) Sempre in analogia con la retta, in un generico grafico velocità-tempo si possono presentare tre casi: Terzo caso: Presi due punti, A e B, sul grafico velocità-tempo, la retta passante per tali punti forma un angolo, , nullo con l’asse delle ascisse, t, cioè la retta è parallela all’asse delle ascisse. La accelerazione media, a m, tra i due eventi è zero.

5° Quesito (Accelerazione istantanea) Nel moto vario, il valore dell’accelerazione media dipende dai punti che si prendono sul grafico velocità-tempo. Se l’intervallo di tempo,  t, diminuisce, ovvero se i punti si avvicinano tra di loro, i valori dell’accelerazione media cambiano. Graficamente le accelerazioni medie sono individuate dalle pendenze delle rette che passano per due punti rispetto all’asse delle ascisse.

5° Quesito (Accelerazione istantanea) Al diminuire dell’intervallo di tempo, la corda intercettata dalla curva e dalla retta tende a sovrapporsi con il corrispondente arco di curva. Se l’intervallo di tempo tende a zero, i due punti-eventi tendono a sovrapporsi e la retta, la cui pendenza è collegata alla accelerazione, diventa tangente alla curva.

5° Quesito (Accelerazione istantanea) Se l’intervallo di tempo tende a zero, la accelerazione che viene calcolata eseguendo il rapporto incrementale tra la variazione i velocità ed il corrispondente intervallo di tempo si chiama accelerazione istantanea, a i. Poiché i due punti, A e B, coincidono, la retta, la cui pendenza determina il valore dell’accelerazione istantanea, è tangente alla curva. L’espressione è il limite per  t che tende a zero del rapporto incrementale  v e  t.

5° Quesito (Accelerazione istantanea) Se si ha il grafico velocità-tempo del moto vario di un corpo che si muove su di una retta le accelerazioni istantanee sono individuate tracciando le tangenti alla curva negli istanti di tempo presi in considerazione.

5° Quesito (Calcolo accelerazione istantanea) Dato il grafico velocità-tempo di un moto vario, per calcolare l’accelerazione istantanea ad un certo istante di tempo si eseguono le seguenti operazioni: 1) Sul grafico si individua il punto, A, in cui calcolare la velocità istantanea. 2) Nel punto, A, si traccia la tangente, r, alla curva. 3) Sulla retta tangente, r, si individuano due punti arbitrari, B e C. 4) Dei due punti, B e C, si individuano graficamente le loro coordinate. 5) Per trovare la velocità istantanea, v i, si calcola il seguente rapporto incrementale:

5° Quesito (Soluzione) È dato il seguente grafico velocità-tempo: Siano dati i seguenti punti: Punto R le cui coordinate sono t 1 e v 1. Punto M le cui coordinate sono t 2 e v 2. Punto S le cui coordinate sono t 3 e v 3.

5° Quesito (Soluzione) Le accelerazioni istantanee nei tre punti, R, M e S, sono individuate dalle tangenti alla curva nei tre punti. La tangente alla curva nel punto R è la retta k. La retta k ha coefficiente angolare positivo, ovvero l’accelerazione istantanea nel punto R è positiva e, nel tratto di curva compreso tra i punti R ed M, è massima. La tangente alla curva nel punto M è la retta p. La retta p ha coefficiente angolare nullo, ovvero l’accelerazione istantanea nel punto M è nulla, cioè zero. La tangente alla curva nel punto S è la retta q. La retta q ha coefficiente angolare negativo, ovvero l’accelerazione istantanea nel punto S è negativa e, nel tratto di curva compreso tra i punti M ed S, è minima.